浙江省台州市和合教育联盟2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷-A4

这是一份浙江省台州市和合教育联盟2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．相切或相交
3．（3分）把抛物线y＝﹣3x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣3（x+2）2﹣1B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣3（x+2）2+1D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
4．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30°B．50°C．60°D．75°
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方变形正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x﹣1）2＝3C．（x﹣2）2＝4D．（x﹣2）2＝3
6．（3分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OE＝12，CD＝26，那么弦AB的长为（ ）
A．5B．10C．12D．13
7．（3分）在“双减政策”的推动下，我校学生课后作业时长有了明显的减少．2021年第三季度平均每周作业时长为630分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，现在平均每周作业时长为450分钟，设每季度平均每周作业时长的季度平均下降率为a，则可列方程为（ ）
A．630（1﹣a）＝450B．450（1+a）＝630
C．630（1﹣a）2＝450D．450（1+a）2＝630
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣m（x﹣1）2﹣1（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在第一象限内，AO＝AB，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）抛物线y＝mx2+4mx﹣4上有（2，y1），（3，y2），，四点，若y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）点M（1，﹣2）关于原点对称点的坐标是 ．
12．（3分）若a为方程x2+2x﹣5＝0的一个解，则3a2+6a﹣7的值为 ．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，PA＝5cm，PB＝4cm，则BC＝ cm．
14．（3分）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了 元．
15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③点，点是函数图象上的两点，则y1＞y2；④，其中正确结论有 ．（填序号）
16．（3分）如图，在长方形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边△BPP′，连接CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 ．
三、解答题（第17-21题，每题8分，第22-23题，每题10分，第24题12分，共72分.）
17．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
18．（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移5个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x轴上有一点P，使PA1+PC2的值最小，则点P的坐标为 ．
19．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝8时，求方程的根．
20．（8分）如图，抛物线y1＝x2﹣x﹣2与直线y2＝x+1交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）根据图象，直接写出不等式x2﹣x﹣2＜x+1的解集．
21．（8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为2，求AE的长．
22．（10分）一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种．测得一些数据如下：
（1）s是t的 函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）；
（2）求s关于t的函数表达式；
（3）已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系t．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为t1，第二位滑雪者滑完全程所用时间为t2，则t1 t2（填“＜”，“＝”或“＞”）．
23．（10分）如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．
（1）写出线段AD，BD，CD之间满足的数量关系，并证明；
（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°，AD＝3，BD＝4，直接写出弦CD的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝3，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．
2024-2025学年浙江省台州市和合教育联盟九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分.）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，正确掌握相关概念是解题关键．
2．（3分）已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O位置关系是（ ）
A．相离B．相切
C．相交D．相切或相交
【分析】因为⊙O的半径为4，根据圆心O到直线l的距离为3得出d＜r，再判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径r＝4，圆心O到直线l的距离d＝3，
∴d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判断是解题的关键．
3．（3分）把抛物线y＝﹣3x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣3（x+2）2﹣1B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1
C．y＝﹣3（x+2）2+1D．y＝﹣3（x﹣2）2+1
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】解：函数y＝﹣3x2向右平移2个单位，得：y＝﹣3（x﹣2）2；
再向上平移1个单位，得：y＝﹣3（x﹣2）2+1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
4．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．30°B．50°C．60°D．75°
