江苏省苏州市六校联考2024-2025学年高一上学期调研 数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份江苏省苏州市六校联考2024-2025学年高一上学期调研 数学试卷（12月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知命题p：α为钝角，命题q：tanα＜0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（5分）已知点P（tanθ，sinθ）是第二象限的点，则θ的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{a，0}，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]
C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）
4．（5分）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知函数图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A．B．y＝xsinx
C．y＝x（ex﹣e﹣x）D．y＝csx（ex+e﹣x）
6．（5分）“函数f（x）＝ex（ex﹣3）在区间[m，+∞）上单调递增”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知点在幂函数f（x）＝xα的图象上，设a＝f（lg25），b＝f（ln2），，则a，b（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．b＞c＞a
8．（5分）已知函数f（x）＝sinx，若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知函数在区间I上的最小值为﹣2，则区间I可以为（ ）
A．[0，π]B．C．D．
（多选）10．（6分）关于函数f（x）＝|ln|2﹣x||，下列描述正确的有（ ）
A．f（x）在区间（1，2）上单调递增
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝4
D．f（x）有且仅有两个零点
（多选）11．（6分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（2）＝2，f（x）（2﹣x）＝2，f（5x）＝2f（x）1＜x2≤2时，f（x1）≤f（x2）．则（ ）
A．f（1）＝1B．
C．D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒 次．（lg2≈0.3010）
13．（5分）已知函数，则不等式f（x﹣1）≥f（2x+1） ．
14．（5分）设f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数，若f（x）（x）＝2x，则曲线与曲线y＝sinx在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．已知函数．
（1）求的值；
（2）若θ是三角形的一个内角，且，求tanθ的值．
16．已知函数f（x）＝sinx+2|sinx|．
（1）先补充下列表格，然后用五点法画出函数f（x）在区间x∈[0；
（2）求该函数的周期，并写出方程f（x）＝3的解集；
（3）结合图象，写出函数的单调增区间．
17．已知函数．
（1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域；
（2）若f（x）≤mlg2x对于恒成立，求实数m的取值集合．
18．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）
（1）求函数f（x）＝﹣x3+3x2图象的对称中心；
（2）若函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）对称（x）+f（2a﹣x）＝2b；
（3）已知函数，其中c＞0，若正数a，且不等式λ（a+2c）b≤2ac+a2+2b2恒成立，求实数λ的取值范围．
19．已知指数函数f（x）满足f（1）﹣f（﹣1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝f（2x）+kf（x）（x）+g（﹣x）+10＝0有4个不相等的实数解x1，x2，x3，x4．
①求实数k的取值范围；
②证明：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＜4．
2024-2025学年江苏省苏州市六校联考高一（上）调研数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知命题p：α为钝角，命题q：tanα＜0，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】结合三角函数的定义检验充分必要性即可判断．
【解答】解：当α为钝角时，tanα＜0一定成立，
当tanα＜0时，α不一定为钝角，即必要性不成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
2．（5分）已知点P（tanθ，sinθ）是第二象限的点，则θ的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】点P在第二象限，根据坐标特征得sinθ，tanθ的符号，即可得θ所在象限．
【解答】解：因为点P（tanθ，sinθ）在第二象限，
所以sinθ＞0，tanθ＜0．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数符号，属于基础题．
3．（5分）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{a，0}，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2]B．[﹣2，0）∪（0，2]
C．（﹣2，2）D．（﹣2，0）∪（0，2）
