高一数学第三次月考卷（北京专用，集合逻辑+不等式+函数+指对幂函数+三角函数的诱导公式）2024-2025学年高中上学期第三次月考.zip

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：集合与逻辑5%+不等式20%+函数25%+指对函数25%+三角函数25%（人教A版）
5．难度系数：0.72。
第一部分（选择题 共40分）
选择题：本题共10小题，每小题2分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以.
故选：B.
2．若扇形所对圆心角为，且该扇形面积为 ，那么该扇形的弧长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设扇形半径为，弧长为，圆心角为，
则扇形面积为,故，
故弧长为.
故选：C．
3．若函数是偶函数，且在上单调递增，f3=0，则不等式的解集为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且f3=0，
所以，且函数在上单调递减．
由此画出满足条件的一个函数的图象，如图所示，

由图可知，的解集是，
故选：B．
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解不等式，得，
因为，
所以，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和1，且，
则变形可得
故函数的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.
故选：A
6．已知 ，则的大小关系为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由于，故.
故选：C
7．已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】易知.
故选：D
8．如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则所在的圆弧是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，设点的坐标为，
所以由三角函数的定义可得，
因为，即，
对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错误；
对于B、C，、在第三象限，且，则，不满足题意，故B、C错误；
对于D，在第四象限，且，则，所以，满足题意，故D正确.
故选：D.
9．火箭是能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具.1903年齐奥尔科夫斯基就推导出单级火箭的理想速度公式：.表示气体相对于火箭的喷射速度，表示火箭的初始质量（火箭壳与推进剂的总质量），表示推进剂用完后火箭的质量，目前液氢液氧推进剂能达到的发动机的喷射速度约为.理想情况下，对于初始质量为24吨的单级火箭，速度要达到，则需装载的推进剂的吨数约为（ ）
（参考数据，）
A．22.1B．22.3C．22.5D．22.7
【答案】C
【详解】由题意可得，，，
代入题目公式，可得：，，
，，
代入值可得：，，
需装载的推进剂的吨数约为，
，
，
，
，
结合选项，选择C．
故选：C
10．已知函数定义域为，满足，当时，总有，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在等式中，令可得，
令可得，
当时，总有，则，
所以，，解得，
故选：B.
第二部分（非选择题 共110分）
填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11．命题“，”的否定是
【答案】，
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故答案为：，.
12．函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是 ．
【答案】2
【详解】由是幂函数，且在上为增函数，
所以，解得，
故答案为：2.
13．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220，则这所公寓的地板面积至多为 平方米；若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是 （填写“变好了”或者“变坏了”）
【答案】 200 变好了
【详解】设这所公寓的地板面积为，则这所公寓窗户面积为（），
所以，解得，
所以这所公寓的地板面积至多为200平方米，
设窗户面积与地板面积分别为，（），设同时增加相同的面积为（），则
，
所以，
所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了，
故答案为：200，变好了
14．若，，且，则的最大值为 ，的最小值为 ．
【答案】 2 4
【详解】由基本不等式得，
当且仅当时取等号，即，时取等号，的最大值为2．
，
当且仅当，即时取等号，的最小值为4．
故答案为：；.
15．已知定义在上的函数，对任意实数满足，均有.函数在的最大值和最小值分别为，.则下列说法正确的是（ ）
①．必为奇函数
②．可能为偶函数
③．不一定为定值，且与的单调性有关
④．为定值，且定值为6
【答案】①②④
【详解】令，满足，则有，则；
令，满足，则有，即f−x=−fx，
且定义域为R关于原点对称，故函数为奇函数；①正确.
若，则符合题意且为偶函数；则②正确.
因为与为奇函数，故也为奇函数，设其在的最大值与最小值分别为与，
由奇函数的性质，对于函数，其最大值与最小值分别为，
故，③错误，④正确.
故选:①②④.
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分13分）如图，在平面直角坐标系xy中，锐角的终边与单位圆交于点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为．
(1)求的表达式，并求的值；
(2)若，，求的值.
【详解】（1）因为锐角的终边与单位圆交于点，
则，可知，
又因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，
所以，可得.
（2）若，，则，
所以.
17．（本题满分14分）已知函数是上的偶函数，当，，
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【详解】（1）当时，则，
由题意可得：，
所以函数的解析式为.
（2）因为的开口向下，对称轴为，
可知函数在内单调递增，
且函数是R上的偶函数，可知函数在内单调递减，
若，则，
整理可得，解得或，
所以实数的取值范围为.
18．（本题满分14分）某华为平板电脑体验店预计年10月到年月全年可以销售台平板，已知该平板电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入50台，则全年需付运费和保管费元.
(1)求全年所付运费和保管费之和关于的函数；
(2)若全年只有元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？
【详解】（1）设保管费与电脑总价值的比例系数为，
则
当时，，解得，
所以；
（2）由（1），，
当且仅当，即时，等号成立，
所以每批应购入平板电脑台，全年运费和保管费最少，为元，此时还需补元.
19．（本题满分14分）已知，关于的一元二次不等式的解集为．
(1)求的值；
(2)解关于的不等式．
【详解】（1）因为关于的一元二次不等式的解集为，
所以关于的一元二次方程的两解为和，
所以，解得；
（2）由（1）知，代入关于的不等式，
即，因式分解得，
①当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为；
②当时，原不等式为，解得或，
所以不等式的解集为；
③当时，原不等式为，解得，即不等式的解集为；
④当时，原不等式解得，即不等式的解集为；
⑤当时，原不等式解得，即不等式的解集为；
综上可得：当时不等式的解集为；
当时不等式的解集为；
当时不等式的解集为；
当时不等式的解集为；
当时不等式的解集为.
20．（本题满分15分）已知角满足______.请从下列三个条件中任选一个作答.（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）.
条件①：角的终边与单位圆的交点为；
条件②：角满足，且角为第四象限角；
条件③：角满足且.
(1)求的值；
(2)求的值.
【详解】（1）若选条件①，则，
所以
；
若选条件②，则由角满足，且角为第四象限角，得
，，
所以
；
若选条件③，则由，得，
化简得，得，
因为，所以，
所以，，
所以
；
（2）若选条件①，由（1）知，
所以
；
若选条件②，由（1）知，
所以
；
若选条件③，由（1）知，
所以
.
21．（本题满分15分）已知函数．
(1)判断并证明的奇偶性；
(2)若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
由解析式易知，函数定义域为，
而，故为奇函数.
（2）由在上为减函数，而在定义域上为增函数，
所以在上为减函数，故，
要使任意，，不等式恒成立，
只需在上恒成立，即在上恒成立，
由开口向上，则，
综上，.