第四讲 比（单元讲义）-2024-2025学年六年级上册数学举一反三变式拓展（人教版）学生版+教师版

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（导图+知识精讲+高频易错点+八大考点讲练+难度分层练）
教学目标：
1、经历从具体情境中抽象出比的过程，理解比的意义，了解比的各部分名称，能正确读写比，掌握求比值的方法，并能正确求出比值。
2、通过观察、对比、辨析，理解比和比值的联系与区别，理解比、除法和分数之间的关系，渗透变中有不变的思想。
3、能利用比的知识解释一些简单的生活问题，感受数学知识在实际生活中的价值。
重点：理解比的意义。
难点：在具体情境中抽象出比，理解比的意义。
TOC \t "标题 2,1" \h \u \l "_Tc4747" 知识梳理精讲 PAGEREF _Tc4747 \h 2
\l "_Tc2942" 高频易错点拨 PAGEREF _Tc2942 \h 3
\l "_Tc2314" 考点一：比的认识和读写 PAGEREF _Tc2314 \h 4
\l "_Tc27113" 考点二：比的认识和读写额应用 PAGEREF _Tc27113 \h 5
\l "_Tc17081" 考点三：比与分数、除法的关系 PAGEREF _Tc17081 \h 5
\l "_Tc28210" 考点四：比的基本性质 PAGEREF _Tc28210 \h 5
\l "_Tc4471" 考点五：比的化简与求值计算 PAGEREF _Tc4471 \h 6
\l "_Tc8267" 考点六：比的化简与求值的应用 PAGEREF _Tc8267 \h 6
\l "_Tc3284" 考点七：比的基本性质的应用 PAGEREF _Tc3284 \h 7
\l "_Tc13147" 考点八：比的应用 PAGEREF _Tc13147 \h 7
\l "_Tc5579" 中等题真题训练 PAGEREF _Tc5579 \h 8
\l "_Tc23839" 拔高题真题训练 PAGEREF _Tc23839 \h 11
知识梳理精讲
知识点01：比的意义与表示
定义：两个数相除又叫做两个数的比。例如，a和b的比可以表示为a:b或a/b，其中“:”是比号，读作“比”。
比的各部分名称：比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的后项不能为0。
比与除法、分数的关系：比的前项相当于除法的被除数、分数的分子；比的后项相当于除法的除数、分数的分母；比值则相当于除法的商、分数的值。
知识点02：比的基本性质
比值不变性：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这是比的基本性质，也是化简比的基础。
最简单的整数比：比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比。
知识点03：求比值与化简比
求比值：求比值就是求比的前项除以后项所得的商。比值可以用小数、分数或整数表示。
化简比：化简比则是把两个数的比化成最简单的整数比。化简比时，通常需要根据比的基本性质，将比的前项和后项同时乘或除以某个数，使它们成为互质数。
知识点04：比的化简方法
整数比的化简：直接找出比的前项和后项的最大公因数，然后同时除以这个最大公因数即可。
分数比的化简：通常需要将比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。
小数比的化简：将比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比后再进行化简。
混合比（既有小数又有分数）的化简：可以先将小数化成分数或分数化成小数，再按照上述方法进行化简。
知识点05：比的应用
按比例分配问题：已知几个数量的和以及它们之间的比，求这几个数量分别是多少。这类问题通常需要先求出每一份的数量，再分别乘以各自所占的份数。