【分析】根据集合B是集合A的子集，结合集合B中元素的互异性求解．
【解答】解：集合A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤6}，B＝{a，
B⊆A，则实数a的取值范围是[﹣2，2]．
故选：B．
【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
4．（5分）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据α的范围可求出的范围，然后根据诱导公式即可得解．
【解答】解：∵，
∴，且，
∴，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦函数在各象限的符号，同角三角函数的平方关系，诱导公式，是基础题．
5．（5分）已知函数图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A．B．y＝xsinx
C．y＝x（ex﹣e﹣x）D．y＝csx（ex+e﹣x）
【分析】根据题意，由函数的图象可得f（x）为偶函数，且f（0）＝0，在区间（0，+∞）上，函数值有正有负，利用排除法分析选项，排除ACD，即可得答案．
【解答】解：根据题意，由函数的图象，且f（0）＝0，
在区间（0，+∞）上，
对于A，f（x）＝，有f（﹣x）＝﹣，则f（x）为奇函数；
对于C，y＝x（ex﹣e﹣x），当x＞3时x＞1＞e﹣x，则有ex﹣e﹣x＞0，故y＝x（ex﹣e﹣x）＞2恒成立，不符合题意；
对于D，设f（x）＝csx（ex+e﹣x），有f（0）＝cs0×（e0+e6）＝2，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数奇偶性的判断，属于基础题．
6．（5分）“函数f（x）＝ex（ex﹣3）在区间[m，+∞）上单调递增”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用导数研究函数的单调性即可得出结论．
【解答】解：f（x）＝ex（ex﹣3），
f′（x）＝ex（ex﹣3）+ex•ex＝3ex（ex﹣），
令f′（x）＝6，解得x＝ln，
∴函数f（x）在（﹣∞，ln，在（ln．
∴“函数f（x）＝ex（ex﹣3）在区间[m，+∞）上单调递增”的充要条件是m≥ln．
故选：C．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（5分）已知点在幂函数f（x）＝xα的图象上，设a＝f（lg25），b＝f（ln2），，则a，b（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．b＞c＞a
【分析】把点代入幂函数f（x）的解析式求出α的值，进而可得f（x）在（0，+∞）上单调递减，再结合对数函数的性质可知0＜ln2＜＜lg25，从而比较出a，b，c的大小．
【解答】解：∵点在幂函数f（x）＝xα的图象上，
∴3α＝，
∴α＝﹣2，
∴f（x）＝x﹣2，在（6，+∞）上单调递减，
∵lg25＞lg54＝2，6＝ln1＜ln2＜lne＝3，＝，
∴4＜ln2＜＜lg55，
∴f（ln2）＞f（tan）＞f（lg25），即b＞c＞a．
故选：D．
【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，考查了对数函数的性质，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）＝sinx，若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝12（m≥2，m∈N*），则m的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj（i，j＝1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i＝1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．
【解答】解：∵y＝sinx对任意xi，xj（i，j＝1，2，3，…，
都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min＝2，
要使m取得最小值，尽可能多让xi（i＝1，3，3，…，m）取得最高点，
考虑0≤x3＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x3）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x7）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|＝12，
按下图取值即可满足条件，
∴m的最小值为8．
故选：C．
【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查转化思想方法，属于难题．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得6分，部分选对的得部分分数，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）已知函数在区间I上的最小值为﹣2，则区间I可以为（ ）
A．[0，π]B．C．D．
【分析】直接利用正弦型函数的性质判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：令，整理得：，
故，（k∈Z），
解得x＝，
当k＝5时，x＝，D不满足，
当k＝0时，x＝﹣，C满足．
故选：ABC．
【点评】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
（多选）10．（6分）关于函数f（x）＝|ln|2﹣x||，下列描述正确的有（ ）
A．f（x）在区间（1，2）上单调递增
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称
C．若x1≠x2，f（x1）＝f（x2），则x1+x2＝4
D．f（x）有且仅有两个零点
【分析】画出函数f（x）＝|ln|2﹣x||的图象，逐一分析各个选项即可得答案．
