江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
2．已知平面直角坐标系内△ABC三个顶点的坐标分别为，D为边的中点，则AD=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
3．设两个单位向量a,b的夹角为，则|4a+5b|=（ ）
A．1B．
C．D．7
【答案】C
4．△ABC中，角，，的对边分别是，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
5．如图所示，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若AB=a，AD=b，则AF等于（ ）
A．14a+bB．13a+bC．14a+13bD．13a+13b
【答案】B
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则CP·BP的最小值为（ ）
A．－B．0
C．4D．－1
【答案】A
7．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是著名的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，测得MB=106+2m在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则估算索菲亚教堂的高度为（ ）

A．20mB．mC．mD．m
【答案】B
8．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若sinBsinC3sinA=csAa+csCc，且S△ABC=34a2+b2-c2，则c2a+b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】在锐角△ABC中，由余弦定理及三角形面积定理得：，
即有，而，则，又，
由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，
由正弦定理有：，即，，
△ABC是锐角三角形且，有，，解得，
因此，
由得：，，
所以． 故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数，下列结论正确的有（ ）
A．B．若，则
C．D．若，则
【答案】ACD
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则△ABC为等边三角形
D．若，则△ABC为锐角三角形
【答案】ABC
11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（ ）
A．PA⋅PC为定值
B．当AC⊥BD时，AB⋅CD为定值
C．当时，△ABC面积的最大值为
D．OA⋅OC的取值范围是
【答案】ABD
【详解】如图，过作直径，
依题意，PA⋅PC=-|PA||PC|=-|PF||PE|
=-(|OF|-|OP|)(|OF|+|OP|)=-(|OF|2-|OP|2)=-2为定值，A正确；
若AC⊥BD，则PB⋅CP=AP⋅PD=0，
则AB⋅CD=(AP+PB)⋅(CP+PD)=AP⋅CP+PB⋅CP+AP⋅PD+PB⋅PD，又PA⋅PC=-2，则AP⋅CP=-2，
同理可得PB⋅PD=-2，故AB⋅CD=-4，B正确；
如图，当时，若△ABC为等边三角形，
则S△ABC=12×23×23×32=33>32，
下面说明此等边三角形存在的情况：取中点，连接，则在中，，则，又在中，，则，所以存在满足题意的点，C错误；
若为中点，连接，则OA⋅OC=OM+MA⋅OM+MC
=OM2+OM⋅MA+MC+MA⋅MC=2OM2-4，
由题意0≤OM2≤OP2=2，则OA⋅OC∈[-4,0]，D正确. 故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若α+β=54π,则(tanα+1)(tanβ+1)的值为 ．
【答案】2
13. 若x∈R,则2-csx-sinxi-i的最小值为 ▲ .
【答案】5-1
14．在△ABC中，点是线段上的点，且满足OC=3OB，过点的直线分别交直线于点，且AB=mAE，AC=nAF，其中且，则的最小值为 .
【答案】
【详解】依题意，作出图形如下， BO=14BC，
所以AO=AB+BO=AB+14BC=
AB+14AC-AB=34AB+14AC =3m4AE+n4AF，
因为三点共线，所以，
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知为锐角，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以．
（2）因为，
所以，
所以．
16．(15分)已知平面向量a=3,1，b=x,-3.
（1）若a//b，求x的值；
（2）若a⊥b，求x的值；
（3）若=5π6，求x的值.
【答案】（1）若a∥b，则；
（2）若a⊥b，则；
（3）若a,b=5π6，则
17．（15分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，
在①，②，③这三个条件中任选一个，并解答下列问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）：
(1)求角A；
(2)若，，求BC边上的中线长．
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）选①，在△ABC中，由正弦定理及得：，
而，即，于是得，又，
所以.
选②，在△ABC中，由正弦定理及得：
，而，，则，所以.
选③，在△ABC中，由正弦定理及得：，
即，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由(1)知，，在中，由余弦定理得：
，即，
，设BC的中点为D，则，
在中，由余弦定理得：，
解得，所以BC边上的中线长.
18．（17分）在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，，.
(1)若，求边上的高；
(2)若，求△ABC的面积；
(3)求b+2c最大值.
【答案】(1) (2) (3)1433
【详解】（1），
设边上的高为，则，.
（2）∵a2=b2+c2-2bccsA，，
∵b+c=5，，
，，
.
（3）1433.
19. （17分）古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：S=p(p-a)(p-b)(p-c)，这个公式常称为海伦公式.其中，p=12a+b+c.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：S=14c2a2-c2+a2-b222，这个公式常称为“三斜求积”公式.
（1）利用以上信息，证明三角形的面积公式S=12acsinB；
（2）现有△满足，且S△ABC=63，求△周长；
（3）在△ABC中，a+c=8，tanB2=sinA2-csA，求△ABC面积的最大值.
【答案】（1）证明见详解 （2）为10+27 （3）
【小问1详解】因为csB=c2+a2-b22ac，即c2+a2-b22=accsB，
可得S=14c2a2-c2+a2-b222=14c2a2-accsB2
=14c2a21-cs2B=12acsin2B，
且，则sinB>0，所以S=12acsinB.
【小问2】10+27
【小问3详解】因为tanB2=sinB2csB2=2sinB2csB22cs2B2=sinB1+csB，
由题意可得sinB1+csB=sinA2-csA，即sinB2-csA=sinA1+csB，
整理得，
由正弦定理可得，即，
△ABC的面积S=14c2a2-c2+a2-b222=14c2a2-c+a2-2ac-b222
=14c2a2-64-2ac-1622=14c2a2-24-ac2=12ac-144，
因为，当且仅当时，等号成立，
则S=12ac-144≤12×16-144=43，
所以△ABC面积的最大值为.