【分析】根据圆周角定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方变形正确的是（ ）
A．（x﹣1）2＝4B．（x﹣1）2＝3C．（x﹣2）2＝4D．（x﹣2）2＝3
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（3分）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，OE＝12，CD＝26，那么弦AB的长为（ ）
A．5B．10C．12D．13
【分析】连接OA，如图，根据垂径定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理计算出AE，从而得到AB的长．
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥CD，
∴AE＝BE，∠OEA＝90°，
∵CD＝26，
∴OA＝13，
在Rt△OAE中，AE＝＝＝5，
∴AB＝2AE＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
7．（3分）在“双减政策”的推动下，我校学生课后作业时长有了明显的减少．2021年第三季度平均每周作业时长为630分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，现在平均每周作业时长为450分钟，设每季度平均每周作业时长的季度平均下降率为a，则可列方程为（ ）
A．630（1﹣a）＝450B．450（1+a）＝630
C．630（1﹣a）2＝450D．450（1+a）2＝630
【分析】根据“2021年第三季度平均每周作业时长为630分钟，经过2021年第四季度和2022年第一季度两次整改后，现在平均每周作业时长为450分钟”，列方程即可得到结论．
【解答】解：由题意知630（1﹣a）2＝450，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣m（x﹣1）2﹣1（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由一次函数经过的象限判断m的符号，再根据二次函数的性质进行判断即可求解．
【解答】解：A．由y＝﹣m（x﹣1）2﹣1得对称轴为直线x＝1，与图象不符，故不符合题意；
B．由y＝mx+m的图象得m＜0，∴﹣m＞0，抛物线的开口向上，对称轴在y轴右侧，顶点在第四象限，与图象相符合，故符合题意；
C．由y＝mx+m的图象得m＞0，∴﹣m＜0，抛物线的开口应向下，与图象不符，故不符合题意；
D．由y＝﹣m（x﹣1）2﹣1得对称轴为直线x＝1，与图象不符，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，掌握二者的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在第一象限内，AO＝AB，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据所给图形，依次求出每次旋转后点B对应点的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：因为360°÷60°＝6，
所以每旋转六次，点B的位置重复出现．
又因为2024÷6＝337余2，
所以第2024次旋转后点B的位置与第2次旋转后点B的位置相同．
过点B作y轴的垂线，垂线为H，
因为∠OAB＝120°，
所以∠BAH＝60°．
因为点A坐标为（0，4），
所以AB＝AO＝4．
在Rt△ABH中，
sin∠BAH＝，
所以BH＝．
同理可得，
AH＝2，
所以OH＝4+2＝6，
所以点B的坐标为（）．
显然点B和点B′关于x轴对称，
所以点B′的坐标为（），
即第2024次旋转后，点B的坐标为（）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转、点的坐标变化规律及等腰三角形的性质，能根据题意得出第2024次旋转后点B的位置与第2次旋转后点B的位置相同是解题的关键．
10．（3分）抛物线y＝mx2+4mx﹣4上有（2，y1），（3，y2），，四点，若y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【分析】依据题意，根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴，再对开口方向分类讨论即可解决问题．
【解答】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝﹣，当m＞0时，
∵﹣2+﹣（﹣2）＝＜2﹣（﹣2）＜3﹣（﹣2），且y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零，
∴．
∴＜m≤．
当m＜0时，抛物线上离对称轴越近的点，其函数值越大，
而点（﹣2+，y3）和（﹣2﹣，y4）到直线x＝﹣2的距离相等，且距离最近，
∴此情况下不存在y1，y2，y3，y4四个数中有且只有一个大于零．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分.）
11．（3分）点M（1，﹣2）关于原点对称点的坐标是 （﹣1，2） ．
【分析】根据关于原点的对称点，横坐标互为相反数、纵坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点M（1，﹣2）关于原点对称点的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
12．（3分）若a为方程x2+2x﹣5＝0的一个解，则3a2+6a﹣7的值为 8 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，得出a2+2a＝5，再整体代入求值即可．
【解答】解：∵a为方程x2+2x﹣5＝0的一个解，
∴把x＝a代入，得a2+2a﹣5＝0，
整理，得a2+2a＝5，
则3a2+6a﹣7＝3（a2+2a）﹣7＝3×5﹣7＝8，
即3a2+6a﹣7＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，利用整体代入法是解题关键．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，PA＝5cm，PB＝4cm，则BC＝ cm．
【分析】根据切线的性质得到∠ABP＝90°，由勾股定理求出AB，再根据三角形面积求出BC即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，
∴∠ACB＝90°，∠ABP＝90°，
在Rt△ABP中，PA＝5cm，PB＝4cm，
∴AB＝＝3cm，
∵S△ABP＝PA•BC＝PB•AB，
∴5BC＝3×4，
即BC＝（cm），
故答案为：．
【点评】本题考查切线的性质，掌握切线的性质，勾股定理以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键．
14．（3分）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了 55 元．
【分析】根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值．
【解答】解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，
w＝（x﹣40）[200+（60﹣x）×20]＝﹣20（x﹣55）2+4500，
∴当x＝55时，w取得最大值，此时w＝4500，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为55元．
故答案为：55．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝2．下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③点，点是函数图象上的两点，则y1＞y2；④，其中正确结论有 ①②④ ．（填序号）
