2023-2024学年四川省成都市郫都区第四中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省成都市郫都区第四中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出，再求交集即可.
【详解】据题意，所以
故选：C
2．已知命题，，则命题p的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】特称命题的否定，把存在量词换成全称量词，再把结论否定即可.
【详解】根据题意，可知命题p的否定为：，.
故选：D.
3．若函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求二次函数的对称轴，根据对称轴和区间的关系可得答案.
【详解】因为的对称轴为，且其图象开口向上，
所以或，解得或，所以的取值范围是.
故选：B.
4．已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】确定函数单调递增，计算，，得到答案.
【详解】在上单调递增，，，
故函数的零点在区间上.
故选：B
5．著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，如函数的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出函数定义域,排除两个选项，再由函数值的正负排除一个，从而得正确选项．
【详解】由得，即函数定义域是，排除AB，
时，，，，时，，，，因此排除C，
故选：D．
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的单调性，结合中间量比较大小即可.
【详解】解：∵，，，
∴.
故选：D．
7．已知函数满足对任意的都有，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据在上的单调递减，可以列出相应的不等式方程组，计算求解即可.
【详解】已知函数满足对任意的都有，
所以函数在上单调递减，
在上单调递减，故，
在上单调递减，故，
又函数在上单调递减，所以，
所以，解得.
故选：C.
8．定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据函数的单调性和奇偶性的综合运用求出和的解，再分解为或，两种情况分别求解即可.
【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递减，
所以在上单调增，
又，
所以可化为
可得，解得：或，
同理可得的解：，
由可得或，
解得：或，
则不等式的解集为，
故选：A.
二、多选题
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，两函数的解析式不同，所以不是同一函数；
对于B，两函数的定义域都相同为，其次，所以是同一函数；
对于C，函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数；
对于D，两函数的定义域相同都为，且解析式相同，所以是同一函数.
故选：BD
10．设，某学生用二分法求方程的近似解（精确度为），列出了它的对应值表如下：
若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为（ ）
A．1.31B．1.38C．1.43D．1.44
【答案】BC
【分析】f(x)在R上是增函数，根据零点存在性定理进行判断零点所在的区间﹒
【详解】与都是上的单调递增函数，
是上的单调递增函数，
在上至多有一个零点，
由表格中的数据可知：
，
在上有唯一零点，零点所在的区间为，
即方程有且仅有一个解，且在区间内，
，
内的任意一个数都可以作为方程的近似解，
，
符合要求的方程的近似解可以是和1.43﹒
故选：BC﹒
11．已知都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于已知条件的等式，求解相关解析式最值的题型，有的可以直接利用基本不等式求解，如A项；有的需要常值代换，构造积为定值求解，如B项；有的需要将条件等式两边平方再用基本不等式求解，如C项；有的需将所求解析式取平方后求解，如D项.
【详解】对于A选项，因都是正实数，且，由基本不等式可得，当且仅当时等式成立，故A项正确；
对于B选项，因，则，即当且仅当时等式成立，故B项错误；
对于C选项，因当且仅当时等式成立，故C项正确；
对于D选项，由因，故有，当且仅当时等式成立，
故D项正确.
故选：ACD.
12．定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增B．
C．在上单调递减D．若正数满足，则
【答案】ABD
【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D.
【详解】对于任意，，
所以，所以在上单调递增，故选项A正确；
因为的定义域为，所以，
所以为奇函数，所以，由在上单调递增，
所以，故选项B正确；
对于任意，
，
因为，，所以，所以，
所以在上单调递增，故选项C错误；
，即，
又，所以，
因为在上单调递增，所以，
解得，即，故选项D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．已知函数（）的图像恒过定点，则点的坐标为 .
【答案】
【分析】由，令真数为，即代入求值，可得定点坐标．
【详解】∵，∴当时，，
∴函数的图像恒过定点
故答案为：
14．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域.
【详解】由函数解析式知：，解得，
故答案为：.
15．已知函数，则 .
【答案】
【分析】计算，根据得到答案.
【详解】，函数定义域为，
则，
.
故答案为：
16．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍．（结果精确到0.01．当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2）
【答案】1.26
【分析】令“心宿二”的星等m1＝1.00，“天津四“的星等m2＝1.25，根据题中关系，代入方程，即可求得的值，代入公式，即可求得答案.
【详解】由题意，两颗星的星等与亮度满足：m1﹣m2＝2.5（lgE2﹣lgE1），
令“心宿二”的星等m1＝1.00，“天津四“的星等m2＝1.25，
则m2﹣m1＝2.5（lgE1﹣lgE2）＝1.25﹣1.00＝0.25，
所以lgE1﹣lgE2＝，即，
所以，
则”心宿二“的亮度大约是”天津四“的1.26倍，
故答案为：1.26．
四、解答题
17．化简求值（需要写出计算过程）．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则，化简求值；
（2）根据对数运算法则，化简求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式．
18．已知集合，不等式的解集为集合B．
(1)当时，求﹔
(2)设命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简集合A，B，再利用集合的交集运算求解；
（2）由p是q的充分不必要条件，得到求解.
【详解】（1）解：∵，即，
B：，
∴，
，
∴；
（2）∵p是q的充分不必要条件，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴a的取值范围是．
19．科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是，2秒后染料扩散的体积是，染料扩散的体积y与时间x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①，②，其中m，b均为常数．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)若染料扩散的体积达到，至少需要多少秒．
【答案】(1)选，
(2)至少需4秒
【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；
(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.
【详解】（1）因为函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数中，随的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，
根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即，
由题意可得：，解得：，
所以该模型的解析式为：，
（2）由（1）知：，
由题意知：，也即，则有，
∴，∴，
∴至少需要4秒．
20．已知函数.
(1)在坐标系下画出函数的图象;
(2)求使方程的实数解个数分别为时的相应取值范围.
【答案】(1)作图见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据基本初等函数的性质即可作出图象，
（2）利用函数图象的交点个数即可结合图象求解.
【详解】（1）
（2）方程的实数解个数等价于函数与图象交点个数
∴个数为1时，的取值范围为;
个数为2时，的取值范围为或;
个数为3时，的取值范围为.
21．已知关于x的不等式的解集为或．
(1)求a，b的值；
(2)若，解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据不等式的解集和方程的根的关系，列方程组求a，b的值；
（2）代入a，b的值，然后分与的大小关系讨论来解不等式.
【详解】（1）关于x的不等式的解集为或
即方程的根为，
，
解得；
（2）由（1）得关于的不等式，
即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
22．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由;
(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明;
(3)若对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)奇函数，理由见解析
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）判断的关系即可得出结论；
（2），且，利用作差法比较的大小，即可得出结论；
（3）根据函数的奇偶性与单调性解不等式即可.
【详解】（1），易知的定义域为，关于原点对称，
又，
，
是奇函数；
（2）设，且，
，
又，且，
，
，
，
，即，
在上单调递增；
（3），
，
是奇函数，
，
是增函数，
，
，
令，
因为，
当且仅当，即时取等号，
∴，
∴.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
即取值作差变形定号下结论.
0
1
2
3