2024-2025学年四川省成都市郫都区高二上学期11月期中数学质量检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市郫都区高二上学期11月期中数学质量检测试题（含解析），共18页。试卷主要包含了若随机事件A，B满足，，，则，下列命题中正确的是，如图，在长方体中，已知，等内容，欢迎下载使用。
说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟．
所有试题均在答题卡相应的区域内作答．
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1．下列调查中，适合用普查的是（ ）
A．了解我省初中学生的家庭作业时间 B．了解“嫦娥四号”卫星零部件的质量
C．了解一批电池的使用寿命 D．了解某市居民对废电池的处理情况
2．若随机事件A，B满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩．首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中次射击环数如图，则（ ）
A．盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差
B．黄雨婷射击环数的第百分位数为
C．盛李豪的平均射击环数超过
D．黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差
4．下列命题中正确的是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标是
B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与所成角为
D．若A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，已知O为空间任意一点，且，则
5．平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为与的交点，则线段的长为（ ）
A．3 B． C． D．
6．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件与互斥B．
C．事件两两独立D．
7．钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑．中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑．如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在正方体的四个侧面中心位置（四个大钟的钟面圆心是正方体侧面的中心），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在长方体中，已知，．动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分）
9．某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图．现因举办校庆活动，以按比例分配的分层抽样方法，从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则下列说法正确的有（ ）
A．该学校高一学生共800人
B．志愿服务小组共有学生96人
C．志愿服务小组中高三学生共有20人
D．某高三学生被选入志愿服务小组的概率为
10．下列对随机事件A , B概率的说法正确的有（ ）
A． B．
C．
D．
11．若一个平面与棱长为2的正方体的六个面都相交，且它们相交所成的二面角分别为（），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若正方体的每条棱与平面所成角都相等，则平面截此正方体所得截面面积的最大值为
D．若正方体的每个面与平面所成角都相等，则平面截此正方体所得截面面积的最大值为
第II卷（非选择题 共92分）
注意事项： 必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0．5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为 ．
已知一组数据，，．．．，的平均数为10，方差为2，若这组数据，，．．．，的平均数为，方差为，则= , = ．
两条异面直线所成的角为，在直线上取点，在直线上取点，使，且．已知，则线段的长为 ．
四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．(本小题满分13分)
已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是．
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由．
16．(本小题满分15分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：40,50，50,60，，90,100得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第百分位数；
(2)求样本成绩的众数，中位数和平均数；
(3)已知落在50,60的平均成绩是54，方差是，落在60,70的平均成绩为66，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差．
17．(本小题满分15分)
如图，在四棱锥 ，平面 ，，且 ，，，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点N到平面的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
18．(本小题满分17分)
某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．
人数统计表 （二）各年龄段人数频率分布直方图
(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值；
(2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．
19．(本小题满分17分)
已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“外积”为，且是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点，．
(1)求的长；
(2)若为的中点，求平面PEB与平面ABCD夹角的余弦值；
(3)若为线段上一点，且满足，求
数学答案
选择题
多选题
填空题
0.46 .
= 19 , = 8 .(第一空2分，第二空3分）
.（若只填了一个给2分）
解答题
(本小题满分13分)
解:（1）设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B，
则
由已知得
分
解得

所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1. 分
（2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个，
用，表示红球的编号，用表示黄球的编号，用表示蓝球的编号，
用表示第一次取出的球的编号，用表示第二次取出的球的编号，用表示试验的样本点，
则样本空间，．
可得， 分
记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，
则，所以， 分
所以， 分

因为，所以此游戏不公平． 分
(本小题满分15分)
解：（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，
解得. 分
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第百分位数，由，解得，
所以第75百分位数为8 4. 分
样本成绩的众数为7 5. 分
成绩落在[40,70)内的频率为0.05+0.1+0.2=0.3 5,
成绩落在内的频率为,
显然中位数在[7 0,8 0)内
样本成绩的中位数为7 5. 分
得样本成绩的平均数为7 4. 分
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
分
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为
. 分
17.(本小题满分15分)
解法一：过作，垂足为，则，
分
如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则， 分
∵N为的中点，
（1），
设平面的一个法向量为 ，
则，令，解得，分
分
即，
又平面， 分
所以平面； 分

分
（3）存在，且，理由如下：
假设线段上存在一点，设，
，
则分
又因为直线与平面所成角的正弦值为，
平面的一个法向量，
，
化简得，即，
，故存在，且分
解法二:

分
分
分
分
分
分

分
分
分
分
假设线段上存在一点，设，
，
则分
故存在，且 分
18.(本小题满分17分)
（1）结合频率分布直方图可知，
第二组的频率为， 分
所以第二组高为．
故补全频率分布直方图如下：
分
结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为，频率为，所以； 分
因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，
所以； 分
因为第四组的频率为，所以第四组的人数为，
所以． 分
（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比为，
所以采用分层抽样法抽取6人，
则在岁中抽取4人，在岁中抽取2人． 分
设年龄在中被抽取的4个人分别为：；
年龄在岁中被抽取的2个人分别为：；
分
记“岁中被抽取的人恰好有分在同一组” 为事件C，
分
所以. 分
(本小题满分17分)
解法一
由题意，以为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，由已知，
则, 分
则，
则， . 分
分
由题意知,
所以有，
则，解得（舍去），
故的长为. 分
（2）由（1）知，,
又为的中点，则，，
分
设平面的法向量为，
则，令，则.
故平面的一个法向量为， 分
分
（3）由（1）可得，
由题意，设，，
则 分
则，
分
由可知，， 分
且，由，
则，解得； 分
则，
则解得，， 分
则，
又，解得. 分
解法二：
①
分
分
代入①式得
分
分
∴ΔDFE ̴̴ ΔBAE
分
分
（3）同解法一 （注意：若前两问用的几何法，第（3）问用向量法，则第（3）下问按照6分的标准评分。）
序号
分组（岁）
本组中“低碳族”人数
“低碳族”人数在本组所占的比例
1
[25, 30)
120
0.6
2
[30, 35)
195
p
3
[35, 40)
100
0.5
4
[40, 45)
a
0.4
5
[45, 50)
30
0.3
6
15
0.3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
A
C
C
D
B
D
题号
9
10
11
答案
AC
ACD
BCD