山东省临沂市兰山区实验中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份山东省临沂市兰山区实验中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中是二次函数的有( )
①；
②；
③；
④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为( )
A. B. 2C. 2或D. 4或
3.我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛每两队之间都赛一场计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请x个球队参加比赛，可列方程得( )
A. B. C. D.
4.一元二次方程配方可变形为( )
A. B. C. D.
5.函数与在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.对于抛物线，下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下B. 有最大值，最大值是
C. 抛物线的顶点坐标是D. 当时，y随x的增大而增大
8.若关于x的一元二次方程的解是，则的值是( )
A. 2019B. 2021C. 2022D. 2025
9.将二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的二次函数的图象，则函数的表达式是( )
A. B. C. D.
10.如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的x，均有；③；④若，则；其中正确的个数为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.请写出一个过点且开口向上的二次函数解析式______.
12.关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______.
13.若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为______.
14.下列说法中正确的序号是______.
①在函数中，当时，y有最大值0；
②在函数中，当时，y随x的增大而增大；
③抛物线，，中，抛物线的开口最小，抛物线的开口最大；
④不论a是正数还是负数，抛物线的顶点都是坐标原点．
15.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是______.
16.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以AC为对角线作正方形则正方形的边长AB的最小值是______.
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
解下列方程：
；
18.本小题8分
某二次函数图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表：
求这个二次函数的表达式；
在图中画出此二次函数的图象；
结合图象可知当时，y的取值范围为______.
19.本小题8分
已知关于x的方程
若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根；
求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
20.本小题8分
龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同.
求该品牌头盔销售量的月增长率；
若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
21.本小题8分
在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点.例如：点，，，……都是和谐点.
判断二次函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
若二次函数的图象上有且只有一个和谐点
①求这个二次函数的表达式；
②若时，函数的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范围可通过画出函数图象草图来求解
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：①；③；是二次函数，共2个，
故选：
利用二次函数定义进行分析即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的左右两边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意可得：
，
解得
故选：
由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案．
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应用，关键是能根据题意得出方程和
3.【答案】D
【解析】解：根据题意得：
故选：
利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：，
，
，
故选：
方程两边都加上4，即可将原方程配方．
本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：当时，函数的图象开口向上，顶点坐标为，的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误；
当时，函数的图象开口向下，顶点坐标为，的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确；
故选：
根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数与在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象．
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6.【答案】B
【解析】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，在直线上，
故选：
根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
7.【答案】D
【解析】解：，
抛物线开口向上，
故A不正确；
二次函数，的图象的顶点坐标是，
抛物线有最小值，且最小值是，
故B和C不正确；
，
当时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而增大，
故D正确．
故选：
根据二次函数的性质，二次函数的顶点式即可判断；
此题考查了二次函数的性质和最值，二次函数为的顶点坐标是，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：把代入方程得：，
把代入，
得，
故选：
把代入，求得，再将其代入即可．
本题考查了一元二次方程的解以及整体代入法，熟练掌握整体代入法是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：，
向右平移1个单位，此时：，
再向上平移2个单位，此时：，即
故选：
先利用配方法求出二次函数的顶点式，再利用平移法则：“左加右减，上加下减”即可得到表达式．
本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的平移法则是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：抛物线开口向上，
，
对称轴为直线，即，
，，
抛物线与y轴交于负半轴，
，故①正确；
抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值，
对于任意的x，均有，故②正确；
抛物线过，
，故③正确；
抛物线过，关于直线对称的点为，
若，则或，故④错误．
正确的个数为
故选：
根据开口方向，对称轴，与y轴的交点，即可判断a，b，c的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：开口向上，
，
且与y轴的交点为，
函数解析式可以为：答案不唯一，
故答案为：
根据二次函数的性质，开口向上，要求即可．
本题考查了二次函数的性质，解题关键在于能够根据题目写出符合要求的解析式．
12.【答案】且
【解析】解：根据题意得且，
解得且
故答案为：且
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
13.【答案】
【解析】解：抛物线，
顶点坐标为，
顶点在第一象限，
，
的取值范围为
故答案为：
直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可．
本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，以及各个象限点的坐标特征．
14.【答案】①②④
【解析】解：由函数的解析式，可知，得到函数的开口向下，有最大值，故①正确；
由函数的解析式，可知其对称轴为y轴，对称轴的左边，y随x增大而减小，对称轴的右边，y随x增大而增大，故②正确；
根据二次函数的性质，系数a决定抛物线的开口方向和开口大小，且越大开口越小，可知抛物线的开口最小，抛物线的开口第二小，而开口最大，故③不正确；
不论a是正数还是负数，抛物线的顶点都是坐标原点，故④正确．
综上，正确的结论是：①②④．
故答案为：①②④．
根据二次函数的图象与性质逐一判断即得答案
此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的与性质是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方，
不等式的解集是：，
故答案为：
根据二次函数与不等式的关系解答即可．
本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
，
，
当时，AC有最小值2，
即正方形的边长AB的最小值是
故答案为：
根据正方形的性质得到，再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB的最小时，即AC的值最小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便．
17.【答案】解：，
，，，
，
，
，；
，
，
或，

【解析】利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征确定解方程的方法，属于中考常考题型．
18.【答案】
【解析】解：由题意，设二次函数的表达式为，
二次函数经过点，
，
，
二次函数的表达式为；
，
顶点为，
描点、连线，画出图形如图所示：
观察函数图象可知：当时，y的取值范围是，
故答案为：
根据表格数据，设二次函数的表达式为，结合点利用待定系数法即可求出二次函数表达式；
先求出顶点，再描点、连线，画出函数图象；
根据x的取值范围可得答案．
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：利用待定系数法求出函数解析式；根据给定点的坐标画出函数图象；观察函数图象结合顶点点坐标得出y的取值范围．
19.【答案】解：根据题意，将代入方程，
得，
解得，
，
，
解得，
，方程的另一个根为；
证明：，
不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解析】根据题意将代入方程求出a的值，再根据根与系数的关系可得，进一步即可求出另一个根；
根据，即可得证．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握这些知识是解题的关键．
20.【答案】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得，
解得，不合题意，舍去，
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为；
设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得，
整理，得，
解得，，
因尽可能让顾客得到实惠，
，所以不合题意，舍去．
所以
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
【解析】设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润售价-进价销售量列出方程求解即可．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
21.【答案】解：存在和谐点，和谐点的坐标为，；
设函数的和谐点为，可得，
解得或，
和谐点为，；
①点是二次函数的和谐点，
，
，
二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
有且只有一个根，
，
，，
该二次函数的表达式为：；
②由①可知，，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
函数的最小值为1，最大值为3，
当时，函数的最小值为1，最大值为
【解析】设函数的和谐点为，代入求解即可；
①将点代入，再由有且只有一个根，，两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知，当时，，当时，，当时，，则时满足题意．
题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合是解题的关键．x
…
1
2
…
y
…
0
2
0
…