通过比解决实际问题：比的概念在生活中有广泛应用，如地图上的比例尺、溶液的浓度、速度的比等。通过学习和掌握比的知识，可以更好地解决这些实际问题。
知识点06：连比与连比化简
连比的定义：当涉及到三个或更多数量的比时，称为连比。例如，甲:乙:丙 = 5:6:7。
连比的化简：通常需要先找到一个公共的倍数来统一各个比的后项（或前项），然后按照化简比的方法进行化简。
高频易错点拨
易错知识点01：比的意义与基本性质理解不清
混淆比与比值：学生可能将比（如a:b）与比值（a/b的结果）混淆。比是一个表示两个数相除关系的式子，而比值是比的前项除以后项所得的商，通常是一个数（分数、小数或整数）。
比的基本性质应用不当：在利用比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数，0除外，比值不变）进行化简或计算时，学生可能会忽略“0除外”的条件，导致错误。
易错知识点02：求比值与化简比混淆
目的不明确：学生可能不清楚求比值和化简比的区别。求比值是求比的前项除以后项的商，结果是一个数；而化简比则是把两个数的比化成最简单的整数比，结果仍然是一个比。
方法错误：在求比值时，学生可能忘记将结果化为最简形式；在化简比时，可能直接求出比值而没有保持比的形式。
易错知识点03：化简比的方法掌握不牢固
整数比化简：对于整数比，学生可能找不到前项和后项的最大公因数，导致化简不彻底。
分数比和小数比化简：对于分数比和小数比，学生可能不熟悉转化为整数比再进行化简的方法，或者在转化过程中出错。
混合比（既有小数又有分数）化简：学生可能不清楚如何处理既有小数又有分数的比，导致化简过程复杂且易出错。
易错知识点04：比的应用问题理解不透彻
按比例分配问题：在解决按比例分配问题时，学生可能不理解如何将总数量按照给定的比例进行分配，或者在分配过程中计算错误。
实际问题建模困难：学生可能难以将实际问题抽象为比的问题，或者无法准确识别问题中的比例关系。
易错知识点05：连比与连比化简的掌握不足
连比的概念不清：学生可能对连比（如a:b:c）的概念理解不清，容易将其与多个单独的比混淆。
连比化简方法不当：在化简连比时，学生可能找不到一个合适的公共倍数来统一各个比的后项（或前项），导致化简过程复杂且易出错。
考点一：比的认识和读写
【精讲题】（2023六上·抚顺期末）既可以表示比，也可以表示比值。（ ）判断对错
【精练题1】（2023六上·合川期末）下列说法中，错误的是（ ）。
A．比、分数和除法都可以表示两种量的倍数关系；
B．礼盒中皮蛋、盐蛋和鲜蛋的个数比是4：3：8，说明比还可以表示三个量的倍数关系；
C．路程和时间的比是240：7，说明两个量的比可以表示一种新的量；
D．小明收集的猴票和牛票的张数比是16：13，说明小明收集的牛票就是13张。
【精练题2】（2020六上·通榆期末）1.2：1.8=2：3，1.2是比的（ ）。
A．前项B．后项C．比值
考点二：比的认识和读写额应用
【精讲题】（2022六上·衡山期中）教室里有20名同学，男、女生人数的比可能是（ ）
A．2：3B．5：2C．7：8
【精练题1】（2021六上·惠城）填空
（1）买6支钢笔共付72元。
付的钱数与买的钢笔支数的比是 。
（2）合唱组共有32人，其中女生20人，男生12人。
女生人数与男生人数的比是 ，女生人数与全组人数的比是 。
【精练题2】（2020六上·槐荫期末）大圆的半径是7厘米，小圆的半径3厘米，大圆与小圆的周长比是 ，面积比是 。
考点三：比与分数、除法的关系
【精讲题】（2023六上·鹿邑期中）10： =＝ ÷20＝ ＝ （填小数）
【精练题1】9÷24= = ＝ （填小数）。
【精练题2】（2023六上·洪山期末）9÷ ＝0.6＝ ：20＝ （填最简分数）＝ %。
考点四：比的基本性质
【精讲题】（2024六上·义乌期末）若3：8的前项加6，要使比值不变，则后项应加上 。
【精练题1】（2024六上·宝安期末）把4：5这个比的前项加上8，要使比值不变，比的后项应该（ ）
A．加上8B．乘C．加上15D．乘3
【精练题2】（2024六上·坪山期末）如果将8：9比的前项加上16，要使比值不变，后项应加上18。（ ）判断对错
