54，四川省成都市郫都区2023-2024学年高二上学期期中数学试题

这是一份54，四川省成都市郫都区2023-2024学年高二上学期期中数学试题，共10页。试卷主要包含了已知事件，且，则，下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。

说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟．
2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．不存在
2．一支野外科学考察队有男队员56人，女队员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，那么下面说法正确的为（ ）
A．女队员应抽取6人B．女队员应抽取14人
C．男队员应抽取12人D．男队员应抽取16人
3．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在右图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ）
a b c d
A．为中位数，为平均数，为平均数，为中位数
B．为平均数，为中位数，为平均数，为中位数
C．为中位数，为平均数，为中位数，为平均数
D．为平均数，为中位数，为中位数，为平均数
4．直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（ ）
A．9B．12C．18D．24
5．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A．中位数为3，众数为3B．平均数为3，中位数为3
C．中位数为2，极差为2D．平均数为2，标准差为2
6．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校甲、乙两个班共70人（甲班40人，乙班30人）参加了共产主义青年团知识竞赛，甲班的平均成绩为77分，方差为123，乙班的平均成绩为70分，方差为130，则甲、乙两班全部同学的成绩的方差为（ ）
A．74B．129C．136D．138更多免费优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 7．小赵同学准备了四个游戏，四个游戏中的不透明的盒子中均装有3个白球和2个红球（小球除颜色外都相同），游戏规则如下表所示：
若你和小赵同学玩这四个游戏中的一个，你想获胜，则应该选（ ）
A．游戏1B．游戏2C．游戏3D．游戏4
8．已知在中，其中的平分线所在的直线方程为，则的面积为（ ）
A．B．C．8D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知事件，且，则（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果与相互独立，那么
D．如果与相互独立，那么
10．下列结论正确的有（ ）
A．直线与直线之间的距离为5
B．若一直线的方向向量为，则此直线倾斜角为
C．若直线与直线平行，则
D．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是
11．2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局．2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是（ ）
图1：2017—2021年全国居民人均可支配收入及其增长速度
图2：2021年全国居民人均消费支出及其构成
A．2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增
B．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降
C．2021年全国居民人均消费支出24000元
D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过
12．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．
（1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点且其坐标满足，称为直线的方程；
（2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点且其坐标满足，称为平面的方程．
设直线的方程为，平面的方程为，，则（ ）
A．
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．到平面的距离为
D．向量是平面内的任意一个向量，则存在唯一的有序实数对，使得，其中．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知点是点在平面上的射影，则等于______．
14．二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是，缴获的该月生产的辆坦克编号从小到大为，即最大编号为，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间，由于是未知的，除了最右边的区间外，其他个区间都是已知的．由于这个数是随机抽取的，所以可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，进而得到的估计值．例如，缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为______．
15．小明设计如下的方案测二面角大小：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且到直线的距离到直线的距离，则二面角的大小为______．
16．已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______．
四、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
如图，平行六面体的底面是菱形，且
（1）用空间的一个基底表示，并求的长；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
18．（本小题满分12分）
为了解学校食堂的满意度，某调查小组在高一和高二两个年级各随机抽取10名学生进行问卷计分调查（满分100分），得分如下所示：
高一：
高二：
（1）求高一年级问卷计分调查平均数，估计高一年级学生问卷计分调查的第70百分位数；
（2）若规定打分在86分及以上的为满意，少于86分的为不满意，从上述满意的学生中任取2人，先列出所有可能的结果，再计算这2人来自同一年级的概率．
19．（本小题满分12分）
已知直线．
（1）若直线与直线垂直，求实数的值；
（2）若直线在轴上的截距是它在轴上截距的2倍，求直线的方程．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，平面平面．
（1）判断与的位置关系并给予证明；
（2）求到平面的距离．
21．（本小题满分12分）
从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“”模式．“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如右图所示：
（1）根据频率分布直方图，估计此次化学考试成绩的平均值；
（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级的原始分区间；
（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为60，试计算其等级分．
22．（本小题满分12分）
如图甲，已知在长方形中，为的中点．将沿折起，如图乙，使得平面．
甲 乙
（1）求证：平面平面；
（2）若点是线段上一动点，点在何位置时，二面角的余弦值为．
参考答案：
1-4 BDAB 5-8 CDAC 9．ABD 10．BC 11．AC 12．ACD
13． 14．24 15．120° 16．
17．（1）由题，，，构成空间的一个基底．
因为，
所以
，
所以．
（2）又，，
所以
∴
∴异面直线与所成的角为，余弦值为0．
18．（1）高一年级问卷计分调查平均数：，
将高一调查的数据从小到大排列：64，72，75，78，78，79，85，86，91，92，
∴，
所以第7位数和第8位数的平均数位第70百分位数，即．
（2）高一年级满意的有3个，记为，高二年级满意的有2个，记为，
则从上述满意的学生中任取2人，
基本事件有共有10个，
设事件“上述满意的学生中任取2人，求这2人来自同一级”为，
则包含，共有4个，
故．
19．（1）因为直线与直线垂直，
所以，
解得或.
（2）令，得，令，，
由题意知，解得或，
所以直线的方程为或
（或者找出恒过点，利用截距式方程求解）
20.【详解】（1）
证明：∵底面为正方形，∴，
∵平面，平面∴平面，
∵平面﹐平面平面∴
（2）取的中点，连接，
∵为正三角形，
∵ 侧面底面，侧面底面，平面，
底面
故到底面的距离为：，且，则
∵ ，则，即：，故，
又是的中点，所以到平面的距离为.
（或者建立空间直角坐标系，用点面距离公式直接求解）
21.（1）由，可得，
此次化学考试成绩的平均值为分．
（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为，位于区间的占比为，
因为成绩E等级占比为，成绩D等级占比为所以等级D的原始分区间的左端点位于区间，右端点位于区间，
估计等级D的原始分区间的左端点为，
等级D的原始分区间的右端点为
所以估计此次考试化学成绩D等级的原始分区间为．
（3）由（2）可知原始分60是D等级，
解得，该学生的等级分为51分．
22.（1）证明：∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵平面.平面∴
又∵∴平面
∵平面
∴平面平面．
（2）因为，，是的中点，∴，
取的中点，连接，则，
取的中点，连接，则，
∵平面
∴平面
∴两两垂直以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，
设，，
因为平面的一个法向量，
，，
设平面的一个法向量为，
则，可得．
再由，
则，∴或（舍），
所以为的靠近点的五等分点．游戏1
游戏2
游戏3
游戏4
取球规则
一次性取一个，取一次
一次性取两个，取一次
一次性取一个，不放回地取两次
一次性取一个，有放回地取两次
获胜规则
取到红球→小赵胜
取到白球→小赵败
两球不同色→小赵胜
两球同色→小赵败
两球不同色→小赵胜
两球同色→小赵败
两球不同色→小赵胜
两球同色→小赵败
等级
人数比例
赋分区间