四川省成都市郫都区2024届高三上学期阶段检测（三）文科数学试卷

这是一份四川省成都市郫都区2024届高三上学期阶段检测（三）文科数学试卷，共13页。试卷主要包含了命题“，”的否定为，已知，则的值为，已知向量满足，则 等内容，欢迎下载使用。

说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟．
2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答．
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，那么（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．0 D．1
3．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4.已知为等比数列的前项和，，则（ ）
A．12B．24C．48 D．96
5．如图，将程序框图输出的y看成输入的x的函数，得到函数y＝f(x)，则y＝f(x)的图象( )
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝－1对称
C．关于y轴对称
D．关于点(0，0)对称
6．若是抛物线上一点，是的焦点，为的准线，于，若，则的周长为（ ）
A． B． C．10 D．12
7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nà）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的最长棱长为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．将函数个单位长度后得到函数的图像，且函数是偶函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，点，直线，点关于直线的对称点为，则面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．若函数对任意的都有恒成立，则与的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较大
12．已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
注意事项：必须使用0．5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．若实数满足约束条件，则的最大值为________．
14．已知向量满足，则 ．
15．正方形边长为2，以为起点作射线交边于，则的概率为 ．
16．将四个半径为的小球放入一个大球中，则这个大球半径的最小值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．
17．数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，某线下家电商场为提升人气和提高营业额也开通了在线直播，下表统计了该商场开通在线直播的第x天的线下顾客人数y（单位：百人）的数据：
（1）根据第1至第5天的数据分析，计算变量y与x的相关系数r,并用r判断两个变量y与x相关关系的强弱（精确到小数点后三位）；
（2）根据第1至第5天的数据分析，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求出该线性回归方程并估计该商场开通在线直播的第10天的线下顾客人数．
（参考公式：
回归方程：，其中，）
（本小题满分12分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积．
（1）求；
（2）若，，求．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，平面．
（1）证明：平面平面；
（2）设，，求四棱锥的高．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆，点A，B为椭圆C的左右顶点（A点在左），，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆C交于（与A，B不重合）两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：．
请考生在22、23题中任选一题作答，共10分，如果多作，则按所作的第一题计分． 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑．
（本小题满分10分）
瑞士数学家雅各布·伯努利在1694年类比椭圆的定义，发现了双纽线．双纽线的图形如图所示，它的形状像个横着的“8”，也像是无穷符号“∞”．定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求双纽线的极坐标方程；
（2）双纽线与极轴交于点P，点M为C上一点，求面积的最大值（用表示）．
23．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）解不等式；
（2）设函数的最小值为，正数满足，证明：．
郫都区高2021级第三次阶段性考试数学（文科）参考答案
选择题
CDBCD DCAAB CD
填空题
13. 4 14. 15. 16.
解答题
17.解：（1） ……………………………………………………………………1分
…………………………………………………………………………2分
…………………………………………………3分
……………………………………………………………………4分
………………………………………………………………………5分
……………………………………………………………………………6分
∴两个变量y与x相关关系很强. ………………………………………………………………………7分
（2）.…………………………………………………………………………8分
…………………………………………………………………………11分
故预估该商场开通在线直播的第10天的线下顾客人数为33.2百人。…………………………………12分
18.（1）由题意可知，,
由，得，………………………………………………………………………………3分
由正弦定理可知，，……………………………………………………………………4分
由，得，即…………………………………………………………6分
（或………………………………………………………………………………2分
由正弦定理可知：，……………………………………………………4分
因为，所以.)………………………………………………………………6分
（2）由，可知角为锐角，
所以，得，，………………………………………………………8分
所以，………………………………………………………………………………9分
由，又，
得,…………………………………………………………………………………………………10分
由正弦定理得，所以，……………………………………………………………11分
由余弦定理，
得……………………………………………………………………12分
19.（1）证明：因为平面，平面,所以,……………………………………2分
又因为，即，平面，,
所以平面，又因为平面,…………………………………………………………4分
所以平面平面.…………………………………………………………………………………6分
（2）如图，过点作，垂足为.
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
所以四棱锥的高为.………………………………………………………………………………8分
因为平面，平面,
所以,,
又因为，为公共边，
所以与全等，所以.
设，则，所以为中点，,
又因为,所以,即，解得，
所以，
所以四棱锥的高为．……………………………………………………………………………12分
20.（1）由题意可知：，所以，所以，………………………………3分
所以椭圆的标准方程为；…………………………………………………………………………4分
（2）证明：由题意，直线的斜率不为0，设直线，，
联立可得，……………………………………………………………5分
显然，
所以，所以，…………………………………………7分
又因为，
所以，……………………………………………………………9分
令，
则，，………………11分
解得，即
所以点P在定直线上.…………………………………12分
解：（1）当时，
分
故在单调递减，单调递增分
所以有极小值，无极大值…………………………………………………………3分
由恒成立知，…………………………………………………………4分
令，则
由
即在单调递减，单调递增.……………………………………………………………5分
故………………………………………………………………………………………6分
所以……………………………………………………………………………………………………7分
由（2）知，当时，即……………………………8分
故……………………………………………………………………9分
以此类推，
上式等号不会同时成立，将之叠加可得.……………………………………………………………………10分
.……………11分
所以.……………………………………………………………………………………12分
22.22.解：（1）以坐标原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，如图，
在双纽线C上任取一点，
在中，，…………………………………………………………2分
在中，，…………………………………………………………………3分
依题意，，则，……………………………4分
即，整理得：，
所以双纽线的极坐标方程为．………………………………………………………………5分
（2）令，得，则点到极轴所在直线的距离为，………………………7分
则……………………………8分
，………………………………………………………………………………9分
当且仅当时取等号，…………………………………………………………………………………10分
所以面积的最大值为．
（1）当时，由
得，此时，；………………………………………………………………………………………1分
当时，由
得，此时，；…………………………………………………………………………………2分
当时，由，
解得，此时，.………………………………………………………………………………………3分
综上所述，不等式的解集为.………………………………………………………………………………………………5分
（2）证明：由（1）可知，，
函数在区间上单调递减，且，
在区间上单调递减，且，
在上单调递增，且，
所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增，……………………………………7分
所以，函数的最小值为，所以，
所以，………………………………8分
，………………………9分
当且仅当时，等号成立，所以，.………………………………………10分x
1
2
3
4
5
y
10
12
15
18
20