广东省茂名市第一中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省茂名市第一中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下面是勾股数的是（ ）
A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6
2．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．2B．C．3.14159D．
3．（3分）已知b＜0＜a，则点（a，b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≤0C．x≠0D．x＞0
5．（3分）下列函数中，一次函数是（ ）
A．B．y＝x2+bC．y＝1D．y＝3x+4
6．（3分）若直角三角形的两条直角边长分别为2，4，则该直角三角形的斜边长是（ ）
A．5B．C．D．或
7．（3分）点（3，﹣2）关于x轴的对称点坐标是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）一次函数y＝3x﹣4的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．（3分）如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，且BO＝1，以点A为圆心，则C点表示的数为（ ）
A．2B．1﹣C．D．﹣1
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）|﹣3|＝ ．
12．（3分）已知点P的坐标为（3，4），则P点到y轴的距离为 个单位长度．
13．（3分）已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．
14．（3分）已知点A的坐标为（3，7），A点向左平移两个单位到B的位置，则B的坐标为 ．
15．（3分）如果和互为相反数，那么xy的平方根是 ．
三、解答题（一）（共三小题，每题8分，共24分）
16．（8分）计算：
（1）﹣×；
（2）（5+）（﹣）﹣．
17．（8分）若x+2的算术平方根是3，求4x﹣1的立方根．
18．（8分）平面直角坐标系中，已知点M（m+2，m﹣5）．
（1）若点M在x轴上，求m的值，
（2）在同一平面直角坐标系中，点A（4，6），且AM∥y轴
四、解答题（二）（共三小题，每题9分，共27分）
19．（9分）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上
（1）求△ABC的周长；
（2）试判断△ABC的形状．
20．（9分）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，求∠2的度数．
21．（9分）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．
（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？
（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？
四、解答题（三）（共两小题，每题12分，共24分）
22．（12分）如图，一次函数与x轴交于点A，点C与点A关于y轴对称．
（1）直接写出A，B，C的坐标；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，求点M的坐标．
23．（12分）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，D，E是直线BC上两动点，且∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，得△ADF，连接EF，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系，并证明；
（2）如图3，当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
2024-2025学年广东省茂名一中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下面是勾股数的是（ ）
A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、6
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、12+22≠37，但不是正整数，故此选项错误；
B、22+62≠45，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、32+22＝56，三边是整数，同时能构成直角三角形；
D、52+42≠65，不能构成直角三角形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
2．（3分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．2B．C．3.14159D．
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A、2是整数，不符合题意；
B、是分数，不符合题意；
C、3.14159是有限小数，不符合题意；
D、是无理数．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3．（3分）已知b＜0＜a，则点（a，b）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据点的坐标特征进行作答即可．
【解答】解：∵b＜0＜a，
∴点（a，b）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键．
4．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≤0C．x≠0D．x＞0
【分析】直接根据二次根式有意义的条件求解．
【解答】解：根据题意得x≥0．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式有意义的条件为a≥0．
5．（3分）下列函数中，一次函数是（ ）
A．B．y＝x2+bC．y＝1D．y＝3x+4
【分析】根据一次函数的定义，形如y＝kx+b（k≠0），进行判断作答即可．
【解答】解：A． ，不是一次函数，不符合题意；
B．y＝x7+b，不是一次函数，不符合题意；
C．y＝1，故该选项不正确；
D．y＝3x+3，故该选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义．
6．（3分）若直角三角形的两条直角边长分别为2，4，则该直角三角形的斜边长是（ ）
A．5B．C．D．或
【分析】根据勾股定理可求出斜边．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为2，4，
