第五讲 圆（单元讲义）-2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（人教版）学生版+教师版

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（导图+知识精讲+高频易错点+十七大考点讲练+难度分层练）
教学目标：
1.掌握有关圆的相关概念，会画圆，理解圆的半径，直径的联系，认识扇形
2.根据圆周长与面积的计算公式，掌握圆周长与面积的计算方法
3.通过知识间的梳理与沟通，培养初步的分析、比较、综合、概括的能力，提高运用知识解决实际问题的能力
重点：复习圆的相关概念及周长、面积的计算公式
难点：灵活运用圆的周长或面积公式解决实际问题
TOC \t "标题 2,1" \h \u \l "_Tc3104" 知识梳理精讲 PAGEREF _Tc3104 \h 2
\l "_Tc12252" 高频易错点拨 PAGEREF _Tc12252 \h 3
\l "_Tc21988" 考点一：圆的概念及特点 PAGEREF _Tc21988 \h 4
\l "_Tc3529" 考点二：与圆相关的轴对称图形 PAGEREF _Tc3529 \h 5
\l "_Tc3859" 考点三：画圆 PAGEREF _Tc3859 \h 7
\l "_Tc23417" 考点四：圆的周长 PAGEREF _Tc23417 \h 10
\l "_Tc25576" 考点五：半圆的周长 PAGEREF _Tc25576 \h 11
\l "_Tc9831" 考点六：圆的周长的应用 PAGEREF _Tc9831 \h 13
\l "_Tc7541" 考点七：含圆的组合图形的周长 PAGEREF _Tc7541 \h 15
\l "_Tc18134" 考点八：圆环的面积 PAGEREF _Tc18134 \h 16
\l "_Tc134" 考点九：求最大面积 PAGEREF _Tc134 \h 18
\l "_Tc19885" 考点十：圆的面积 PAGEREF _Tc19885 \h 20
\l "_Tc25732" 考点十一：圆的面积的应用 PAGEREF _Tc25732 \h 22
\l "_Tc7753" 考点十二：含圆的组合图形的面积 PAGEREF _Tc7753 \h 24
\l "_Tc19082" 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 PAGEREF _Tc19082 \h 27
\l "_Tc31686" 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 PAGEREF _Tc31686 \h 29
\l "_Tc15883" 考点十五：弧、圆心角、扇形的认识 PAGEREF _Tc15883 \h 32
\l "_Tc19842" 考点十六：扇形的周长和面积 PAGEREF _Tc19842 \h 34
\l "_Tc21431" 考点十七：画扇形 PAGEREF _Tc21431 \h 36
\l "_Tc15608" 中等题真题训练 PAGEREF _Tc15608 \h 39
\l "_Tc7963" 拔高题真题训练 PAGEREF _Tc7963 \h 44
知识梳理精讲
知识点01：圆的认识
1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。圆有无数条对称轴。
3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
4. 在同圆或等圆中，r=d或d=2r。
知识点02：圆的周长及圆周率的意义
1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。
2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。我们把它叫做圆周率，用字母π表示。
3.圆的周长的计算公式：C=πd，C=2πr
知识点03：圆的面积公式的推导及应用
1.圆的面积计算公式是 ：S＝πr²
2.求圆的面积，要根据圆的面积计算公式来求。
3.圆环面积的计算方法：S＝πR2－πr²或S＝π(R－r)²。
4.“外方内圆”图形中，圆的直径等于正方形的边长。如果圆的半径为r，那么正方形和圆之间部分的面积为0.86r2。
5.“外圆内方”图形中，这个正方形的对角线等于圆的直径。如果圆的半径为r，那么圆和正方形之间部分的面积为1.14r2。
知识点04：扇形的认识
1.一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形；
2.顶点在圆心的角叫做圆心角；
3.扇形的大小和半径的长短、圆心角的大小有关。
高频易错点拨
易错知识点01：圆的认识
1.直径必须过圆心。
2.圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。半圆只有1条对称轴。
3.在同一个圆内，一条直径的长度等于两条半径的长度和，但只有在同一条直线
上的两长半径才能组成一条直径。
易错知识点02：圆的周长
1.圆的周长。
围成圆的曲线的长是圆的周长，一般用字母C表示。圆的周长的大小与半径的长短有关。
2.圆周率。
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我 们把它叫作圆周率，用字母 π 表示。它是一个无限不循环小数，π=３.１４１５９２６５３５……计算时， π通常 取它的近似值３.１４。用公式表示圆周率
圆周率=圆周长/圆直径 =π。
3.圆的周长计算公式。
圆的周长 ＝直径×圆周率或圆的周长 ＝半径×２×圆周 率。如果用C表示圆的周长，那么C=π d或C=2π r。
易错知识点03：圆的面积
1.在计算圆的面积时，r2是r×r，不是r×2。
2.圆环必须是两个同心圆形成。
3.求圆环的面积时，要先算出的是“平方差”，不是“差的平方”。
4.在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。
5.在圆内画一个最大的正方形，这个正方形的对角线等于圆的直径。
6.圆心角必须具备两个条件：一是顶点在圆心上；二是角的两边是圆的半径。
7.在同一个圆中，扇形越大，这个扇形所对的圆心角就越大。
考点一：圆的概念及特点
【精讲题】（23-24六年级上·全国·单元测试）下面说法错误的是（ ）。
A．圆心决定圆的位置B．半径决定圆的大小C．直径是半径的2倍
【答案】C
【思路点拨】圆心决定圆的位置；半径决定圆的大小；在同一个圆内，直径是半径的2倍。据此判断。
【规范解答】圆心决定圆的位置；半径决定圆的大小，所以A、B两个选项的说法正确；
在同一个圆内，直径是半径的2倍，所以C选项说法错误。
故答案为：C
【精练题1】（24-25六年级上·全国·阶段练习）下图中这个圆的直径是（ ）。
A．11cmB．2.5cmC．3.5cm
【答案】B
【思路点拨】要求圆的直径，用右边三角板对齐的直尺的结束刻度减去左端三角板对齐的起始刻度即可。
【规范解答】11－8.5＝2.5（cm）
这个圆的直径是2.5cm。
故答案为：B
【精练题2】（24-25六年级上·全国·课后作业）小华用一张长为20厘米、宽为6厘米的长方形硬纸剪半径为2.5厘米的圆，他最多能剪多少个？
【答案】4个
【思路点拨】
如图，正方形内最大的圆，圆的直径＝正方形边长，长方形内剪半径为2.5厘米的圆，相当于在这个长方形内剪边长（2.5×2）厘米的正方形，沿长能剪[20÷（2.5×2）]个，沿宽能剪[6÷（2.5×2）]个（都用去尾法保留整数），沿长剪的个数×沿宽剪的个数＝能剪的总个数。
【规范解答】[20÷（2.5×2）]×[6÷（2.5×2）]
＝[20÷5]×[6÷5]
≈4×1
＝4（个）
答：他最多能剪4个。
考点二：与圆相关的轴对称图形
【精讲题】（22-23六年级上·河南驻马店·期末）下图有（ ）条对称轴。
A．2B．4C．8
【答案】B
【思路点拨】在平面内，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此找对称轴即可。
【规范解答】如图：
根据轴对称图形的意义可知，上图有4条对称轴。
故答案为：B
【精练题1】（23-24六年级上·河南郑州·期末）以虚线为对称轴，画出下面轴对称图形的另一半。
【答案】见详解
【思路点拨】观察图形可知，这个轴对称图形应该是一个圆环。以图中半圆环的圆心为圆心，先以2格的长度为半径，画出外面的右半圆弧；再以1格的长度为半径，画出里面的右半圆弧。据此解答。
【规范解答】
【精练题2】（23-24六年级上·河南周口·期中）画出如图图形的所有对称轴。
【答案】见详解
【思路点拨】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线就是对称轴。据此作图即可。
【规范解答】如图：
考点三：画圆
【精讲题】（23-24六年级上·福建莆田·期末）为创建环保社会，倡导低碳生活，李叔叔每天都是骑自行车去通信公司上班。
