全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 01区间最值问题（含答案解析版）

这是一份全国通用 中考数学 二次函数压轴题专题练习 01区间最值问题（含答案解析版），共14页。试卷主要包含了定轴定区间，定轴动区间，动轴定区间等内容，欢迎下载使用。
★二次函数最值求解方法★
★二次函数区间最值问题分析★
★求解步骤★
①确定顶点坐标：通过公式计算得到顶点坐标(h, k)。
②判断函数开口方向：根据a的正负确定。
③分析区间与对称轴的关系：
1.定轴定区间：直接利用单调性或数形结合求最值。
2.定轴动区间：分类讨论区间与对称轴的位置关系，考虑单调性求最值。
3.动轴定区间：同样需要分类讨论，考虑轴是否穿过区间及单调性。
④计算最值：结合上述分析，确定区间上的最大值和最小值。
一、定轴定区间
例1．（2024•温州模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x+k，当﹣3≤x≤2时，y的最大值为9，则k的值为 ﹣6 ．
【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣2x+k＝x2﹣2x+1+k﹣1＝（x﹣1）2+k﹣1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1．
又∵﹣3≤x≤2，抛物线开口向上，
∴当x＝﹣3时，y取最大值，最大值y＝16+k﹣1＝15+k．
又此时y的最大值为9，
∴15+k＝9．
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
对应练习：
1．（2024•东河区二模）二次函数y＝x2﹣2x﹣2中，当3≤x≤4时，y的最小值是 1 ．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，
∵3≤x≤4，
∴当x＝3时，y取得最小值1，
故答案为：1．
2．（2024•肥城市一模）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣7，当﹣2≤x≤3时，函数的最大值为 5 ．
【解答】解：由二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣7可知，
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
又2﹣（﹣2）＞3﹣2，
所以当x＝﹣2时，函数取得最大值，
y＝（﹣2）2﹣4×（﹣2）﹣7＝5．
故答案为：5．
3．（2024秋•武昌区期中）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a在﹣3≤x≤1时有最大值3，则a的值为 或﹣3 ．
【解答】解：y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，
①当a＞0 时，开口向上，
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
∴a＝；
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
综上，a＝或a＝﹣3．
故答案为：或﹣3．
4.（2024•鹿城区校级三模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．或4B．4或C．或4D．或
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：B．
5．（2024秋•姑苏区校级月考）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（2，3），则a＝ ．
（2）在（1）的条件下，当﹣1≤x≤2时，则y的取值范围是 0≤y≤3 ．
（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，求a的值．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（2，3），
∴3＝4a+8a+3a，
∴a＝，
故答案为：；
（2）由（1）知：该二次函数y的表达式为y＝x2+x+．
∵y＝x2+x+＝（x+2）2﹣，
∴抛物线开口向上，顶点为（﹣2，﹣），
∴x＝﹣1时，y＝（﹣1+2）2﹣＝0，
当x＝2时，y＝（2+2）2﹣＝3，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是：0≤y≤3．
故答案为：0≤y≤3；
（3）∵y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值8，
∴x＝1时，y＝8或﹣a＝8，
∴a+4a+3a＝8，
∴a＝1或a＝﹣8．
∴a的值是1或﹣8．
6．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+b（a≠0）．
（1）若a＜0，当﹣4≤x≤2时，y的最小值为﹣21，y的最大值为4，求a+b的值；
（2）若该二次函数的图象经过点A（1，0）和B（2，3），当m﹣2≤x≤m时，y的最大值与最小值的差8，求m的值．
【解答】解：（1）∵a＜0，对称轴x＝﹣＝1，﹣4≤x≤2，
∴当x＝﹣4时，y有最小值，
当x＝1时，y有最大值，
即，
解得：，
∴a+b＝﹣1+3＝2；
（2）由题意可知，
，
解得：，
则二次函数的表达式为y＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2，
则对称轴x＝1，顶点坐标为（1，0），
∵m﹣2≤x≤m，
∴①当m﹣2≤x≤m在对称轴的左侧时，即m＜1时，
∵y的最大值与最小值的差8，
∴3（m﹣2﹣1）2﹣3（m﹣1）2＝8，
解得：m＝（舍去），
②当m﹣2≤x≤m在对称轴的右侧时，即m＞3时，
∵y的最大值与最小值的差8，
∴3（m﹣1）2﹣3（m﹣2﹣1）2＝8，
解得：m＝（舍去），
③当m﹣2≤x≤m在对称轴的两侧时，即1＜m＜3时，
∵y的最大值与最小值的差8，
∴3（m﹣2﹣1）2﹣0＝8，或3（m﹣1）2﹣0＝8，
解得：m1＝3﹣，m2＝3+，（舍去），或m3＝1+，m4＝1﹣（舍去），
综上所述，m的值为3﹣或1+．
7．已知，二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．
（1）若该图象过点（3，6），求a的值；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值是，求a的值；
