江苏省泰州市泰兴市实验初级中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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第一部分 选择题(共18分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分)
1. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；可分析出答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的概念，熟记中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合是解题的关键．
2. 下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义逐一进行判断．
【详解】A、由原式得到y=，符合反比例函数的定义，故本选项正确；
B、该函数式表示y与x2成反比例关系，故本选项错误；
C、该函数式表示y与x成正比例关系，故本选项错误；
D、该函数式不是反比例函数，故本选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．
3. 中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了了解某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查了400个家长，结果有360个家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ）
A. 这种调查是普查B. 样本容量是360
C. 估计该校约有90%的家长持反对态度D. 总体是中学生
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用样本估计总体、总体、样本、样本容量，解题的关键是明确题意，理解总体、样本、样本容量．根据题意和总体、样本、样本容量的定义可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】由题意可得，
A、这种调查是抽样调查，故选项A不符合题意；
B、样本容量是400，故选项B错误，不符合题意；
C、估计该校约有的家长持反对态度，故选项C符合题意；
D、总体是某中学2500个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，故选项D不符合题意；
故选：C．
4. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的性质即可求解．
【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到：
因为分式的值不变
所以是同时含有和的一次二项式
故选：A
【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键．
5. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A. 测量对角线，看是否互相平分
B. 测量两组对边，看是否分别相等
C. 测量对角线，看是否相等
D. 测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否都相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形；
（3）对角线互相平分且相等四边形是矩形．
【详解】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形，故本选项错误；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形，故本选项错误；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，故本选项错误；
D、根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小．
6. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么求的值为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是分式的求值，熟知分式变形的法则是解答此题的关键．先根据题意得出，，，再代入原式进行计算即可．
【详解】解：∵a，b，c是正数，且满足，，
∴，，，
∴
，
故选：C．
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分)
7. 使分式有意义的x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答案．
【详解】解：本题考查了分式有意义的条件，
即，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是关键．
8. “某小组有13名同学，至少有2名同学的生日在同一个月”是_______(选填“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件“ )
【答案】必然事件
【解析】
【分析】本题考查了随机事件的知识，根据发生的可能性的大小进行判断即可，解题的关键是理解必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】“某小组有13名同学，至少有2名同学的生日在同一个月”是必然事件，
故答案为：必然事件．
9. 如图是两种品牌方便面销售增长率的折线统计图，则年品牌销售量________ 品牌销售量．(选填“高于”“低于”“不一定高于”)
【答案】不一定高于
【解析】
【分析】本题主要考查折线统计图，比较销售量时，即要知道增长率，也要知道两者的基数，由此可解．
【详解】解：虽然年增长率高于，但是不知道两者的基数，故无法确定销量高低．
因此年品牌销售量不一定高于品牌销售量．
故答案为：不一定高于．
10. 在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，则m的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键．
11. 如图，，要使四边形是平行四边形，还需补充的一个条件是：___（填一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．
【详解】由题意可补充或．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 《九章算术》之“均输篇”中记载了中国古代的“运粟之法”：今有一批公粮，需运往距出发地420km的储粮站，若运输这批公粮比原计划每日多行10km，则提前1日到达储粮站．设运输这批公粮原计划每日行x km，则根据题意列出方程 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键．设运输这批公粮原计划每日行，根据“运输这批公粮比原计划每日多行，则提前日到达储粮站”，列出分式方程，即可求解．
【详解】设运输这批公粮原计划每日行，根据题意得，
，
故答案为：．
13. 关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】首先解方程求得方程的解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于的不等式，从而求得的范围．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵关于的分式方程的解是正数，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的取值范围是且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
14. 如图，在菱形中，，点E、F分别在边上，且，则的形状为____________
【答案】等边三角形
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及等边三角形的判定，有一个角是的等腰三角形是等边三角形．菱形的四边相等，对角线平分每一组对角，因为，连接，和菱形的边长相等，可证明，可得到一个角为的等腰三角形从而可证明是等边三角形．
【详解】解：连接，
在菱形中，，
，
，
，
，是对角线，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
15. 如图，直线分别过正方形的三个顶点A，B，C，且相互平行，若的距离为12，的距离为5，则正方形的边长为 _________________．
【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定的性质、勾股定理等知识；关键是先作，，证明三角形全等，属于中考常考题型．过作于点，过作于点，则，，，证，得出，再由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：如图，过作于点，过作于点，
则，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
正方形边长为13．
故答案为：13．
16. 直角坐标系中，点在第一象限，过点P分别向x、y轴作垂线段、，垂足为点A、B，连接，则线段的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了点在象限内的特点以及二次函数的性质，先根据点在第一象限，求出t的取值范围，再根据两点之间的距离得出，最后利用二次函数的性质解题即可．
【详解】解： ∵点在第一象限
∴， ，
解得：，
，
整理得：
令，
对称轴，
∵
∴抛物线开口向上，
∴当时，，
∴，且符合条件．
故答案为：．
三、解答题(本大题共10小题，共102分)
17. （1）解方程：
（2）计算：
【答案】（1）无解（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程以及异分母的分式减法．
（1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程，并检验即可；
（2）利用平方差公式把异分母分式化成同分母分式，再计算减法即可．
【详解】解：（1）
去分母得：，
去括号得：，
移项并合并同类项得：，
经检验：是原方程的增根，
∴原方程无解．
（2）
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】原式利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算，通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=

当时，原式
【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号;分子、分母能因式分解的先因式分解;除法要统一为 乘法运算.