（1）通信公司在李叔叔家（ ）方向（ ）千米处。
（2）由于通信信号塔出现故障，公司派李叔叔去维修。信号塔在公司西偏北45°方向2千米处，请在图中用字母O表示出信号塔的位置。
（3）信号塔的信号覆盖区域是以O为圆心、半径为1.5千米的圆，请画出信号塔的覆盖区域。
【答案】（1）东偏北30°；2
（2）（3）见详解
【思路点拨】（1）地图通常是按照“上北下南、左西右东”的方向绘制的，以李叔叔家为观测点，找到通信公司在李叔叔家的方向和角度，一段单位长度代表1千米，算出它们之间的距离；
（2）一段单位长度代表1千米，2千米即2段单位长度，以公司为观测点，根据所给方向、角度和距离画出信号塔的位置，用字母O表示出来；
（3）找到圆心和半径即可画出圆，圆心是O，半径是1.5千米，即段单位长度，圆的区域就是信号塔的覆盖区域。
【规范解答】（1）（千米）
通信公司在李叔叔家东偏北30°方向2千米处。
（2）（段）
作图如下：
（3）（段）
作图如上。
【精练题1】（22-23六年级上·福建莆田·期末）台风中心位于A市南偏东30方向、距离A市400千米的方向上。
（1）根据上面的描述，在平面图上标出台风中心的位置，标上字母O。
（2）此次台风7级风圈的影响范围是半径为300千米的圆形，请在平面图上画出来。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
【思路点拨】（1）根据上北下南、左西右东，以及图中给出的数据直接在图中找出台风中心的位置，再标上字母O即可；
（2）由图可知，图上1厘米表示实际200千米，300÷200＝1.5（厘米），在平面图上，以O点为圆心，以1.5厘米为半径画圆，这个圆就是台风7级风圈的影响范围。
【规范解答】（1）（2）如图：
【精练题2】（24-25六年级上·全国·课后作业）画一画。
同学们在操场上围成一圈做套圈游戏，套圈用的瓶子应放在什么位置比较合理？画出示意图，并说明理由。
【答案】圆心；画图和理由见详解
【思路点拨】要使套圈游戏比较合理，就要把瓶子放在距离大象相等的位置。同学们围成一个圆，因为圆心到圆上任意一点的距离都相等，所以瓶子放在圆心的位置比较合理，据此分析并画图。
画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心（瓶子位置）；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆，同学们站在圆上。
【规范解答】同学们在操场上围成一圈做套圈游戏，套圈用的瓶子应放在圆心位置比较合理。
如图，○表示同学们的位置，⊕表示瓶子位置。
因为圆心到圆上任意一点的距离都相等，所以瓶子放在圆心的位置比较合理。
考点四：圆的周长
【精讲题】（23-24六年级上·全国·单元测试）求出下面图形的周长。
【答案】61.4cm
【思路点拨】图形周长＝直径是10cm圆的周长＋15cm×2；根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。
【规范解答】3.14×10＋15×2
＝31.4＋30
＝61.4（cm）
图形周长是61.4cm。
【精练题1】（23-24六年级上·河南周口·期中）下列关于圆周率说法错误的是（ ）。
A．圆周率是圆的周长与直径之间的比值
B．计算时圆周率π通常取3.14
C．圆周率是一个无限不循环小数
D．大圆的圆周率比小圆的圆周率大
【答案】D
【思路点拨】圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π是一个常数（约等于3.14），它是一个无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。
【规范解答】A．圆周率是圆的周长与直径之间的比值，正确；
B．计算时圆周率π通常取3.14，正确；
C．圆周率是一个无限不循环小数，正确；
D．无论圆的大小，圆周率是不变的，所以本选项原来的说法错误。
故答案为：D
【精练题2】（23-24六年级上·全国·课后作业）在学校200米的跑道中，每条跑道宽1.2米。由于有弯道，为了公平，外道和内道选手的起跑线不在同一地点。如：A点处是小明的起跑线，B点处是小强的起跑线（如图）。A，B两点的距离是多少米？
【答案】
7.536米
【思路点拨】由题意可知，A，B两点的距离是内外圈周长之差，根据圆的周长公式，，假设外圆半径为R，内圆半径为r，则，内外圈周长之差也就是两个圆半径之差与π的积的2倍，而每条跑道的宽就是两个圆半径之差，代入数据计算即可。
【规范解答】
（米）
答：A，B两点的距离是7.536米。
【考点评析】本题关键是明确A，B两点的距离是内外圈周长之差，而每条跑道的宽就是两个圆半径之差。
考点五：半圆的周长
【精讲题】（24-25六年级上·全国·阶段练习）一个半圆，半径是r，这个半圆的周长是（ ）。
A．πrB．C．
【答案】B
【思路点拨】周长是指封闭图形一周的长度。半圆的周长等于该圆周长的一半加上一条直径的长度，根据圆的周长公式C＝2πr，圆的直径d＝2r，据此解答。
【规范解答】2πr÷2＋d
＝πr＋2r
一个半圆，半径是r，这个半圆的周长是πr＋2r。
故答案为：B
【精练题1】（20-21六年级上·河北秦皇岛·期末）下图是由三个半圆组成的图形，求图形的周长。（单位：厘米）
【答案】12.56厘米
【思路点拨】图形的周长＝大圆周长一半＋小圆周长＝半径2厘米的圆的周长，据此列式计算。
【规范解答】3.14×2×2＝12.56（厘米）
【精练题2】（24-25六年级上·全国·课后作业）如图所示，两条小虫同时从A地爬向B地。第一条小虫沿大半圆爬行，第二条小虫沿三个小半圆爬行。哪条小虫先到达B地？为什么？（两条小虫爬行的速度相同。）
【答案】两条小虫同时到达B地，因为大半圆直径与三个小半圆直径之和相等，经过计算，两条小虫爬行的路程相同
【思路点拨】假设最大的半圆直径是d，图形下面从左到右的半圆直径分别为d1、d2、d3，根据圆的周长公式，分别求出两条路线的长度，再比较即可。
【规范解答】假设最大的半圆直径是d，
第一条小虫爬行的长度为πd÷2
第二条小虫爬行的长度为πd1÷2＋πd2÷2＋πd3÷2
＝（πd1＋πd2＋πd3）÷2
＝π（d1＋d2＋d3）÷2
因为d＝d1＋d2＋d3
所以πd÷2＝（πd1＋πd2＋πd3）÷2
答：两条路线的长度相同，两条小虫同时到达B地。
考点六：圆的周长的应用
【精讲题】（23-24六年级上·山东济南·期末）一年级小朋友两臂伸平后长度约是1.2米，32个小朋友手拉手围成一个圆圈做投掷游戏，靶子放在围成的圆圈中心位置，每个小朋友距离靶子大约是( )米。其中，距离最远的两名小朋友之间的距离是( )米。（得数都保留整数）
【答案】 6 12
【思路点拨】根据题意，32个小朋友手拉手围成一个圆圈，则每个小朋友两臂伸平后的长度乘32，即是这个圆圈的周长；
每个小朋友距离靶子的距离，相当于圆的半径；距离最远的两名小朋友之间的距离，相当于圆的直径；
根据圆的周长公式C＝πd可知，圆的直径d＝C÷π，圆的半径r＝d÷2，代入数据计算求解。
【规范解答】周长：1.2×32＝38.4（米）
直径：38.4÷3.14≈12（米）
半径：12÷2＝6（米）
每个小朋友距离靶子大约是6米。其中，距离最远的两名小朋友之间的距离是12米。
【精练题1】（23-24六年级上·河南周口·期中）把一个直径是8米的圆形花坛的半径向外延伸2米变成一个新的圆形花坛。在新的圆形花坛周围每隔1.57米摆一盆月季，能摆多少盆月季？
【答案】24盆
【思路点拨】由于在新的圆形花坛周围摆月季，那么此时新的圆的直径是8＋2＋2＝12米，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出新的圆形花坛的周长；花坛周围摆放月季，花坛是封闭图形，相当于一端植树一端不植树，用周长除以花盆的间隔距离即可求出花盆的数量。
【规范解答】3.14×（8＋2＋2）÷1.57
＝3.14×12÷1.57
＝37.68÷1.57
＝24（盆）
答：能摆24盆月季。
【精练题2】（24-25六年级上·全国·课后作业）黑蚂蚁和红蚂蚁都认为自己跑得比对方快，刚好它们看到地上的几个半圆（图①），于是它们决定比一比。黑蚂蚁沿着大半圆从甲处跑到乙处；红蚂蚁沿着两个小半圆也从甲处跑到乙处。两只蚂蚁同时起跑，说来奇怪，两只蚂蚁同时到达了乙处。
（1）两只蚂蚁请你帮助判断：哪只蚂蚁跑得快？
（2）两只蚂蚁对你的判断结果很不满意，决定再到图②的几个半圆处再比赛一次，请你猜一猜，哪只蚂蚁先从甲处跑到乙处？说说你的想法。
【答案】（1）同样快；（2）同时到达
【思路点拨】（1）图①大半圆的长度等于大圆周长的一半，两个小半圆的长度等于两个小圆周长的一半，大半圆的直径＝两个小半圆的直径和，假设小半圆的直径分别是d1、d2，大半圆的直径是d，根据圆周长公式，分别计算两条路径的长度，再根据路程÷时间＝速度，比较两只蚂蚁的速度。