∴斜边为＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
7．（3分）点（3，﹣2）关于x轴的对称点坐标是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而求出即可．
【解答】解：点（3，﹣2）关于x轴的对称点坐标是（8，
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
8．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可．
【解答】解：A、，故不符合题意；
B、2，故不符合题意；
C、，故符合题意；
D、+3≠4；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
9．（3分）一次函数y＝3x﹣4的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据k、b的值确定一次函数y＝3x﹣4的图象经过的象限．
【解答】解：k＝3＞0，图象过一三象限，图象过第四象限，
∴一次函数y＝8x﹣4的图象不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的k＞0，b＜0的图象性质．
10．（3分）如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，且BO＝1，以点A为圆心，则C点表示的数为（ ）
A．2B．1﹣C．D．﹣1
【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB＝AC＝，推出OC＝﹣1即可解决问题．
【解答】解：在Rt△AOB中，AB＝，
∴AB＝AC＝，
∴OC＝AC﹣OA＝﹣5，
∴点C表示的数为1﹣．
故选：B．
【点评】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）|﹣3|＝ 3 ．
【分析】直接利用绝对值的定义得出答案．
【解答】解：|﹣3|＝3．
故答案为：7．
【点评】本题考查了绝对值，注意：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
12．（3分）已知点P的坐标为（3，4），则P点到y轴的距离为 3 个单位长度．
【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值可得答案．
【解答】解：已知点P的坐标为（3，4）．
故答案为：6．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
13．（3分）已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 24 ．
【分析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积．
【解答】解：∵62+82＝102，
∴此三角形为直角三角形，
∴此三角形的面积为：×6×2＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形．
14．（3分）已知点A的坐标为（3，7），A点向左平移两个单位到B的位置，则B的坐标为 （1，7） ．
【分析】根据平移的性质可得答案．
【解答】解：∵点A（3，7）向左平移两个单位到B的位置，
∴B的坐标为（6，7）．
故答案为：（1，4）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
15．（3分）如果和互为相反数，那么xy的平方根是 ±3 ．
【分析】先根据和互为相反数，得出，求出，y＝27，然后再求出xy的值，最后求出xy的平方根即可．
【解答】解：∵和互为相反数，
∴，
∵，，
∴1﹣3x＝6，y﹣27＝0，
解得：，y＝27，
∴，
∵9的平方根为±3，
∴xy的平方根是±7．
故答案为：±3．
【点评】本题考查算术平方根的非负数性、平方根、相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
三、解答题（一）（共三小题，每题8分，共24分）
16．（8分）计算：
（1）﹣×；
（2）（5+）（﹣）﹣．
【分析】（1）先化简和算乘法，再合并即可；
（2）先展开，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣
＝；
（2）原式＝5﹣5+
＝8﹣5+．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算法则．
17．（8分）若x+2的算术平方根是3，求4x﹣1的立方根．
【分析】根据算术平方根的定义求出x的值，再计算4x﹣1，最后根据立方根的定义计算即可．
【解答】解：∵x+2 的算术平方根是3，
∴x+3＝9，
∴x＝7，
∴7x﹣1＝4×4﹣1＝27，
∵27的立方根是3，
∴3x﹣1的立方根为3．
【点评】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键．
18．（8分）平面直角坐标系中，已知点M（m+2，m﹣5）．
（1）若点M在x轴上，求m的值，
（2）在同一平面直角坐标系中，点A（4，6），且AM∥y轴
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征即可解决问题．
（2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：（1）因为点M在x轴上，
所以m﹣5＝0，
解得m＝5，
所以m的值为5．
（2）因为点A坐标为（4，3）且AM∥y轴，
所以m+2＝4，
解得m＝8，
则m﹣5＝﹣3，
所以点M的坐标为（8，﹣3）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知x轴上及平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
四、解答题（二）（共三小题，每题9分，共27分）
19．（9分）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，△ABC的三个顶点均在格点上
（1）求△ABC的周长；
（2）试判断△ABC的形状．
【分析】（1）利用勾股定理可得：AB2＝5，AC2＝20，CB2＝25，从而求出AB，AC，BC的长，然后利用三角形的周长公式，进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论，再根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
AB2＝25+12＝3，
AC2＝23+42＝20，
CB5＝32+52＝25，
∴AB＝，AC＝，BC＝，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝+2，
∴△ABC的周长为5+7；
（2）△ABC是直角三角形，
理由：由（1）可得：