19. 在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球5个，黑球7个．
（1）先从袋子中取出个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：
（2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率等于，求m的值．
【答案】（1）5，2或3或4
（2）2
【解析】
【分析】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）．
（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件；
（2）利用概率公式列出方程，求得的值即可
【小问1详解】
当袋子中全为黑球，即摸出5个红球时，摸到黑球是必然事件；
，当摸出2个或3或4个红球时，摸到黑球为随机事件，
故答案为：5；2或3或4．
【小问2详解】
依题意，得：
，
解得：，
答：的值是2．
20. 广州市某中学开展主题为“我爱阅读”的专题调查活动，了解学校1200名学生一年内阅读书籍的数量，随机抽取部分学生进行统计，绘制成如下尚未完成的频数分布表和频数分布直方图．请根据图表，解答下面的问题：
（1） ， ， ， ．
（2）补全频数分布直方图．
（3）根据该样本，估计该校学生阅读书籍数量在15本或以上的人数．
（4）如果阅读书籍数量在10本或以上的人数占总人数的以上，那么该校能评为“书香校园”，请根据上述数据分析该校是否能获得此荣誉，并说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）384
（4）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布表和频数分布直方图，熟练掌握频数分布表和频数分布直方图的互补性，补全频数分布直方图，用样本估计总体，是解决问题的关键
（1）根据直方图中的数据可以得到b，根据组中的数据可以分别求得a、c、d的值；
（2）根据（1）中的答案和表格中的数据可以将直方图补充完整；
（3）根据组和组中的频率和，可以计算出该校学生阅读书籍数量在15本或以上的人数；
（4）先判断，再计算组、组和组中的频率和，即可解答本题．
【小问1详解】
根据题意可得，
，
根据频数分布直方图可得，，
，
，
故答案为：0.32，6，0.12，50；
【小问2详解】
补全的频数分布直方图，如右图所示；
【小问3详解】
由题意可得，该校学生阅读书籍数量在15本或以上的有：
（人），
答：该校学生阅读书籍数量在15本或以上的有264人；
【小问4详解】
该校不能获得“书香校园”此荣誉，理由：
∵，
∴该校不能获得“书香校园”此荣誉．
21. 已知反比例函数
（1）直接写出自变量x的取值范围．
（2）在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像；
（3）观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？
【答案】（1）
（2）见解析 （3）y随x的增大而增大
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，会运用描点法画函数图象是解题的关键．
（1）根据分母不为零即可得解；
（2）根据自变量的取值范围，给定x的值，并求出相应的y的值，并描点连线即可；
（3）根据画出图象回答即可．
【小问1详解】
解：分母不为零可知：自变量x的取值范围是；
【小问2详解】
解：列表格如下：
描点并连线如下：
【小问3详解】
由图象可知：在每一个象限y随x的变化是y随x的增大而增大．
22. 如图，在平行四边形中，点E是边的中点，请仅利用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写画法．
请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．在边上找一点P，使点P是的中点，并说明理由．
B．在的延长线上找一点F, 使的面积与平行四边形的面积相等，并说明理由．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．也考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质．
（1）连接相交于点O，连接并延长交于点P，点P即为所求，由平行四边形性质可得，从而得出，又由可证得，可得，从而得出点P是的中点；
（2）连接并延长交的延长线于，证明得到，从而得到的面积与平行四边形的面积相等．
【详解】我选择题．
如图，点即为所作．
或我选择题．
如图，点为所作．
23. 某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．设该公司购买的A型芯片的单价为x元．
（1）根据题意，用含x的式子填写下表：
（2）根据题意列出方程，求该公司购买的A、B型芯片的单价各为多少元？
【答案】（1）见解析 （2）A型芯片单价为26元，B型芯片单价为35元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用．
（1）设型芯片的单价为元条，则型芯片的单价为元条，根据数量总价单价填空即可；
（2）根据“用3120元购买型芯片的条数与用4200元购买型芯片的条数相等”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【小问1详解】
解：设型芯片单价为元条，则型芯片的单价为元条，
填表如下，
【小问2详解】
解：设型芯片的单价为元条，则型芯片的单价为元条，
据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意
∴
答：A型芯片单价为26元，B型芯片单价为35元．
24. 如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线．