（2）同理，图②的大半圆的长度等于大圆周长的一半，4个小半圆的长度等于4个小圆周长的一半，大半圆的直径＝4个小半圆的直径和，假设小半圆的直径分别是d1、d2、d3、d4，大半圆的直径是d，根据圆周长公式，分别计算两条路径的长度，再根据路程÷速度＝时间，比较两只蚂蚁的到达时间。
【规范解答】（1）假设小圆的直径分别是d1、d2，大圆的直径是d，
大半圆：π×d÷2
两个小半圆：π×d1÷2＋π×d2÷2
＝π×（d1＋d2）÷2
d＝d1＋d2
π×d÷2＝π×（d1＋d2）÷2
据此可知两条路径相同，时间相同，所以两只蚂蚁的速度相同。
答：两只蚂蚁的速度同样快。
（2）假设小半圆的直径分别是d1、d2、d3、d4，大半圆的直径是d，
大半圆：π×d÷2
4个小半圆：π×d1÷2＋π×d2÷2＋π×d3÷2＋π×d4÷2
＝π×（d1＋d2＋d3＋d4）÷2
d＝d1＋d2＋d3＋d4
π×d÷2＝π×（d1＋d2＋d3＋d4）÷2
两条路径相同，速度相同，所以花的时间也相同，2只蚂蚁同时到达乙处。
答：2只蚂蚁同时到达乙处，因为大半圆的直径等于4个小半圆的直径之和，那么2条路线的长度相等，因为蚂蚁全程速度不变，所以沿大半圆路线所需的时间等于沿4个小半圆路线所需的时间。
考点七：含圆的组合图形的周长
【精讲题】（24-25六年级上·全国·课后作业）我会求下面涂阴影的图形的周长。

【答案】12.56cm；15.7cm
【思路点拨】第一幅图，三角形内角和180°，因此阴影部分的周长可以拼成圆周长的一半，根据圆周长的一半＝圆周率×直径÷2，列式计算即可；
第二幅图，阴影部分的周长＝直径2cm的圆周长的一半＋直径3cm的圆周长的一半＋直径（2＋3）cm的圆周长的一半，据此列式计算。
【规范解答】3.14×8÷2＝12.56（cm）
3.14×2÷2＋3.14×3÷2＋3.14×（2＋3）÷2
＝3.14＋4.71＋3.14×5÷2
＝3.14＋4.71＋7.85
＝15.7（cm）
涂阴影的图形的周长分别是12.56cm、15.7cm。
【精练题1】（24-25六年级上·全国·阶段练习）如图，李师傅想把3根横截面直径都是6cm的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起，捆一圈（接头处不计）至少需铁丝( )cm。
【答案】42.84
【思路点拨】由图可知铁丝紧紧地捆绑一圈，最左边和最右边各一个半圆，上面的铁丝是2个直径，下面的铁丝是2个直径，所以总的长度实际上是由一个圆的周长加上4个直径的长度。
【规范解答】3.14×6＋6×4
＝18.84＋24
＝42.84（cm）
至少需要铁丝42.84cm。
【精练题2】（23-24六年级下·全国·课后作业）“没有全民健康，就没有全面小康”，国家重视人民群众的身体健康，将全民健身上升到国家战略的新高度。小旭每天都会围着操场跑5圈（如图），他每天大约跑多少米？
【答案】906米
【思路点拨】操场的周长＝圆的周长＋长方形的长×2，小旭跑的路程＝操场的周长×5；利用圆的周长公式，代入数据，据此解答。
【规范解答】（30×3.14＋43.5×2）×5
＝（94.2＋87）×5
＝181.2×5
＝906（米）
答：他每天大约跑906米。
考点八：圆环的面积
【精讲题】（24-25六年级上·全国·课后作业）求阴影部分的周长及面积。
【答案】周长64.52cm；面积56.52cm2
【思路点拨】观察图形可知，阴影部分的周长＝半径为10cm的圆周长的一半＋半径为（10－2）cm的圆周长的一半＋4个2cm的线段，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。
阴影部分的面积＝圆环的面积÷2，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。
【规范解答】周长：
10－2＝8（cm）
3.14×10×2÷2＝31.4（cm）
3.14×8×2÷2＝25.12（cm）
31.4＋25.12＋2×4
＝31.4＋25.12＋8
＝64.52（cm）
面积：
3.14×（102－82）÷2
＝3.14×（100－64）÷2
＝3.14×36÷2
＝56.52（cm2）
阴影部分的周长是64.52cm，面积是56.52cm2。
【精练题1】（23-24六年级上·河北邯郸·期中）为进一步推进新农村建设，幸福新村新建了一个周长为94.2米的圆形花坛。为了便于游客观赏，村委会决定在花坛的四周铺一条环形的石子路，石子路宽1米。如果每平方米小路需要80千克石子，那么修这条路一共需要多少千克石子？
【答案】7787.2千克
【思路点拨】根据圆周长公式：C＝2πr，代入数据即可求出花坛的半径，再加上1米，即可求出石子路外圆的半径，然后根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），求出小路的面积即可；再乘80千克，即可求出石子的总千克数。
【规范解答】94.2÷3.14÷2
＝30÷2
＝15（米）
15＋1＝16（米）
3.14×162－3.14×152
＝3.14×256－3.14×225
＝803.84－706.5
＝97.34（平方米）
97.34×80＝7787.2（千克）
答：修这条路一共需要7787.2千克石子。
【精练题2】（23-24六年级上·全国·单元测试）如下图，阴影部分的面积是30平方厘米，则圆环的面积是多少平方厘米？
【答案】94.2平方厘米
【思路点拨】从图意可知，大正方形的边长＝大圆半径，小正方形边长＝小圆半径，阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积＝R2－r2＝30平方厘米。圆环的面积：S＝πR2－πr2＝π（R2－r2）。所以用30×3.14即可求出圆环的面积。据此解答。
【规范解答】30×3.14＝94.2（平方厘米）
答：圆环的面积是94.2平方厘米。
考点九：求最大面积
【精讲题】（23-24六年级上·全国·假期作业）草坪中央有一个360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是6米。这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是( )平方米。（得数保留整数）
【答案】113
【思路点拨】由题意可知：喷洒的最大面积等于半径是6米的圆的面积，将数据代入圆的面积公式：S＝πr2计算即可。
【规范解答】3.14×62
＝3.14×36
≈113（平方米）
这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是113平方米。
【精练题1】（22-23六年级上·福建厦门·期末）如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。
【答案】图见详解
【思路点拨】通过观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米的圆面积的加上半径为2米的圆面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【规范解答】3.14×42×＋3.14×22×
＝3.14×16×＋3.14×4×
＝50.24×＋12.56×
＝12.56＋3.14
＝15.7（平方米）
这只小羊吃草的面积是15.7平方米。
作图如下：
【考点评析】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
【精练题2】（21-22五年级下·河南洛阳·期末）公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？
【答案】7850平方米
【思路点拨】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。
【规范解答】314÷3.14÷2＝50（米）
（平方米）
答：这个摄像头的监控范围有7850平方米。
【考点评析】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。
考点十：圆的面积
【精讲题】（23-24六年级上·山东济南·期末）如图，如果正方形和圆之间部分的面积是4.56m2，该圆的面积是（ ）m2。
A．12.56B．6.28C．4
【答案】A
【思路点拨】假设该圆的半径为rm，则圆的面积为πr2m2，正方形的面积为：2r×r＝2r2m2，则正方形和圆之间部分的面积是πr2－2r2＝（π－2）r2m2，即4.56m2，据此求出r2是多少，再根据圆的面积的计算方法进行计算即可。
【规范解答】假设该圆的半径为rm
圆的面积：πr2m2
正方形的面积：2r×r＝2r2m2
正方形和圆之间部分的面积：
πr2－2r2
＝（π－2）r2
＝1.14r2m2
r2＝4.56÷1.14＝4（m）
3.14×4＝12.56（m2）
则该圆的面积是12.56m2。
故答案为：A
【考点评析】熟练掌握圆的面积公式，并能灵活运用是解题关键。