（3）当a＞0时，若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）在函数图象上，且y2＜y1＜y3，求m的取值范围．
【解答】解：（1）把点（3，6）代入y＝ax2﹣2ax+3中，得6＝9a﹣6a+3，
∴解得a＝1．
（2）抛物线的对称轴为直线，
①当a＞0时，
∵当0≤x≤3时，y的最大值是，
∴当x＝3时，y＝，
∴把（3，）代入y＝ax2﹣2ax+3中，得a＝；
②当a＜0时，
∵当0≤x≤3时，y的最大值是，
∴当x＝1时，y＝，
∴把（1，）代入y＝ax2﹣2ax+3中，得a＝﹣；
∴综上所述，a的值为或﹣；
（3）y＝ax2﹣2ax+3＝a（x﹣1）2﹣a+3，
∴二次函数对称轴为直线x＝1，
∵当a＞0时，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而增大，
∵m＜m+1＜m+3，且y2＜y1＜y3，
∴点C距离对称轴最远，点B距离对称轴最近，
∴，
解得：﹣＜m＜．
∴m的取值范围为﹣＜m＜．
二、定轴动区间
例2（2024•阳春市二模）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为 4 ．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝1，顶点（1，﹣3），
∴当y＝﹣3时，x＝1，
当y＝15时，2（x﹣1）2﹣3＝15，
解得x＝4或x＝﹣2，
∵当0≤x≤a时，y的最大值为15，
∴a＝4，
故答案为：4．
对应练习：
1．（2024秋•滨海新区期中）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且m＜0时，y的最小值为5m，最大值为5n，则m+n的值为（ ）
A．0B．﹣3C．﹣1D．﹣2
【解答】解：y＝﹣（x﹣1）2+5，顶点坐标（1，5），开口向下，对称轴x＝1，
①当m＜0，n≤1时，x＝n时，y取最大值，
即﹣（n﹣1）2+5＝5n，
解得n＝1或n＝﹣4（舍），
x＝m时，y取最小值，
即﹣（m﹣1）2+5＝5m，
解得m＝1（舍去）或m＝﹣4，
∴m+n＝﹣3，
②当m＜0，n＞1时，
y＝5n＝5，n＝1（舍去），
∴m+n＝﹣3，
故选：B．
2．（2024•广东模拟）当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 2或﹣1 ．
【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，
解得：x1＝0，x2＝2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a＝2或a+1＝0，
∴a＝2或a＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
3．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）
（1）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；
（2）已知点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1），若抛物线C与直线AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，
∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，
∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，
∴x＝﹣1或x＝3，
①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，
∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，
∴m＝﹣3；
②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，
∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；
综上所述：m＝﹣3或m＝3；
（2）由点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y＝x﹣，
抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，
∴ax2+x+＝0，
△＝﹣2a＞0，
∴a＜，
∴a＜且a≠0．
4．（2024•湖北）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．
（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
【解答】解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣；
联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，
∵抛物线C与直线l有交点，
∴Δ＝9﹣8a≥0，
∴a≤且a≠0；
（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，
∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，
∴x＝﹣1或x＝3，
①在对称轴直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，
∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，
∴m＝﹣3；
②在对称轴直线x＝1右侧，y随x增大而减小，
∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；
综上所述：m＝﹣3或m＝3；
（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，
即a≤﹣2；
②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，
即a≥，
直线AB的解析式为y＝x﹣，
抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，
∴ax2+x+＝0，
Δ＝﹣2a＞0，
∴a＜，
∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；
