备战2025年高考二轮复习数学中低档大题规范练1（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学中低档大题规范练1（Word版附解析），共3页。试卷主要包含了已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。
学生用书P225
1.(13分)(2024·安徽淮北二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-b=2csin2A2.
(1)试判断△ABC的形状;
(2)若c=1,求△ABC周长的最大值.
解(1)由c-b=2csin2A2,可得sin2A2=c-b2c,
所以1-csA2=c-b2c,即12-csA2=12-b2c,
所以cs A=bc.
又由余弦定理得b2+c2-a22bc=bc,可得a2+b2=c2,所以C=π2,所以△ABC是直角三角形.
(2)由(1)知,△ABC是直角三角形,且c=1,可得a=sin A,b=cs A,所以△ABC周长为1+sin A+cs A=1+2sinA+π4,
因为A∈0,π2,可得A+π4∈π4,3π4,
故当A=π4时,即△ABC为等腰直角三角形,△ABC的周长取到最大值,最大值为2+1.
2.(15分)(2024·山东潍坊一模)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,A,C分别是椭圆E的左、上顶点,|AC|=5,且椭圆E的焦距为23.
(1)求E的方程和离心率;
(2)过点(1,0),斜率存在且不为零的直线交椭圆于R,S两点,设直线RS,CR,CS的斜率分别为k,k1,k2,若k1+k2=-3,求实数k的值.
解(1)由题意可得A(-a,0),C(0,b),可得|AC|=a2+b2=5,2c=23,
所以c=3,所以a2-b2=c2=3,a2+b2=5,
解得a2=4,b2=1,所以离心率e=ca=32,
故椭圆E的方程为x24+y2=1,离心率e=32.
(2)由(1)可得C(0,1),由题意设直线RS的方程为x=my+1(m≠0),则k=1m,设R(x1,y1),S(x2,y2)(x1x2≠0),联立x24+y2=1,x=my+1,
整理得(4+m2)y2+2my-3=0,
显然Δ>0,且y1+y2=-2m4+m2,y1y2=-34+m2,
直线CR,CS的斜率k1=y1-1x1,k2=y2-1x2,
则k1+k2=y1-1x1+y2-1x2
=(my2+1)(y1-1)+(my1+1)(y2-1)(my1+1)(my2+1)
=2my1y2+(1-m)(y1+y2)-2m2y1y2+m(y1+y2)+1
=2m·-34+m2+(1-m)·-2m4+m2-2m2·-34+m2+m·-2m4+m2+1
=2m-1.
因为k1+k2=-3,即-3=2m-1,解得m=13,
所以直线RS的斜率k=1m=3,即实数k的值为3.
3.(15分)(2024·山东青岛三模)如图所示,多面体ABCDEF,底面ABCD是正方形,点O为底面的中心,M为EF的中点,侧面ADEF与BCEF是全等的等腰梯形,EF=4,多面体ABCDEF其余棱长均为2.
(1)证明:MO⊥平面ABCD;
(2)若点P在棱CE上,直线BP与平面ABM所成角的正弦值为24221,求EP的长.
(1)证明取AB,CD的中点K,Q,连接FK,KQ,QE,则O为KQ的中点.
因为侧面ADEF是等腰梯形,所以EF∥AD.
又KQ∥AD,所以KQ∥EF.
因为多面体ABCDEF的棱长除棱EF外均相等,
所以△ABF和△DCE都是边长为2的等边三角形,得FK=EQ,所以四边形FKQE为等腰梯形.
因为M为EF的中点,O为KQ的中点,
所以MO⊥KQ.
因为△ABF是等边三角形,所以AB⊥FK.
又AB⊥KQ,KQ,FK⊂平面FKQE,KQ∩FK=K,所以AB⊥平面FKQE,
因为AB⊂平面ABCD,
所以平面FKQE⊥平面ABCD,
平面FKQE∩平面ABCD=KQ,MO⊂平面FKQE,MO⊥KQ,
故MO⊥平面ABCD.
(2)解在梯形FKQE中,EF=4,KQ=2,FK=EQ=3,在等腰梯形中,由勾股定理得MO=2,取BC的中点N,由(1)知,OK,ON,OM两两垂直.
以O为原点,分别以OK,ON,OM所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),M(0,0,2),K(1,0,0),C(-1,1,0),A(1,-1,0),B(1,1,0),E(-2,0,2).
设平面ABM的法向量为n=(x,y,z),AB=(0,2,0),AM=(-1,1,2),
则n·AB=2y=0,n·AM=-x+y+2z=0,令z=1,则x=2,y=0,得n=(2,0,1).
设CP=λCE(0≤λ≤1),BP=BC+CP=BC+λCE=(-2-λ,-λ,2λ),
设直线BP与平面ABM所成角为θ,
所以sin θ=|cs|=|BP·n||BP||n|=|22|34λ2+4λ+4=24221.
解得λ=12(负值舍去),
所以P为棱CE的中点,
所以EP的长为1.