【精练题1】（21-22六年级上·重庆綦江·期末）如图，正方形的面积是5平方米，圆的面积是（ ）。
A．20平方米B．15平方米C．15.7平方米D．78.5平方米
【答案】C
【思路点拨】通过观察图形可知：正方形的边长等于圆的半径r，正方形的面积＝边长×边长，所以圆的半径×半径＝正方形的面积。又因为正方形的面积是5平方米，所以＝5。再根据圆的面积可求出圆的面积。
【规范解答】3.14×5＝15.7（平方米）
所以圆的面积是15.7平方米。
故答案为：C
【考点评析】明确正方形的面积等于圆的半径的平方是解决此题的关键。
【精练题2】（23-24六年级下·湖北鄂州·期末）求下面阴影部分的面积。
【答案】10.56平方厘米
【思路点拨】增加一条辅助线，将阴影部分一分为二。圆面积＝πr2，由此求出半径是4厘米圆的面积，再除以4，求出四分之一圆的面积。三角形面积＝底×高÷2，由此求出大正方形中右上三角形的面积。阴影部分面积＝四分之一圆的面积－右上三角形的面积＋底为3厘米、高为4厘米的阴影三角形的面积。
【规范解答】如图：
3.14×42÷4－4×4÷2＋3×4÷2
＝3.14×16÷4－8＋6
＝12.56－8＋6
＝10.56（平方厘米）
所以，阴影部分的面积是10.56平方厘米。
【考点评析】本题考查了阴影部分的面积，需熟练运用割补法将阴影部分一分为二，分别求出面积再相加。
考点十一：圆的面积的应用
【精讲题】（22-23六年级上·河南郑州·期末）如图，把一个圆平均分成16份，然后剪拼成一个近似的长方形。下面说法正确的是（ ）。
A．近似长方形的宽相当于圆的直径
B．圆的面积和这个近似长方形的面积相等
C．圆的周长和这个近似长方形的周长相等
【答案】B
【思路点拨】
当圆被平均分为很多份时，长方形的面积十分接近圆的面积。圆的面积＝长方形的面积＝长×宽＝πr×r＝πr2，据此解答。
【规范解答】如图：
A．近似长方形的宽相当于圆的半径，选项说法错误；
B．圆的面积和这个近似长方形的面积相等，说法正确；
C．长方形的周长比圆的周长多了两条半径，选项说法错误。
故答案为：B
【精练题1】（23-24六年级上·全国·单元测试）如图，已知等腰直角三角形ABC，直角边为3厘米，圆的半径为1厘米，求阴影部分的面积。
【答案】2.93平方厘米
【思路点拨】由三角形的内角和是180度可知，三个扇形的面积等于半径为1厘米的圆面积的一半，阴影部分的面积等于等腰直角三角形ABC的面积减去半径为1厘米的圆面积的一半，据此列式解答即可。
【规范解答】3×3÷2－3.14×÷2
＝9÷2－3.14÷2
＝4.5－1.57
＝2.93（平方厘米）
【考点评析】本题考查了组合图形的面积的计算方法，明确三个扇形的面积等于半径为1厘米的圆面积的一半是解题的关键。
【精练题2】（2014五年级·全国·课后作业）如图，直径AB＝20厘米，阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，求BC的长？
【答案】15厘米
【思路点拨】根据图可知Ⅲ是半圆和三角形ABC的公有部分，阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，也就是说半圆比三角形ABC的面积大7平方厘米，又因为已知直径，可求出半圆的面积，用半圆面积减去7平方厘米就是三角形的面积，最后根据三角形的面积公式可以求出BC的长。
【规范解答】由题意可知：
半圆面积＝π÷2
＝3.14×102÷2
＝3.14×100÷2
＝157（平方厘米）
由图可知，Ⅰ＋Ⅲ＝半圆面积，Ⅱ＋Ⅲ＝SABC，又因为阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，
所以：SABC＝157－7＝150（平方厘米）
SABC＝BC×AB÷2
150＝BC×20÷2
BC＝15（厘米）
答：BC的长为15厘米。
【考点评析】此题考查了组合图形的面积和转化的思想。
考点十二：含圆的组合图形的面积
【精讲题】（21-22六年级上·新疆阿勒泰·期末）如图所示，阴影部分的面积是 cm2。
【答案】8.41
【思路点拨】
如图：1的面积＋2的面积＋3的面积＝大圆的面积的一半，3的面积＋4的面积＋5的面积＝小圆的面积的一半，小圆的面积的一半＋大圆的面积的一半＝1的面积＋2的面积＋3的面积×2＋4的面积＋5的面积，阴影部分的面积＝1的面积＋3的面积＋5的面积，小圆的面积的一半＋大圆的面积的一半－（2的面积＋3的面积＋4的面积）＝1的面积＋3的面积＋5的面积＝阴影部分的面积，而2的面积＋3的面积＋4的面积＝三角形的面积，所以阴影部分的面积＝小圆的面积的一半＋大圆的面积的一半－三角形的面积，据此解答。
【规范解答】3.14×（6÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2－6×4÷2
＝3.14×32÷2＋3.14×22÷2－24÷2
＝3.14×9÷2＋3.14×4÷2－12
＝14.13＋6.28－12
＝20.41－12
＝8.41（平方厘米）
即阴影部分的面积是8.41平方厘米。
【考点评析】此题整体较难，关键是找到阴影部分的面积与圆的面积、三角形的面积之间的关系，利用圆的面积和三角形的面积公式，求出结果。
【精练题1】（23-24六年级上·全国·单元测试）如图所示，外侧大正方形的边长是10厘米，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影部分的面积为26平方厘米，最小的正方形的边长为多少厘米？
【答案】2厘米
【思路点拨】
如图，将阴影部分拼在一起，比个大正方形多一个小三角形，根据正方形面积＝边长×边长，求出大正方形面积，求一个数的几分之几是多少用乘法，据此求出大正方形面积的，阴影部分的面积－大正方形面积的＝多出的小三角形面积，而小三角形面积×4＝最小正方形面积，再根据正方形面积公式确定最小正方形的边长即可。
【规范解答】10×10×＝100×＝25（平方厘米）
26－25＝1（平方厘米）
1×4＝4（平方厘米）
4＝2×2
答：最小的正方形的边长为2厘米。
【考点评析】关键是灵活运用正方形面积公式，理解分数乘法的意义，根据提示，先求出一个小三角形的面积。
【精练题2】（2009六年级下·全国·竞赛）如图，五环旗中每一环的外圆半径为10厘米，其中两两相交的小四曲边形（图中阴影部分）的面积相等，每个小四曲边形的面积是40平方厘米，五环盖住的总面积是684.8平方厘米，问每一环的内圆半径为多少厘米？（π＝3.14）
【答案】6厘米
【思路点拨】根据题意可知，五个环各自的面积和＝五环盖住的总面积＋所有四曲边形的面积和，用684.8＋40×8即可出五个环各自的面积和，再除以5即可求出每一环的面积，根据圆环的面积＝外圆的面积－内圆的面积，圆面积公式：S＝πr2，用3.14×102－每一环的面积即可求出内圆的面积，然后用内圆的面积除以3.14，即可求出内圆半径的平方，进而得到内圆的半径。
【规范解答】684.8＋40×8
＝684.8＋320
＝1004.8（平方厘米）
1004.8÷5＝200.96（平方厘米）
3.14×102－200.96
＝3.14×100－200.96
＝314－200.96
＝113.04（平方厘米）
113.04÷3.14＝36（平方厘米）
36＝6×6
答：每一环的内圆半径为6厘米。
【考点评析】求出五个圆的面积和是解答本题的关键。
考点十三：方中圆和圆中方的面积问题
【精讲题】（19-20六年级上·浙江杭州·期中）一张正方形纸片的对角线长是8厘米，利用这张正方形纸剪一个最大的圆，这个圆的面积是( )。（π取3.14）
【答案】25.12平方厘米/25.12cm2
【思路点拨】如下图，正方形的对角线把正方形平均分成2个三角形，三角形的底是8厘米，高是（8÷2）厘米，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是这个正方形的面积。
根据题意，利用这张正方形纸剪一个最大的圆，那么圆的直径等于正方形的边长。设圆的半径是r厘米，则正方形的边长是2r厘米；根据正方形的面积＝边长×边长，求出r2的值；
最后根据圆的面积公式S＝πr2，代入r2的值，求出这个圆的面积。
【规范解答】正方形的面积：
8×（8÷2）÷2×2
＝8×4÷2×2
＝32（平方厘米）
设正方形内最大圆的半径是r厘米，则正方形的边长是2r厘米。
2r×2r＝32
4r2＝32
r2＝32÷4
r2＝8
圆的面积：3.14×8＝25.12（平方厘米）
这个圆的面积是25.12平方厘米。
【考点评析】解题的关键是先根据正方形的对角线求出正方形的面积，再根据正方形内最大圆的直径与正方形边长的关系，得出r2的值，代入圆的面积公式求解。
【精练题1】（24-25六年级上·全国·课后作业）分别求图形中阴影部分的面积。（两个圆的直径都是4cm。）
（1） （2）
【答案】（1）3.44cm2；（2）4.56cm2
【思路点拨】（1）观察图形可知，正方形的边长与圆的直径相等；阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解；