5．（2023•莲都区一模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是常数，a≠0），它的图象过点（1，1）．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）若a＝﹣1，此二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为3，求m的值；
（3）若该函数图象的顶点在第二象限，当a＜b时，求a+2b的取值范围．
【解答】解：（1）将（1，1）代入函数表达式得1＝a+b﹣3a，
∴b＝2a+1．
（2）∵a＝﹣1，
∴b＝2a+1＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣x+3，
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为：，
∵y有最大值为3，
∴当y＝3时，有﹣x2﹣x+3＝3，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
∵m≤x≤m+2，
又∵在的左侧，y随x的增大而增大，
∴当m+2＝﹣1时，y有最大值为3，
∴m＝﹣3．
∵在的右侧，y随x的增大而减小，
∴当m＝0时，y有最大值为3，
∴m＝0．
综上所述，m＝﹣3或m＝0．
（3）∵a＜b，
∴a＜2a+1，
∴a＞﹣1，
∵二次函数为：y＝ax2+（2a+1）x﹣3a，
∴Δ＝（2a+1）2﹣4×a×（﹣3a）＝（2a+1）2+12a2＞0，
∴函数图象与x轴有2个不同的交点，
∵图象顶点在第二象限，
∴抛物线开口向下，即a＜0，
∴
∴，
∴，
∴，
∵a+2b＝a+2（2a+1）＝5a+2，
∴．
三.动轴定区间
例3 （2024•蔡甸区月考）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+3，当1≤x≤3时，函数有最小值2a，则a的值为 1 ．
【解答】解：函数对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝a，
∵当1≤x≤3时，函数有最小值2a，
∴①a≤1时，x＝1函数取得最小值，1﹣2a+3＝2a，
解得a＝1，
②1≤a≤3时，x＝a函数取得最小值，a2﹣2a•a+3＝2a，
整理得，a2+2a﹣3＝0，
解得a1＝1，a2＝﹣3（舍去）
③a≥3时，x＝3函数取得最小值，9﹣6a+3＝2a，
解得a＝（舍去），
综上所述，a的值为1．
故答案为：1．
对应练习：
1.已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1．
（1）若M（m﹣1，y1），N（m+2，y2）两点在该二次函数的图象上，直接写出y1与y2的大小关系；
（2）若将抛物线沿y轴翻折得到新抛物线，当﹣1≤x≤3时，新抛物线对应的函数有最小值3，求m的值．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m．
∵m﹣（m﹣1）＜m+2﹣m，
∴点M到抛物线距离小于点N到抛物线距离．
∴y1＜y2．
（2）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，
∴沿y轴翻折后的函数解析式为y＝（x+m）2﹣1．
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣m．
①若﹣m＜﹣1，即m＞1，则当x＝﹣1时，y有最小值．
∴（﹣1+m）2﹣1＝3．
解得m1＝3，m2＝﹣1．
∵m＞1，
∴m＝3．
②若﹣1≤﹣m≤3，即﹣3≤m≤1，则当x＝﹣m时，y有最小值﹣1．
不合题意，舍去．
③若﹣m＞3，m＜﹣3，则当x＝3时，y有最小值．
∴（3+m）2﹣1＝3．
解得m1＝﹣1，m2＝﹣5．
∵m＜﹣3，
∴m＝﹣5．
综上所述，m的值为3或﹣5．
2．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤4有最小值﹣5，则实数a的值是 ﹣2或 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2ax﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，
当a≤﹣1时，则x＝﹣1时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝1+2a﹣2＝﹣5，解得a＝﹣2；
当a≥4时，则x＝4时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝16﹣8a﹣2＝﹣5，解得a＝（不合题意，舍去）；
当﹣1＜a＜4时，则x＝a时，函数有最小值﹣5，
∴此时y＝a2﹣2a2﹣2＝﹣5，
解得a1＝，a2＝﹣（舍去），
综上，实数a的值是﹣2或，
故答案为：﹣2或．
3．（2024•拱墅区校级开学）0≤x≤1时，函数y＝x2﹣2ax+a的最小值为﹣2，则实数a的值为 ﹣2或3 ．
【解答】解：∵函数y＝x2﹣2ax+a，
∴对称轴x＝a，
∵开口方向向上，
∴当x＞a时，y随x增大而增大，当x＜a时，y随x增大而减小，
①当a＜0时，x＝0时y有最小值，
∴0﹣0+a＝﹣2，
∴a＝﹣2；
②当a＞1时，x＝1时有最小值，
∴1﹣2a+a＝﹣2，
∴a＝3；
③当0≤a≤1时，x＝a有最小值，
∴a2﹣2a2+a＝﹣2，即a2﹣a﹣2＝0，
解得a＝2或﹣1，
∵0≤a≤1，
∴此种情况不存在a值满足题意；
综上，a的值为﹣2或3．
故答案为：﹣2或3．
4．（2021•江夏区校级自主招生）y＝x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是﹣1≤x≤3时，y只在x＝﹣1时取得最大值，则实数a的取值范围是 a＞3 ．
【解答】解：∵﹣1≤x≤3时，y只在x＝﹣1时取得最大值，
∴﹣＞，
解得a＞3．
故答案为：a＞3．
方法名称
描述
适用范围
顶点法
通过求二次函数的顶点得到最值
所有二次函数
公式法
直接代入公式求解
已知二次函数一般式
配方法
将二次函数化为顶点式求解
可配方的二次函数
对称轴法
根据对称轴和定义域判断最值
定义域在对称轴两侧或包含对称轴
区间位置
对称轴位置
最值判断
求解方法
区间内
对称轴在区间内
顶点为最值点
顶点法或公式法
区间外
对称轴在区间外
端点为最值点
比较区间端点函数值
包含对称轴
区间包含对称轴
顶点为最值点之一，另一端点可能也为最值点
分别计算顶点和端点函数值
跨对称轴
区间跨越对称轴
顶点为最值点之一，需比较另一侧的函数值
根据情况选择方法