【分析】观察图象可知，抛物线开口向下，故a＜0，对称轴在y轴右侧，故b＞0，交点在y轴正半轴，故c＞0，从而可判断①；根据对称轴和A点坐标为（﹣1，0），可得出抛物线与x轴的另一交点坐标为（5，0），从而得故当x＝3时，y＞0，从而可判断②；找到点的对称点为（），利用增减性可判断③；对称轴为直线x＝＝2，从而b＝﹣4a，当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，即5a＝﹣c，又由2＜c＜3，可得2＜﹣5a＜3，即可判断④．
【解答】解：观察图象可知，抛物线开口向下，故a＜0，对称轴在y轴右侧，故b＞0，
交点在y轴正半轴，故c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵对称轴为直线x＝2．A点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（5，0），
故当x＝3时，y＞0，即9a+3b+c＞0，
故②正确；
∵点的对称点为（），
且，抛物线开口向下，
∴y1＜y2，故③错误；
∵对称轴为直线x＝＝2，
∴b＝﹣4a，当x＝﹣1时，y＝0，
即a﹣b+c＝0，即5a＝﹣c，
又由2＜c＜3，
∴2＜﹣5a＜3，即．
故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，各项系数对图象的影响，熟练掌握以上知识是解题关键．
16．（3分）如图，在长方形ABCD中，BC＝2AB，点P为边AD上的一个动点，以BP为边向右作等边△BPP′，连接CP′．当点P′落在边BC上时，∠PP′C的度数为 120° ；当线段CP′的长度最小时，∠PP′C的度数为 75° ．
【分析】当点P′落在边BC上时，作出图形，根据等边三角形的性质，可求出∠PP′C的度数；以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．利用全等三角形的性质证明∠BEP′＝90°，推出点P′在射线EP′上运动，当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，设EP′交BC于点O，再证明△BEO是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：当点P′落在边BC上时，如图，
∵△BPP′是等边三角形，
∴∠PP'B＝60°，
∴∠PP′C＝180°﹣∠PP'B＝180°﹣60°＝120°；
以AB为边向右作等边△ABE，连接EP′．
∵△BPP′是等边三角形，
∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，
∴∠ABP＝∠EBP′，
在△ABP和△EBP′中，
，
∴△ABP≌△EBP′（SAS），
∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，
∴点P′在射线EP′上运动，
如图，设EP′交BC于点O，
当CP′⊥EP′时，CP′的长最小，此时∠EBO＝∠OCP′＝30°，
∴EO＝OB，OP′＝OC，
∴EP′＝EO+OP′＝OB+OC＝BC，
∵BC＝2AB，
∴EP′＝AB＝EB，
∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，
∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，
∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．
故答案为：120°，75°．
【点评】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（第17-21题，每题8分，第22-23题，每题10分，第24题12分，共72分.）
17．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣5＝0；
（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
【分析】（1）利用十字相乘法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程．
【解答】解：（1）x2+4x﹣5＝0，
则（x+5）（x﹣1）＝0，
∴x+5＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝1；
（2）（x﹣1）2＝2（x﹣1），
移项，得（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
18．（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位．
（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．
（2）将△A1B1C1向右平移5个单位，作出平移后的△A2B2C2．
（3）在x轴上有一点P，使PA1+PC2的值最小，则点P的坐标为 （3，0） ．
【分析】（1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据平移变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
（3）作点A1关于x轴的对称点D，连接DC2交x轴于点P，连接A1P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）如图，点P的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
19．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m＝8时，求方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式大于0，建立关于m的不等式，解答即可；
（2）将m＝8代入x2+2x﹣m＝0得到x2+2x﹣8＝0，因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣m）＞0，
整理得：4+4m＞0，
解得：m＞﹣1；
（2）当m＝8时，原方程为x2+2x﹣8＝0，
即（x+4）（x﹣2）＝0，
x+4＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝2．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的解法，熟练掌握判别式的性质是解答本题的关键．
20．（8分）如图，抛物线y1＝x2﹣x﹣2与直线y2＝x+1交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）根据图象，直接写出不等式x2﹣x﹣2＜x+1的解集．
【分析】（1）通过联立方程组求解，即可得出答案；
（2）通过观察图象，结合抛物线与直线的交点坐标可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y1＝x2﹣x﹣2与直线y2＝x+1交于A，B两点，
∴，
解得：，，
∴A（﹣1，0），B（3，4）；
（2）由图象可知，当﹣1＜x＜3时，抛物线y1＝x2﹣x﹣2位于直线y2＝x+1的下方，
∴不等式x2﹣x﹣2＜x+1的解集为﹣1＜x＜3．
【点评】本题考查了抛物线与直线的交点坐标，二次函数与不等式之间的关系，解题关键是运用数形结合思想，通过观察图象解决问题．
21．（8分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为2，求AE的长．