（2）如下图，正方形的一条对角线把这个正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径；根据三角形的面积S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积；
根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积；再用圆的面积减去正方形的面积，即是阴影部分的面积。
【规范解答】（1）4÷2＝2（cm）
4×4－3.14×22
＝16－3.14×4
＝16－12.56
＝3.44（cm2）
阴影部分的面积是3.44cm2。
（2）4÷2＝2（cm）
3.14×22－4×2÷2×2
＝3.14×4－8÷2×2
＝12.56－8
＝4.56（cm2）
阴影部分的面积是4.56cm2。
【精练题2】（23-24六年级上·广东梅州·期中）如图三个图形的阴影部分相比较，（ ）。
A．周长和面积都相等
B．周长和面积都不相等
C．周长不相等，面积相等
【答案】C
【思路点拨】“正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，圆的周长C＝2πr，圆的面积S＝πr2”，据此分别计算出三个图形的周长和面积，再比较即可解答。
【规范解答】设正方形的边长为a，则圆的直径为a：
第一个图形阴部部分的周长：πa＋2a，面积：a2－π（）2；
第二个图形阴部部分的周长：πa，面积：a2－π（）2；
第三个图形阴部部分的周长：πa＋4a，面积：a2－π（）2；
所以，三个图形的阴影部分相比较，周长不相等，面积相等。
故答案为：C
考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积
【精讲题】（23-24六年级上·四川绵阳·期末）观察下边两个图形中的阴影部分，它们周长和面积的大小关系是（ ）。
A．周长和面积都相等B．周长和面积都不相等C．周长不相等，面积相等
【答案】C
【思路点拨】观察图形可知，左图中两个完全一样的半圆可以组成一个圆；左图阴影部分的周长＝圆的周长＋正方形的两条边长，左图阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；
右图中4个完全一样的圆可以组成一个圆；右图阴影部分的周长＝圆的周长，右图阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积；通过观察可知，左右正方形的边长相等，圆直径相等，所以左右两边的阴影部分面积相等，左边阴影部分的周长大于右边阴影部分的周长。
【规范解答】通过分析可知，两个图形中阴影部分图形的面积相等，周长不相等，第一个图形中阴影部分的周长多出两条边长。
故答案为：C
【考点评析】本题采用转化的方法，把不规则图形转化为规则图形就可以找到解答的方法。
【精练题1】（24-25六年级上·全国·课后作业）生活中有许多美丽的图案，你能运用圆和正方形的知识求出下面图案中阴影部分的面积吗？
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）0.86cm2；（2）57cm2
（3）60.75cm2；（4）8cm2
【思路点拨】（1）观察图形可知，4个直径为2cm的圆可以组成一个圆；则阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。
（2）观察图形可知，4个直径为10cm的半圆可以组成2个圆；则阴影部分的面积＝圆的面积×2－正方形的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。
（3）如下图，阴影部分的面积＝正方形的面积－2个空白圆的面积，其中正方形的边长等于圆的直径；根据圆的面积公式S＝πr2，正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。
（4）如下图，把上面的阴影部分移补到下面的空白部分，这样阴影部分组合成一个长为4cm、宽为2cm的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。
【规范解答】（1）2×2－3.14×（2÷2）2
＝4－3.14×12
＝4－3.14
＝0.86（cm2）
阴影部分的面积是0.86cm2。
（2）3.14×（10÷2）2×2－10×10
＝3.14×52×2－100
＝3.14×25×2－100
＝157－100
＝57（cm2）
阴影部分的面积是57cm2。
（3）（5×2） ×（5×2）－3.14×52××2
＝10×10－3.14×25××2
＝100－39.25
＝60.75（cm2）
阴影部分的面积是60.75cm2。
（4）4×2＝8（cm2）
阴影部分的面积是8cm2。
【精练题2】（22-23六年级上·湖北荆州·期末）计算下面各图中涂色部分的面积。
（1） （2）
【答案】（1）32平方米；（2）50.24平方厘米
【思路点拨】（1）如图：

通过割补，将阴影部分转化为底和高都是8米的直角三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2，用8×8÷2即可求出阴影部分的面积；
（2）根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），代入数据求出圆环的面积即可。
【规范解答】（1）8×8÷2＝32（平方米）
阴影部分的面积是32平方米。
（2）r：6÷2＝3（厘米）
R：2＋3＝5（厘米）
S：3.14×52－3.14×32
＝3.14×25－3.14×9
＝3.14×（25－9）
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
阴影部分的面积是50.24平方厘米。
考点十五：弧、圆心角、扇形的认识
【精讲题】（23-24六年级上·全国·单元测试）下面的图形中，（ ）是圆心角。
A．B．C．
【答案】A
【思路点拨】顶点在圆心的角叫圆心角，据此分析。
【规范解答】
A．顶点在圆心，是圆心角；
B．顶点不在圆心，不是圆心角；
C．顶点不在圆心，不是圆心角。
故答案为：A
【精练题1】（23-24六年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（ ）。
A．有6个扇形，它们的圆心角都是60°，这6个扇形一定可以拼成一个圆。
B．两个数相除，商一定小于被除数。
C．一场篮球比赛中，甲、乙两队的比分是3∶0，因此比的后项可以为0。
D．一个整数乘分数可以表示几个相同分数相加，也可以表示这个整数的几分之几是多少。
【答案】D
【思路点拨】A．只有半径相等的扇形才能拼成一个整圆；
B．利用两个数相除，除数与商之间的关系解答分情况探讨；
C．比的意义是两个数相除，又叫做两个数的比，比是表示两个数之间的关系；
D．几个相同加数和的简便运算可以用乘法计算，一个整数乘分数可以表示求这个整数的几分之几；据此解答。
【规范解答】A．用6个圆心角都是60°的扇形，半径不一定相等，所以用6个圆心角都是60°的扇形不一定可以拼成一个圆，所以选项说法错误；
B．一个数（不为0）除以大于1的数，商小于这个数（被除数）；一个数（不为0）除以小于1的数，商大于这个数（被除数）；一个数（不为0）除以1，商等于这个数（被除数）；所以选项说法错误；
C．一场篮球比赛的比分是3∶0，说明本次比赛，第一队进了3个球，第二队一个球也没有进，这是表示进的球的个数比，与比的意义不同，所以选项说法错误；
D．一个整数乘分数可以表示几个相同分数相加，也可以表示这个整数的几分之几是多少，所以选项说法正确。
故答案为：D
【精练题2】（23-24六年级上·全国·单元测试）如图所示，草坪上有一间长方形木屋，在木屋的一角栓着一头牛，栓牛的绳子长10米，这头牛能吃到草地的面积最大是多少平方米？
【答案】235.5平方米
【思路点拨】这头牛能吃到草地的最大范围如图所示，是半径为10米的圆的面积减去一个圆心角是90°的扇形（圆）面积，利用圆的面积公式，据此解答。
【规范解答】3.14×102×（1－）
＝3.14×100×
＝314×
＝235.5（平方米）
答：这头牛能吃到草地的面积最大是235.5平方米。
考点十六：扇形的周长和面积
【精讲题】（24-25六年级上·全国·课后作业）在一个面积为120平方厘米的圆中，圆心角为180°的扇形的面积是（ ）平方厘米，圆心角为90°的扇形的面积是（ ）平方厘米，圆心角为60°的扇形的面积是（ ）平方厘米……
填一填，思考：若圆的面积为S，则圆中圆心角为：n°的扇形的面积是多少？
【答案】60；30；20；
【思路点拨】将扇形所在圆的面积看作单位“1”，圆心角为180°的扇形的面积是圆面积的；圆心角为90°的扇形的面积是圆面积的；圆心角为60°的扇形的面积是圆面积的，圆的面积×扇形对应分率＝扇形面积，据此列式计算；由此可知，扇形面积＝扇形所在圆的面积×，据此分析。