【解答】解：作出函数f（x）＝|ln|2﹣x||的图象，如图所示：
由图可得：
函数f（x）在区间（1，7）上单调递增；
函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，B正确；
根据图象，由x1≠x8，f（x1）＝f（x2），则x7+x2不一定等于4，C错误；
根据函数的图象，方程f（x）＝2有且仅有两个不同的实数根，即函数f（x）有且仅有两个零点．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的单调性，函数的零点与方程的根的关系，函数的对称性的应用，主要考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（2）＝2，f（x）（2﹣x）＝2，f（5x）＝2f（x）1＜x2≤2时，f（x1）≤f（x2）．则（ ）
A．f（1）＝1B．
C．D．
【分析】利用题设条件，可得当时，f（x）＝1，当时，，由此容易判断各选项的正误．
【解答】解：令x＝1，可得f（1）+f（1）＝2，选项A正确；
令，则，
又当0≤x1＜x2≤2时，f（x1）≤f（x3），
则当时，f（x）＝1，
令，则，
又，则，选项B错误；
令，则，即＝，
令，则，即，
而，则，
所以，
又当7≤x1＜x2≤5时，f（x1）≤f（x2），
则当时，，
令，则，解得；
，选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查抽象函数的综合运用，考查运算求解能力，属于较难题目．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的80%，要使该物质上的细菌少于原来的0.1%，则至少要喷洒 5 次．（lg2≈0.3010）
【分析】可设喷洒x次，根据题意可得出x＞，代入lg2≈0.3010即可求出x≥5，从而得出答案．
【解答】解：设喷洒x次，则：（1﹣0.5）x＜0.1%＝10﹣4，
∴xlg0.2＜﹣6，
∴x＞，且lg2≈0.3010，
∴≈5.3，
∴x≥5，即至少喷洒5次．
故答案为：5．
【点评】本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
13．（5分）已知函数，则不等式f（x﹣1）≥f（2x+1） {x|﹣2≤x≤0} ．
【分析】由题意分析可知：f（x）是偶函数，且在（0，+∞）内单调递增，在（﹣∞，0）内单调递减，进而可得|x﹣1|≥|2x+1|，运算求解即可．
【解答】解：由题意可知的定义域为R，
若x＞0，则﹣x＜06+2x＝x2+4x＝f（x）；
同理可得：当x＜0时，f（﹣x）＝f（x）；
且x＝0时，f（0）＝f（0）；
综上所述：f（x）是偶函数．
因为y＝x3+2x开口向上，且对称轴为x＝﹣1，
可知函数f（x）在（8，+∞）内单调递增，0）内单调递减，
则不等式f（x﹣1）≥f（8x+1）等价于|x﹣1|≥|2x+1|，
即|x﹣1|7≥|2x+1|5，整理得x（x+2）≤0，
解得﹣3≤x≤0．
故答案为：{x|﹣2≤x≤2}．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
14．（5分）设f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数，若f（x）（x）＝2x，则曲线与曲线y＝sinx在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为 4047 ．
【分析】根据函数的奇偶性确定y的解析式，根据其对称性，图象变化特点可判断．
【解答】解：因为f（x）+g（x）＝2x ①，所以f（﹣x）+g（﹣x）＝2﹣x，
又因为f（x），g（x）分别为定义在R上的奇函数和偶函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
故﹣f（x）+g（x）＝6﹣x②，
由①②可知，，，
y＝为奇函数，
当x→+∞，y→1，sinx最大值为1，
曲线与曲线y＝sinx在区间[﹣2024π．
故答案为：4047．
【点评】本题考查函数的图象交点个数问题，属于中档题．
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．已知函数．
（1）求的值；
（2）若θ是三角形的一个内角，且，求tanθ的值．
【分析】（1）先化简f（x）的表达式，再由诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；
（2）由题意可得，两边平方求出2sinθcsθ，即可求出sinθ﹣csθ，从而求出sinθ、csθ，即可得解．
【解答】解：（1）因为＝＝
＝，
所以＝＝＝．
（2）由题意知，0＜θ＜π，
所以，，
因为sinθcsθ＜6且0＜θ＜π，所以sinθ＞0，
从而得，故，得．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．
16．已知函数f（x）＝sinx+2|sinx|．
（1）先补充下列表格，然后用五点法画出函数f（x）在区间x∈[0；
（2）求该函数的周期，并写出方程f（x）＝3的解集；
（3）结合图象，写出函数的单调增区间．
【分析】（1）由函数解析式求出在各个点处的坐标，再用五点作图法作图即可；
（2）通过图象即可求出周期和解集；
（3）结合图象，利用整体代入法即可求得单调增区间．
【解答】解：（1）由题意，f（x）＝sinx+2|sinx|，
列表如下：
描点，连线
（2）由图象得T＝2π，可得方程f（x）＝3的解集为；
（3）由图象可知（k∈Z）和，
所以（k∈Z）和，
所以函数的增区间为（k∈Z）和．
【点评】本题考查了五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象以及正弦函数的性质，考查了函数思想和数形结合思想，属于中档题．
17．已知函数．
（1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域；
（2）若f（x）≤mlg2x对于恒成立，求实数m的取值集合．
【分析】（1）由对数运算整理函数解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，可得答案；