考点五：比的化简与求值计算
【精讲题】（2024六上·义乌期末）化简比。
4.5：20%= 25公顷：
【精练题1】（2024六上·郓城期末）化简比。
36∶24 0.18∶2 40分∶时
【精练题2】（2024六上·宝安期末）化简比。
3.6：＝ 2.5吨：400千克＝
考点六：比的化简与求值的应用
【精讲题】（2024六上·慈溪期末）搭载“天舟四号”的长征七号新一代火箭液氧煤油的加注时间比原来火箭减少30%，下列说法正确的是（ ）。
A．原来火箭的加注时间比新一代多30%
B．原来火箭和新一代的加注时间比是7：10
C．新一代火箭和原来的加注时间比是10：13
D．原来火箭的加注时间比新一代多
【精练题1】（2024六上·淮滨月考）若男生人数占全班人数的，则女生人数与全班人数的比是 ，女生人数比男生人数少 。
【精练题2】（2023六上·玉环期中）地球表面陆地面积和海洋面积之比是29：71，其中陆地面积的在北半球，那么南北半球海洋面积之比是（ ）。
A．2：1B．46：29C．121：29D．121：92
考点七：比的基本性质的应用
【精讲题】（2024六上·康巴什期末）下列说法错误的有（ ）个。
①一件商品，连续两次降价5%，现价相当于原价的90%。②面积相等的两个圆，周长不一定相等。③4：5后项增加10，要使比值不变，前项应增加8。④一个数除以分数的商一定比原来的数大。
A．1B．2C．3D．4
【精练题1】（2022六上·赣州期中）下面说法错误的有（ ）个。
⑴比的前项和后项都乘一个相同的数，比值不变。
⑵3千克铁的和1千克棉花的同样重。
⑶丽丽家在贝贝家北偏东45°的方向，那么贝贝家在丽丽家的东偏北45°方向。
⑷某件商品的原件是100元，先提价，再降价，还是卖100元。
A．1B．2C．3D．4
【精练题2】（2020六上·下城期末）一个三角形的三个内角分别用∠1、∠2和∠3表示，如果∠1：∠2=2：5，∠1：∠3=1：1，那么三个内角中最大的角是多少度？
考点八：比的应用
【精讲题】（2024六上·义乌期末）某学校科技社团男生人数的等于女生人数的，那么男生人数与女生人数的比是 ；若男生比女生多3人，则科技社团一共有 人。
【精练题1】（2024六上·宝安期末）用240cm长的铁丝焊接成一个长方体框架（铁丝无剩余，接头处忽略不计）。已知长与宽的比为2：1，宽与高的比为1：3，这个长方体的宽为 cm，体积为 cm3。
【精练题2】（2024六上·象山期末）修一条公路，已修的路程与未修的路程比是1：4，如果再修全长的又6千米，那么已修的路程与未修的路程比是2：1。这条公路全长多少千米?（画一画图，再列式。）
中等题真题训练
1．（2024六下·陆河期末）一个三角形三个内角的度数比是1：2：3，这个三角形是（ ）三角形。
A．锐角B．直角C．钝角
2．（2024六上·金东期末）三角形三个内角的度数比是2：3：5，这个三角形是（ ）三角形。
A．等腰B．锐角C．直角D．钝角
3．（2024六上·萧山月考）小明有故事书50本，小红的故事书比小明少10本，下面说法错误的是（ ）。
A．小明、小红故事书本数比是5：4
B．小红的故事书本数是小明的80%
C．小红的故事书本数比小明少25%
D．小明的故事书本数是小红的125%
4．（2024六下·期中）一个等腰三角形的两个内角的度数比是1：4，顶角可能是 ，也可能是 ．
5．（2024六上·连南期末） 小红妈妈用18克川贝和360克雪梨做了一道药膳，川贝和雪梨的最简整数比是 ，比值是 。
6．（2024六上·瑶海期末）盐和水按1：199的比配置成的盐水具有抑制、杀灭常见细菌和病毒的作用，这种盐水的含盐率是 ；现在有盐15克，可配置这样的盐水 克。
7．（2024六上·河北期末）把下面的此化成最简单的整数比，并求出比值。
0.14：8.2 2.5千克：400克
0.75： ：
8．（2024六上·慈溪期末）李大伯在墙边围一块长方形菜地，篱笆的总长度是160米，菜地长和宽的比是3：1，这块长方形菜地的面积是多少平方米?