【规范解答】120×＝60（平方厘米）
120×＝30（平方厘米）
120×＝20（平方厘米）
在一个面积为120平方厘米的圆中，圆心角为180°的扇形的面积是60平方厘米，圆心角为90°的扇形的面积是30平方厘米，圆心角为60°的扇形的面积是20平方厘米。
观察上面算式，若圆的面积为S，则圆中圆心角为n°的扇形的面积是。
【精练题1】（24-25六年级上·全国·课后作业）三个直径相等的圆如图所示，你知道阴影部分面积与其中一个圆的面积之比吗？
【答案】1∶2
【思路点拨】直径相等，则半径也相等，由此可知，三个圆的面积相等；三角形的内角和是180度，所以阴影部分可以拼成一个半径是1厘米的半圆，根据圆的面积＝×半径的平方，分别求出阴影部分的面积和一个圆的面积即可解答。
【规范解答】3.14×÷2
＝3.14×1÷2
＝3.14÷2
＝1.57（平方厘米）
3.14×
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
3.14∶1.57＝1∶2
答：阴影部分面积与其中一个圆的面积之比是1∶2。
【精练题2】（23-24六年级上·全国·课后作业）在长方形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE的半径AE＝6厘米，扇形CBF的半径CF＝4厘米，求图中阴影部分的面积。
【答案】16.82平方厘米
【思路点拨】观察图形，得出图中的阴影部分面积可以用扇形ABE的面积减去空白部分ABFD的面积，而空白部分ABFD的面积又可以用长方形ABCD的面积减去扇形BCF的面积。
其中扇形ABE的面积等于半径为6厘米的圆的面积，扇形BCF的面积等于半径为4厘米的圆的面积。长方形的面积＝长×宽，扇形的面积＝。将数据带入即可。
【规范解答】6×4－3.14×42
＝24－×3.14×16
＝24－3.14×4
＝24－12.56
＝11.44（平方厘米）
×3.14×62－11.44
＝3.14×36－11.44
＝3.14×9－11.44
＝28.26－11.44
＝16.82（平方厘米）
答：图中阴影部分的面积是16.82平方厘米。
考点十七：画扇形
【精讲题】（23-24六年级上·广东东莞·期末）下图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，请在图中按要求画一画。
（1）请画一个长与宽的比是3∶2，周长是20平方厘米的长方形。
（2）根据对称轴画出对称图形的另一半。
（3）画一个半径2厘米的圆并在圆中画一个圆心角是120°的扇形，把扇形图上颜色。
【答案】见详解
【思路点拨】（1）长方形周长÷2＝长宽和，将比的前后项看成份数，长宽和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长和宽的对应份数，求出长和宽，画出这个长方形即可。
（2）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。
（3）画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。根据画圆的方法先画出半径2厘米的圆，再以其中一条半径为边画出一个120°的圆心角，即可画出这个扇形。
【规范解答】20÷2÷（3＋2）
＝10÷5
＝2（厘米）
2×3＝6（厘米）
2×2＝4（厘米）
画出的长方形长6厘米，宽4厘米。
【精练题1】（23-24六年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）画一个直径是4cm的圆，标出圆心O和半径r，再在圆中画一个圆心角是100°的扇形。
【答案】见详解
【思路点拨】画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形。扇形是圆的一部分。
直径÷2＝半径，据此先画出直径4cm的圆，再以一条半径为边，画一个100°的圆心角，即可画出这个扇形。
【规范解答】4÷2＝2（cm）
【精练题2】（23-24六年级下·重庆黔江·期末）下图是一个长方形的羊圈，羊圈的周围是草地。把一只羊拴在羊圈墙面外的拐角处（如图）。已知拴羊的绳子长2米。
（1）在图上画出这只羊能吃到草的范围并涂上阴影。
（2）这只羊能吃到的草的最大面积是多少平方米？
【答案】（1）见详解；
（2）9.42平方米
【思路点拨】（1）这只羊能吃到草的范围是以2米长为半径的圆面积的，据此画图即可；
（2）这只羊能吃到草的最大面积是以2米长为半径的圆面积的，根据圆的面积公式S＝解答即可。
【规范解答】
（1）如图：
（2）3.14××
＝3.14×4×
＝12.56×
＝9.42（平方米）
答：这只羊能吃到的草的最大面积是9.42平方米。
中等题真题训练
1．（21-22六年级上·河南信阳·期末）一台拖拉机的后轮半径是前轮半径的2倍，如果后轮转动10圈，那么前轮转动（ ）圈。
A．2B．10C．12D．20
【答案】D
【思路点拨】根据圆的周长公式C＝2πr可知，拖拉机的后轮半径是前轮半径的2倍，那么后轮的周长就是前轮周长的2倍，由此得出：后轮和前轮滚动相同的距离时，前轮滚动的圈数是后轮圈数的2倍。
【规范解答】10×2＝20
如果后轮转动10圈，那么前轮转动20圈。
故答案为：D
2．（24-25六年级上·全国·课后作业）一个圆的半径由3cm增加到8cm，则它的面积增加了（ ）cm2。
A．55B．39C．55πD．39π
【答案】C
【思路点拨】圆的面积公式为S＝πr2，代入公式先算出半径为3cm时小圆的面积，再计算出半径为8cm时大圆的面积，然后用大圆面积减去小圆面积即可。
【规范解答】π×82－π×32
＝π×64－π×9
＝64π－9π
＝55π（平方厘米）
所以，它的面积增加了55π平方厘米。
故答案为：C
3．（23-24六年级上·辽宁·期末）车轮做成圆形的，是因为（ ）。
A．圆的直径是半径的2倍B．圆是轴对称图形
C．从圆心到圆上任意一点的距离都相等D．圆的半径决定圆的大小
【答案】C
【思路点拨】车轮做成圆形，主要是因为从圆心到圆上任意一点的距离都相等。当车轮在平面上滚动时，车轴与平面的距离就能保持不变。这样车辆行驶起来会更加平稳，不会出现颠簸的情况。据此解答。
【规范解答】A．圆的直径是半径的2倍，这是圆的基本性质，但与车轮做成圆形的原因无关。
B．圆是轴对称图形，这是圆的特征之一，但不是车轮做成圆形的主要原因。
C．从圆心到圆上任意一点的距离都相等，这使得车轮在滚动时，车轴与平面的距离始终保持不变，保证了车辆行驶的平稳，所以这是车轮做成圆形的主要原因。
D．圆的半径决定圆的大小，这是圆的另一个性质，与车轮做成圆形的直接原因无关。
故答案选：C
4．（23-24六年级上·山东临沂·期中）用圆规画一个直径10cm的圆，圆规两脚间的距离应是( )cm。
【答案】5
【思路点拨】用圆规画圆时，圆规两脚间的距离等于所画圆的半径。已知所画圆的直径，根据半径r＝d÷2，求出圆的半径，据此解答。
【规范解答】10÷2＝5（cm）
用圆规画一个直径10cm的圆，圆规两脚间的距离应是5cm。
5．（23-24六年级上·广西贵港·期中）把一个圆形纸片对折若干次，折痕的交点是( )，这些折痕所在的直线都是圆的( )。
【答案】 圆心 对称轴
【思路点拨】先把一个圆形纸片对折一次，使两个半圆完全重叠，这时圆中会出现一条折痕；然后再对折一次，得到另一条折痕；展开圆，两条折痕的交点（实际上是两条直径的交点）就是圆的圆心。
圆沿任意一条直径所在的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线就是圆的对称轴。
【规范解答】如图：
把一个圆形纸片对折若干次，折痕的交点是（圆心），这些折痕所在的直线都是圆的（对称轴）。
6．（23-24六年级上·河南焦作·期中）半圆的周长就是其所属圆周长的一半。( )（判断对错）
【答案】×
【思路点拨】周长是指封闭图形一周的长度，据此得出半圆的周长＝圆周长的一半＋直径；据此判断。
【规范解答】如图：
半圆的周长等于其所属圆周长的一半加上一条直径的长度。
原题说法错误。
故答案为：×
7．（24-25六年级上·全国·课后作业）2πr也可以写成πr2。( )（判断对错）
【答案】×
【思路点拨】r2表示r×r，2r表示2×r，二者并不相同。据此解答。
【规范解答】2πr＝π×2×r
πr2＝π×r×r
当r＝0或2时，2πr＝πr2
当r不是0或2时，2πr与πr2不相等。
所以，2πr不可以写成πr2。
故答案为：×
8．（23-24六年级上·重庆合川·期中）圆的半径扩大到原来的3倍，直径就扩大到原来的6倍，面积就扩大到原来的9倍。( )（判断对错）
【答案】×
【思路点拨】假设圆的半径是1，直径就是1×2＝2，圆的半径扩大到原来的3倍后是1×3＝3，直径就是3×2＝6，用现在的直径除以原来的直径求出直径扩大到原来的几倍，根据的圆的面积＝π×半径的平方，分别求出原来的面积和现在的面积，再用现在的面积除以原来的面积即可。