（2）由（1）整理后的函数解析式简化不等式，利用换元法，结合一元二次不等式恒成立，可得答案．
【解答】解：（1）f（x）＝（lg22+lgx）（lg2x﹣lg24）
＝，
令t＝lg2x，t∈[7，
所以，
即函数f（x）的值域为；
（2）由f（x）≤mlg2x，则，
由，则令u＝lg2x∈[﹣7，1]2﹣u﹣6≤mu，
故f（x）≤mlg2x在上恒成立，
等价于不等式u2﹣u﹣3≤mu在u∈[﹣2，1]上恒成立，
即u7﹣（1+m）u﹣2≤2在u∈[﹣2，1]上恒成立，
可得，解得m＝﹣2，
当m∈{﹣2}时，不等式f（x）≤mlg3x对于恒成立．
【点评】本题考查对数型函数的运用以及不等式的恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
18．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）
（1）求函数f（x）＝﹣x3+3x2图象的对称中心；
（2）若函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）对称（x）+f（2a﹣x）＝2b；
（3）已知函数，其中c＞0，若正数a，且不等式λ（a+2c）b≤2ac+a2+2b2恒成立，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）令g（x）＝f（x+a）﹣b，由g（x）为奇函数，得到f（﹣x+a）﹣b＝﹣（f（x+a）﹣b），列出方程组，求得a，b的值，即可求解；
（2）令g（x）＝f（x+a）﹣b，由g（x）为奇函数，得到f（﹣x+a）+f（x+a）＝2b，令x+a＝t，即可得证；
（3）由函数，得到f（x）+f（﹣x+e2）＝2c，得到f（x）的对称中心为，求得，
，两式相加得到a+b≥2c，得出，结合基本不等式，即可求解．
【解答】解：（1）令g（x）＝f（x+a）﹣b，
因为g（x）为奇函数，所以g（﹣x）＝﹣g（x），
即f（﹣x+a）﹣b＝﹣（f（x+a）﹣b），
所以﹣（﹣x+a）3+3（﹣x+a）2﹣b＝﹣[﹣（x+a）3+3（x+a）3﹣b]，
化简得6x2（a﹣8）+2a3﹣2a2+2b＝6，
则，解得a＝8，
即f（x）图像的对称中心为（1，2）；
（2）证明：令g（x）＝f（x+a）﹣b，
因为g（x）为奇函数，
所以g（﹣x）＝﹣g（x），
即f（﹣x+a）﹣b＝﹣（f（x+a）﹣b），
所以f（﹣x+a）+f（x+a）＝7b，
令x+a＝t，则f（t）+f（﹣t+2a）＝2b，
即f（x）+f（﹣x+3a）＝2b；
（3）因为，
所以，
所以f（x）+f（﹣x+e2）＝2c，可得f（x）的对称中心为，
因为，
，
两式相加得：2022×2c≤2022（a+b），即a+b≥2c，
又由．
由
＝，
当且仅当时取等号．
所以λ∈（﹣∞，]．
【点评】本题考查了函数的对称性、转化思想及基本不等式的应用，属于中档题．
19．已知指数函数f（x）满足f（1）﹣f（﹣1）
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝f（2x）+kf（x）（x）+g（﹣x）+10＝0有4个不相等的实数解x1，x2，x3，x4．
①求实数k的取值范围；
②证明：|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＜4．
【分析】（1）根据指数函数的知识求得f（x）的解析式．
（2）①利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得k的取值范围；
②结合图象、对称性以及放缩法证得|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＜4．
【解答】解：（1）设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），由于f（1）﹣f（﹣2）＝2，
所以a﹣＝5，a2﹣2a﹣5＝0，
由于a＞0且a≠4，
所以解得a＝+1，
所以f（x）＝（+1）x；
（2）①由（1）得f（x）＝（+2）x，
则g（x）＝f（2x）+kf（x）＝（+2）2x+k（+8）x，
则g（x）+g（﹣x）+10＝0，
即（+2）2x+k（+8）x+（+1）﹣3x+k（+1）﹣x+10＝6，
∴[（+1）x+（+1）﹣x]2+k[（+1）x+（+4）﹣x]+8＝0，
令t＝（+1）x+（+4）﹣x，t≥2＝6（当且仅当（x＝（+4）﹣x，即x＝0时等号成立），
∴t＝（+8）x+（+1）﹣x是偶函数，且在[3，
方程g（x）+g（﹣x）+10＝0有4个不相等的实数解x8，x2，x3，x7，转化为方程t2+kt+8＝6有两个大于2的不相等的实数根，记为t1，t8，
令g（t）＝t2+kt+8，则，解得﹣4＜k＜﹣4，
故实数k的取值范围为（﹣2，﹣4）；
②证明：方程g（x）+g（﹣x）+10＝2有4个不相等的实数解x1，x8，x3，x4，设x5＜x2＜x3＜x8，
由①得t＝（+1）x+（+1）﹣x是偶函数，且在[0，则x8＝﹣x1＞0，x4＝﹣x2＞0，所以要证明|x2|+|x2|+|x3|+|x7|＜4，
即证明2（x5+x4）＜4，即证明x2+x4＜2，
设方程t7﹣2+kt+10＝t2+kt+8＝0的两个不同的实数根为t1，t6，
则t1+t2＝﹣k，t8t2＝8，
+＝（t1+t2）3﹣2t1t5＝k2﹣16，
由t＝（+8）x+（+1）﹣x（x＞7），整理得（2x﹣t（+1）x+1＝4（x＞0），
解得（+5）x＝（对应x3，x4，所以舍去），
所以x＝，
则x3+x6＝+＝
＝
＜
＝，
由于﹣8＜k＜﹣4，
所以k4∈（32，36）＜＝＝（3+7（+1）4，
即x3+x4＜5，
所以|x1|+|x2|+|x2|+|x4|＜4．
【点评】本题考查了指数函数的性质、二次函数的性质、转化思想，属于中档题．
x
0
π
2π
sinx
f（x）＝sinx+2|sinx|
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
D
B
C
D
C
x
0
π
2π
sinx
f（x）＝sinx+2|sinx|
x
0
π
3π
sinx
0
1
4
﹣1
0
f（x）＝sinx+3|sinx|
0
3
5
1
0