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）AF=BC，理由见解析
【解析】
【分析】（1）易知点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，所以线段DF与EF也为△ABC的中位线，由中位线定理证得四边形ADFE是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平分，此题可证；
（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当AF=BC时，平行四边形ADFE为矩形．
【小问1详解】
证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，
∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴线段DF与EF也为△ABC的中位线，
∴DFAC，EFAB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分．
【小问2详解】
解：当AF=BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下：
∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC，
由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若ADFE为矩形，则AF=DE，
∴当AF=BC时，四边形ADFE为矩形．
【点睛】此题考查了中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识．
25. 定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”．
（1）分式与分式 “等和积分式”(填“是”或“不是”)；
（2）求分式的“等和积分式”；
（3）①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ；
②用发现的规律解决问题：
若与互为“等和积分式”，求实数m，n的值．
【答案】（1）是 （2）
（3）① ②，
【解析】
【分析】本题主要考查分式的混合运算，属于创新探究类题目，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算法则是解决本题的关键．
（1）根据“等和积分式”的定义进行判断；
（2）设分式的“等和积分式”为A，由“等和积分式”的定义可得，由此可解；
（3）①观察互为“等和积分式”中分子、分母的关系，可得答案；②利用规律写出的“等和积分式”，与比较，得出关于m，n的方程组，解方程组即可．
【小问1详解】
解：，
分式与分式是“等和积分式”，
故答案为：是；
【小问2详解】
解：设分式的“等和积分式”为A，则，
，
，
即分式的“等和积分式”为；
【小问3详解】
解：①分式的“等和积分式”为，理由如下：
设分式的“等和积分式”为M，则，
，
；
②由规律可得的“等和积分式”为，
与互为“等和积分式”，
，
由得：，
将代入，得：，
解得，
．
26. 【教材呈现】
（1）如图1，在正方形中，E是上的一点，经过旋转后得到，①旋转中心是点 ；旋转角度最少是 度．
②爱动脑筋的小明，在边上取点G使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由．
【结论应用】
（2）①图1中，若正方形的边长为a，则的周长为 (用含有a的式子表示)
②如图2，在四边形中，E是 上一点，且，则的长＝ ．
类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，， 求的长．
【答案】（1）①A；90；②正确，理由见解析；（2）①②（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质求解即可；根据旋转的性质和正方形的性质可得，从而证明即可求解；
（2）根据旋转的性质和运用等量代换即可求解；时针旋转得到，连接，根据条件证明，设，根据勾股定理即可求解；
（3）逆时针旋转得到，连接，过点E作，根据旋转的性质和菱形的性质可证，从而用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）①由图可得：旋转中心是点A；边的对应边是边，因为是正方形，所以旋转角度最少是90度；
故答案为：A，90；
②结论正确，理由如下：
由旋转可得：，，
∵四边形是正方形，，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴；
（2）解：①由旋转可得：，
由（1）可得：，
∴，
∴；
故答案为：；
②绕点C顺时针旋转得到，连接，如图，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点在同一条直线上，
∴四边形是正方形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
故答案为：5；
（3）把绕点A逆时针旋转得到，连接，过点E作，如图，
∴，，，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是关键．事件A
必然事件
随机事件
m的值


事件
必然事件
随机事件
的值
5
2或3或4
分组
频数
频率
4
14
16
a
b
c
10
合计
d
x
…
…
y
…
…
x
…
1
2
3
4
…
y
…
1.5
2
3
6
…
单价（元）
数量（条）
总费用（元）
A型芯片
x
_______
3120
B型芯片
_______
_______
4200
单价（元）
数量（条）
总费用（元）
A型芯片
x
3120
B型芯片
4200