【规范解答】假设圆的半径是1，直径就是1×2＝2，圆的半径扩大到原来的3倍后是1×3＝3，直径就是3×2＝6，6÷2＝3，所以圆的半径扩大到原来的3倍，直径就扩大到原来的3倍；
原来的面积：π×＝π
现在的面积：
π×
＝π×9
＝9π
9π÷π＝9
所以圆的半径扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的9倍。
所以圆的半径扩大到原来的3倍，直径就扩大到原来的6倍，面积就扩大到原来的9倍的说法错误。
故答案为：×
9．（23-24六年级上·广东梅州·期中）求如图中阴影部分的周长和面积。
【答案】阴影部分的周长是71.4厘米，面积是121.5平方厘米
【思路点拨】通过观察可知，阴影部分的周长等于圆的周长加上2条20厘米的线段的长，面积等于长方形面积减去圆的面积，圆的直径相当于长方形的宽，也就是10厘米，根据长方形的面积＝长×宽、圆周长公式：C＝πd、圆面积公式：S＝πr2，代入数据计算即可。
【规范解答】3.14×10＋20×2
＝31.4＋40
＝71.4（厘米）
20×10－3.14×（10÷2）2
＝20×10－3.14×52
＝200－3.14×25
＝200－78.5
＝121.5（平方厘米）
阴影部分的周长是71.4厘米，面积是121.5平方厘米。
10．（24-25六年级上·全国·期末）画出下面图形的所有对称轴。
【答案】见详解
【思路点拨】在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此画出图形的对称轴。
【规范解答】如下图。
11．（23-24六年级上·河南周口·期中）2023年，中国载人航天工程办公室面向社会征集神舟十六号飞行任务的标识，某设计师以神舟十五号任务标识为参考（如图）进行设计，若设计师设计的标识外部轮廓为圆形，画出的圆形标识直径为14厘米，则设计师设计的这个圆形标识的周长是多少？若用硬纸板制作，最少使用多少平方厘米的硬纸板？
【答案】53.96厘米；153.86平方厘米
【思路点拨】根据圆的周长公式：，圆的面积公式：，把数据带入公式即可解答。
【规范解答】3.14×14＝43.96（厘米）
3.14×（14÷2）2
＝3.14×
＝3.14×49
＝153.86（平方厘米）
答：则设计师设计的这个圆形标识的周长是53.96厘米。若用硬纸板制作，最少使用153.86平方厘米的硬纸板。
12．（23-24六年级上·全国·单元测试）小明爸爸要用铁丝网围一个半径是20米的圆形鸡栏，请问：围这个鸡栏需要多少米的铁丝网？（接头处不计）
【答案】125.6米
【思路点拨】根据题意，求这个鸡栏需要铁丝网的长度，就是求半径是20米的圆的周长，根据圆的周长公式：，代入数据即可解答。
【规范解答】3.14×20×2
＝62.8×2
＝125.6（米）
答：围这个鸡栏需要125.6米的铁丝网。
拔高题真题训练
13．（21-22六年级上·河北保定·期末）有两个大小不同的圆，大圆的半径与小圆的半径比是3∶1，则这两个圆的面积比是（ ）。
A．1∶3B．3∶1C．9∶1
【答案】C
【思路点拨】圆的面积＝圆周率×半径的平方，两个圆半径比，前后项平方以后的比是面积比。
【规范解答】32∶12＝9∶1
有两个大小不同的圆，大圆的半径与小圆的半径比是3∶1，则这两个圆的面积比是9∶1。
故答案为：C
14．（24-25六年级上·全国·课后作业）把一个直径为12cm的圆的半径增加2cm，周长会增加（ ）cm。
A．12.56B．6.28C．3.14D．9.42
【答案】A
【思路点拨】由题意可知，把一个直径为12cm的圆的半径增加2cm，则此时圆的直径会增加2×2＝4cm，周长会增加直径为4cm圆的周长，然后结合圆的周长公式：C＝πd，据此进行计算即可。
【规范解答】3.14×（2×2）
＝3.14×4
＝12.56（cm）
则周长会增加12.56cm。
故答案为：A
15．（24-25六年级上·全国·单元测试）若一个圆的半径由3cm增加到6cm，则它的面积（ ）。
A．扩大到原来的3倍B．扩大到原来的9倍
C．扩大到原来的4倍D．扩大到原来的8倍
【答案】C
【思路点拨】圆的面积＝圆周率×半径的平方，一个圆的半径扩大到原来的几倍，面积扩大到原来的倍数×倍数，据此分析。
【规范解答】6÷3＝2
2×2＝4
若一个圆的半径由3cm增加到6cm，则它的面积扩大到原来的4倍。
故答案为：C
16．（2015六年级·全国·竞赛）如图，△ABC为等腰直角三角形，以AB为直径的半圆交斜边AC于点D，以点C为圆心，以BC为半径的扇形BCE交AC于点E，若AB＝10，则图中阴影部分的面积是（ ）。（π≈3.14）
A．28.5B．157C．67.75D．107
【答案】A
【思路点拨】通过观察可知，阴影部分的面积相当于半圆ABD的面积＋扇形BCE的面积－△ABC的面积，已知AB＝10，则半圆ABD的半径是（10÷2），根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（10÷2）2÷2即可求出半圆ABD的面积；已知△ABC为等腰直角三角形，则扇形BCE的圆心角是45°，根据扇形的面积公式：S＝πr2，用×3.14×102即可求出扇形BCE的面积；然后根据三角形的面积＝底×高÷2，用10×10÷2即可求出△ABC的面积，进而求出阴影部分的面积。
【规范解答】3.14×（10÷2）2÷2
＝3.14×52÷2
＝3.14×25÷2
＝39.25
×3.14×102
＝×3.14×100
＝39.25
10×10÷2＝50
39.25＋39.25－50＝28.5
图中阴影部分的面积是28.5。
故答案为：A
【考点评析】解答求阴影部分的面积，关键是观察分析图形是由哪几部分组成的，是求各部分的面积和、还是求各部分的面积差，再根据相应的面积公式解答。
17．（23-24六年级上·重庆合川·期中）在一个长8cm，宽6cm的长方形内画一个最大的圆，圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。
【答案】 3 28.26
【思路点拨】长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，根据半径＝直径÷2，代入数据，求出半径；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【规范解答】半径：6÷2＝3（cm）
面积：3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（cm2）
在一个长8cm，宽6cm的长方形内画一个最大的圆，圆的半径是3cm，面积是28.26cm2。
18．（23-24六年级上·河南商丘·期中）如图，小圆周长是大圆周长的( )，小圆面积是大圆面积的( )。
【答案】
【思路点拨】由图可知，大圆的半径是小圆的直径，则大圆的半径是小圆的半径的2倍，可以设小圆的半径是1，则大圆的半径是2，利用圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2，求一个数是另一个数的几分之几用这个数除以另外一个数，结合题意去解答。
【规范解答】设小圆的半径是1，大圆的半径是2。
小圆的周长：2×3.14×1＝6.28
大圆的周长：2×3.14×2＝12.56
6.28÷12.56＝12
小圆的面积：
3.14×12
＝3.14×1
＝3.14
大圆的面积：
3.14×22
＝3.14×4
＝12.56
3.14÷12.56＝
则大圆的半径是小圆的半径的2倍，小圆周长是大圆周长的，小圆面积是大圆面积的。
19．（23-24六年级上·河南商丘·期中）用12.56厘米长的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是( )厘米，如果把它围成一个圆，圆的面积是( )平方厘米。
【答案】 3.14 12.56
【思路点拨】利用正方形的周长＝边长×4，由此计算正方形的边长，利用圆的周长＝3.14×半径×2，计算出圆的半径，然后利用圆的面积＝3.14×半径2，据此解答。
【规范解答】12.56÷4＝3.14（厘米）
圆的半径：12.56÷3.14÷2＝2（厘米）
圆的面积：3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
正方形的边长是3.14厘米，圆的面积是12.56平方厘米。
20．（23-24六年级上·广东梅州·期中）如图圆的面积是15.7平方厘米，那么圆内正方形的面积最大是( )平方厘米。
【答案】10
【思路点拨】假设圆的半径为r厘米，利用圆的面积＝3.14×，计算出的数值；正方形的两条对角线把正方形的面积平均分成面积相等的4个小直角三角形，每一个小正方形的面积计算为：（）平方厘米，再乘4，就可以计算出圆内最大正方形的面积。
【规范解答】解：设圆的半径为r厘米。
则＝15.7÷3.14＝5（平方厘米）
正方形的面积最大是：
（÷2）×4
＝5÷2×4
＝2.5×4
＝10（平方厘米）
所以，正方形的面积最大是10平方厘米。
【考点评析】先求出的值是解决这道题的关键。