【分析】（1）连接OA，由圆周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，则∠OAD＝90°，可证明直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，则∠OAM＝30°，已知⊙O的半径OA＝2，则OM＝OA＝1，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵∠AEC＝30°，
∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，
∴AM＝EM，
∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠OAM＝30°，
∴OM＝OA＝×2＝1，
∴AM＝＝＝，
∴AE＝2AM＝2×＝2．
【点评】此题考查圆的切线的判定和性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大．
22．（10分）一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种．测得一些数据如下：
（1）s是t的 二次 函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）；
（2）求s关于t的函数表达式；
（3）已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系t．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为t1，第二位滑雪者滑完全程所用时间为t2，则t1 ＞ t2（填“＜”，“＝”或“＞”）．
【分析】（1）根据表中数据，按一次函数和反比例函数的性质判断即可得出结论；
（2）设s关于t的函数表达式为s＝at2+bt+c，用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）由两位滑雪者滑行距离都为20米，可求出t1和t2，比较即可．
【解答】解：（1）利用表中数据，可以判断s与t既不满足一次函数也不满足反比例函数，
故判断s是t的二次函数，
故答案为：二次；
（2）设s关于t的函数表达式为s＝at2+bt+c，
把t＝0，s＝0；t＝1，s＝2；t＝2，s＝6代入s＝at2+bt+c得：
，
解得，
∴s关于t的函数表达式为s＝t2+t；
（3）由表中数据可知，s＝20，t1＝4，
∵两位滑雪者滑行距离相同，
∴t2+2t＝20，
解得t＝（负值舍去），
∴t2＝，
∴t1＞t2，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键．
23．（10分）如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．
（1）写出线段AD，BD，CD之间满足的数量关系，并证明；
（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°，AD＝3，BD＝4，直接写出弦CD的长．
【分析】（1）根据旋转的性质得到条件证明△ABD≌△ACE（SAS），则BD＝CE，∠B＝∠ACE，证明∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，进一步根据勾股定理即可得到答案；
（2）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE，同（1）的方法得，△ABD≌△ACE（SAS），则BD＝CE，求出DE2＝2AD2，证明∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，进一步根据勾股定理即可得到答案；
（3）过点C作CE⊥CD交DA的延长线于E，证明CD＝CE，证明∠ACB＝∠ADB＝90°，得到∠BDC＝45°＝∠ADC，则AC＝BC，证明∠ACE＝∠BCD，得到AE＝BD，即可求解．
【解答】解：（1）由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，
∴CD2+BD2＝2AD2；
（2）BD2＝CD2+2AD2，理由如下：
如图2．将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE，
同（1）的方法得，△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
在Rt△ADE中，AD＝AE，
∴∠ADE＝45°，
∴DE2＝2AD2，
∵∠ADC＝45°，
∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，
根据勾股定理得，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，
即：BD2＝CD2+2AD2；
（3）如图3，过点C作CE⊥CD交DA的延长线于E，
∴∠DCE＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠E＝90°﹣∠ADC＝45°＝∠ADC，
∴CD＝CE，
根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝2CD2，
连接AC，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠BDC＝45°＝∠ADC，
∴AC＝BC，
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴AE＝BD，
∵AD＝3，BD＝3，
∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝7，
∴2CD2＝72，
∴CD＝．
【点评】本题为圆的综合题，考查了旋转的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线和正确推理是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC＝3，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由S△PAC＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝3，即可求解；
（3）结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝1．根据AM＝MP，根据方程求出t，再利用中点坐标公式，求出点E的纵坐标即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）设AP交y轴于点H，
设P[m，（m+1）（m﹣3）]，
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝（m﹣3）（x+1），
则点H（0，m﹣3），则CH＝m，
则S△PAC＝×CH×（xP﹣xA）＝m（m+1）＝3，
解得：m＝﹣3（舍去）或2，
即点P（2，﹣3）；
（3）结论：点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝1．
理由：如图乙中，连接AM，PM，EM，设M（1，t），P[m，（m+1）（m﹣3）]，E（m，n）．
由题意A（﹣1，0），AM＝PM，
∴22+t2＝（m﹣1）2+[（m+1）（m﹣3）﹣t]2，
解得t＝+（m+1）（m﹣3），
∵ME＝PM，PE⊥AB，
故点M在EP的中垂线上，
∴t＝[n+（m+1）（m﹣3）]，
∴n＝2t﹣（m+1）（m﹣3）＝1+（m+1）（m﹣3）﹣（m+1）（m﹣3＝1，
∴DE＝1，
∴点P在运动过程中线段DE的长是定值，DE＝1．
滑行时间t/s
0
1
2
3
4
滑行距离s/m
0
2
6
12
20
滑行时间t/s
0
1
2
3
4
滑行距离s/m
0
2
6
12
20