AB2+AC7＝5+20＝25，BC2＝25，
∴AB8+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
20．（9分）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，求∠2的度数．
【分析】由两直线平行判断同位角相等和同旁内角互补，由角平分线的定义和对顶角相等，得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠1＝65°（两直线平行，同位角相等），
∠ABD+∠BDC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABC＝130°（角平分线定义）
∴∠BDC＝180°﹣∠ABD＝50°，
∴∠2＝∠BDC＝50°（对顶角相等）．
【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点，解此题的关键是求出∠ABD的度数，题目较好，难度不大．
21．（9分）已知y＝（m﹣2）x+|m|﹣2．
（1）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是一次函数？
（2）m满足什么条件时，y＝（m﹣2）x+|m|﹣2是正比例函数？
【分析】（1）利用一次函数定义可得m﹣2≠0，再解不等式即可；
（2）利用正比例函数定义可得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，再解方程可得m的值．
【解答】解：（1）由题意得：m﹣2≠0，
解得：m≠7；
（2）由题意得：|m|﹣2＝0，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
【点评】此题主要考查了正比例函数和一次函数定义，关键是掌握形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数．
四、解答题（三）（共两小题，每题12分，共24分）
22．（12分）如图，一次函数与x轴交于点A，点C与点A关于y轴对称．
（1）直接写出A，B，C的坐标；
（2）求直线BC的函数解析式；
（3）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，求点M的坐标．
【分析】（1）由一次函数解析式y＝x+3，得到与x轴，y轴的交点A，B两点的坐标，由点C与点A关于y轴对称，得到C点坐标；
（2）由B，C两点坐标，利用待定系数法，求出直线BC的函数解析式；
（3）由M点坐标，得到BD的长，由直线MQ与AB，BC相交，得到P，Q两点坐标，得到PQ的长，利用三角形面积，求出m的值．
【解答】解：（1）一次函数，
∵当y＝0时，x+3＝0，
∴x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵当x＝6时，y＝3，
∴B（0，7），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（6，0）；
（2）B（6，3），0），
设直线BC的函数解析式为 y＝kx+b，
∴，
∴解得，
∴直线BC的函数解析式为 ；
（3）设点M（m，7），
∴P，Q两点的横坐标均是m，
∴点 ，点 ，
∴，
过点B作 BD⊥PQ 于点D，
∴BD＝|m|，
∴△PQB 的面积 ＝，
∴解得 ，
∴点M的坐标为 或．
【点评】本题考查了一次函数与x，y轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，以及一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
23．（12分）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，D，E是直线BC上两动点，且∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，得△ADF，连接EF，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题：
（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系，并证明；
（2）如图3，当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
【分析】（1）通过SAS证明△AEF≌△AEC，得到∠DFE＝45+45＝90°，在Rt△DFE中，有DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；
（2）作∠FAD＝∠BAD，且截取AF＝AB，连接DF，连接FE，先证明△AFD≌△ABD，再证明∴△AFE≌△ACE，则∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，在Rt△DFE 中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2．
【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC6，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
将△ABD沿AD折叠，得△ADF
∴∠1＝∠2，AB＝AF，BD＝DF，
∴AF＝AC，
∵∠DAE＝∠4+∠3＝45°，
∴∠3＝45°﹣∠7，
∵∠BAC＝90°，
∴∠1+∠4＝90°﹣45°＝45°，
∴∠8＝45°﹣∠1，
∴∠3＝∠5，
∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴∠C＝∠AFE＝45°，CE＝FE，
∴∠DFE＝45+45＝90°，
∴在Rt△DFE中，有DF2+FE2＝DE6，即DE2＝BD2+EC7．
（2）解：结论不变，DE2＝BD2+EC8
作∠FAD＝∠BAD，且截取AF＝AB，连接FE，
∵AD＝AD
∴△AFD≌△ABD（SAS），
∴FD＝DB，∠AFD＝∠ABD，
又∵AB＝AC，
∴AF＝AC，
∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，
∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，
∴∠FAE＝∠EAC，
又∵AE＝AE，
∴△AFE≌△ACE（SAS），
∴FE＝EC，EN，
∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°，
∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，
∴在Rt△DFE 中，DF2+FE2＝DE6，即DE2＝BD2+EC2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．
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