21．（23-24六年级上·福建厦门·期末）如图，半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米，那么阴影部分的面积是( )。
【答案】24平方厘米/24cm2
【思路点拨】半圆面积为39.25平方厘米，则半圆所在的圆面积就是（39.25×2）平方厘米，根据圆面积计算公式“S＝πr2”，r2＝39.25×2÷3.14＝25，由于52＝25，由此得出半圆的半径是5厘米，进而求出半圆的直径为5×2＝10（厘米）。圆的面积为28.26平方厘米，同理可求出圆的半径，进而求出圆的直径。圆直径是阴影长方形的长，半圆直径减圆直径是阴影长的宽，根据长方形面积计算公式“S＝ab”即可求出阴影部分面积。
【规范解答】39.25×2÷3.14
＝78.5÷3.14
＝25
25＝52
即半圆的半径是5厘米，
5×2＝10（厘米）
28.26÷3.14＝9（厘米）
9＝32
所以圆的半径为3厘米，
3×2＝6（厘米）
6×（10－6）
＝6×4
＝24（平方厘米）
那么阴影部分的面积是24平方厘米。
【考点评析】阴影部分是一个长方形，求出这个长方形的长、宽是关键，也难点.长方形的长为圆的直径，宽为半圆直径与圆直径之差，根据圆面积计算公式即可求出半圆、圆的半径，进而求出直径。
22．（24-25六年级上·全国·课后作业）若正方形的边长等于圆的直径，则正方形的周长长。( )（判断对错）
【答案】√
【思路点拨】假设正方形的边长4厘米，则圆的直径也是4厘米，根据正方形周长＝边长×4，圆的周长＝圆周率×直径，分别计算出正方形和圆的周长，比较即可。
【规范解答】假设正方形的边长＝圆的直径＝4厘米
正方形边长：4×4＝16（厘米）
圆的周长：3.14×4＝12.56（厘米）
16＞12.56
若正方形的边长等于圆的直径，则正方形的周长长，说法正确。
故答案为：√
23．（23-24六年级上·陕西渭南·期末）大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆周长也是小圆周长的3倍。( )（判断对错）
【答案】√
【思路点拨】根据圆的周长＝2×圆周率×半径，大圆半径是小圆半径的几倍，则大圆周长也是小圆周长的几倍，据此分析。
【规范解答】大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆周长也是小圆周长的3倍，说法正确。
如大圆半径6厘米，小圆半径2厘米。
大圆周长：2×3.14×6＝37.68（厘米）
小圆周长：2×3.14×2＝12.56（厘米）
6÷2＝3
37.68÷12.56＝3
故答案为：√
24．（23-24六年级上·河北邯郸·期末）用圆规画圆，如果把圆规两脚间的距离扩大到原来的3倍，那么圆的面积也会扩大到原来的3倍。( )（判断对错）
【答案】×
【思路点拨】圆规两脚间的距离等于圆的半径，设扩大前圆规两脚的距离是r，扩大后圆规两脚间的距离是3r；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，分别求出扩大前和扩大后圆的面积，再用扩大后圆的面积除以扩大前圆的面积，即可解答。
【规范解答】是扩大前圆规两脚间的距离是r，扩大后圆规两脚间的距离是3r。
[π×（3r）2]÷（π×r2）
＝[9πr2]÷（πr2）
＝9
用圆规画圆，如果把圆规两脚间的距离扩大到原来的3倍，那么圆的面积也会扩大到原来的9倍。
原题干说法错误。
故答案为：×
25．（23-24六年级上·安徽宿州·期中）求下面图形的周长。
【答案】21.42cm
【思路点拨】看图可知，这个图形的周长就是扇形的周长，这个图形的周长＝圆的周长＋正方形边长×2，圆的周长＝2×圆周率×半径，据此列式计算。
【规范解答】2×3.14×6×＋6×2
＝37.68×＋12
＝9.42＋12
＝21.42（cm）
这个图形的周长是21.42cm。
26．（23-24六年级上·浙江嘉兴·期末）如图，等腰直角三角形的一条直角边和半圆的直径重合，求阴影部分的面积。
【答案】25平方厘米
【思路点拨】
如上图，添加两道红色辅助线，将A处阴影面积割补到B处后，阴影面积是一个底为10厘米，高为5厘米的等腰三角形面积。据此三角形面积=底×高÷2，将数值代入计算即可。
【规范解答】10×5÷2
=50÷2
＝25（平方厘米）
阴影部分的面积是25平方厘米。
【考点评析】根据等腰三角形特征，利用割补法，将不规则的阴影面积转换为规则图形的面积是解答的关键。
27．（23-24六年级上·河南南阳·期末）下图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，按要求画一画。
（1）画一个周长是30厘米的长方形，长与宽的比是3∶2。
（2）画一个周长是18.84厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是60°的扇形。
【答案】（1）（2）见详解
【思路点拨】（1）根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出长方形的长与宽的和，再根据长与宽的比是3∶2，再根据按比例分配，用长方形的长与宽的和×，求出长方形的长；用长方形的长与宽的和×，求出长方形的宽，据此化成长方形（画法不唯一）；
（2）根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆的半径，画出圆；在圆内先画一条半径，以这条半径所在的射线为边，画一个60°的角，角的两边所在半径与其所夹的弧所组成的图形，就是一个圆心角是60°的扇形（画法不唯一）。
【规范解答】（1）30÷2×
＝15×
＝9（厘米）
30÷2×
＝15×
＝6（厘米）
如下图：
（2）18.84÷3.14÷2
＝6÷2
＝3（厘米）
所画圆的半径为3厘米，根据画圆的方法，画出一个周长是18.84厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是60°的扇形（画图如下）：
（画法不唯一）
28．（23-24六年级上·河北邯郸·期中）一种自行车轮胎的外直径是70厘米，方老师骑自行车从家到学校用了15分钟，如果车轮每分钟转100周，方老师从家到学校的路程是多少米？
【答案】3297米
【思路点拨】圆的周长，据此求出轮胎的一周的长度，轮胎的一周的长度×每分钟转的周数×时间＝方老师从家到学校的路程，据此解答即可。
【规范解答】70厘米＝0.7米
3.14×0.7×100×15
＝3.14×70×15
＝219.8×15
＝3297（米）
答：方老师从家到学校的路程是3297米。
29．（24-25六年级上·全国·课后作业）张师傅用铁丝把3根直径为10厘米的圆柱捆扎在一起（接头处忽略不计），捆扎一周要用多少厘米的铁丝？
【答案】71.4厘米或61.4厘米
【思路点拨】
方法一：如图：，把3根圆柱并排捆扎成“一”字形，捆扎用的铁丝长＝一个圆的周长＋4条直径的和；
方法二：如图：把3根圆柱捆扎成“品”字形，捆扎用的铁丝长＝一个圆的周长＋3条直径的和，根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，即可解答。
【规范解答】方法一：
3.14×10＋4×10
＝31.4＋40
＝71.4（厘米）
方法二：
3.14×10＋3×10
＝31.4＋30
＝61.4（厘米）
答：捆扎一周要用71.4厘米或61.4厘米。
30．（24-25六年级上·全国·课后作业）大本钟—伦敦的标志性建筑物。钟盘上时针的长度是2.75米。大本钟的时针转动一周，时针的尖端走过的路程是多少米？
【答案】17.27米
【思路点拨】钟盘上时针的长度是2.75米，大本钟的时针转动一周，时针的尖端走过的路程就是半径为2.75米的圆的周长，根据圆的周长，求出时针的尖端走过的路程即可。
【规范解答】2×3.14×2.75
＝6.28×2.75
＝17.27（米）
答：时针的尖端走过的路程是17.27米。
31．（23-24六年级上·全国·课后作业）如图，圆环的面积是141.3平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
【答案】45平方厘米
【思路点拨】如图：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形的面积=大圆的半径×大圆的半径＝大圆半径的平方，小圆的面积=小圆的半径×小圆的半径＝小圆半径的平方，设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积为π（R2－r2）＝141.3（平方厘米），据此用圆环的面积除以π即可解答。
【规范解答】设大圆半径为R，小圆半径为r。
则圆环面积为：π（R2－r2）＝141.3（平方厘米）
R2－r2
＝141.3÷3.14
＝45（平方厘米）
答：阴影部分的面积是45平方厘米。
【考点评析】本题关键是将阴影部分的面积转化为两个正方形的面积差。再结合圆环的面积公式解答。