9．（2024六上·南山期末）中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片。由我国自主研发的“和谐号”动车组与“复兴号”高铁的速度比是5：7，“和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米。“复兴号”高铁每小时行多少千米?
（2024六上·黔江期末） 某工厂计划2024年第一季度生产1800个零件。先把的任务分给甲车间，其余按3∶2分给乙、丙两个车间，甲乙两个车间各生产多少个零件？
11．（2021六上·福田期末）如图，大、小两个圆。
（1）如果大圆半径是6厘米，小圆半径是4厘米。那么，大圆直径与小圆直径的比是 ；大圆周长与小圆周长的比是 ；大圆面积与小圆面积的比是 。
（2）如果大圆半径是m厘米，小圆半径是n厘米。那么，大圆直径与小圆直径的比是 ；大圆周长与小圆周长的比是 ；大圆面积与小圆面积的比是 。
12．（2020六上·香坊期末）网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，三角形和长方形的顶点都在格点上。
（1）在图1的网格中按2：1画出网格中三角形放大后的图形①；
（2）在图2的网格中按1：2画出网格中长方形缩小后的图形②；
（3）请直接写出图形①的面积与图形2的面积的最简整数比为 。
拔高题真题训练
13．（2023六上·如皋月考）六（2）班上学期男、女人数的比是4 ： 5，全班人数在40～50之间；下学期转走了3名女生，下学期女生人数和全班人数的比是（ ）。
A．4：9B．5：9C．11：21D．10：21
14．（2023六上·杭州）图形m和n的面积比与其它三个选项不同的是（ ）。
A．B．
C．D．
15．（2024六上·巴南期末）一杯果汁，喝去后用水加满，又喝去，再用水加满，这时杯子里水和果汁的比是 。
16．（2024六上·长沙期末） 《庄子•天下》中写道：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”意思就是说：“一根一尺长的木棍，如果第一天截取它的长度的一半，以后每天截取它剩下的一半，那么永远截取不完。”按照这种截取的方法，在第四天截取完后，这根木棍截取的部分与剩余部分的比是。 （填写最简整数比）
17．（2023六上·钱塘）如图，两个圆A，B重叠，重叠部分的面积是A的，是B的，如果A的面积比B的面积少12平方厘米，那么B的面积是 平方厘米。
（2023六上·上思）⑴画一个长方形，面积是32平方厘米，长与宽的比是2∶1。
⑵画一个长方形，周长是28厘米，长与宽的比是4∶3。
19．（2024六上·印江期末） 从2022年秋季学期开始，我国把劳动课正式确定为义务教育课程。其中日常生活劳动包括清洁与卫生、整理与收纳、烹饪与营养、家用器具使用与维护四个任务群。小美跟妈妈学做面包，下图表示这种面包所用材料的份数。
（1）要做160克这样的面包，三种材料各需多少克？
（2）如果这三种材料都有50千克，当奶油用完时，白糖还剩多少千克？面粉需增加多少千克？
（2024六上·龙岗期末）一辆小汽车从甲地开往乙地，已走的路程与剩下路程的比是3：7，这时离中点还有120千米。甲地到乙地的路程有多少千米？
（2024六上·英山期末）一辆长途客车只有40%的座位坐了人，如果再增加16人，则已坐座位和空座的比是4：1。这辆车共有多少个座位？
22．（2019六上·浦口期末）笑笑把1500毫升果汁倒入9个小杯和2个大杯，正好都倒满。
（1）如果1个小杯与1个大杯容量的比是1：3，把小杯全部替换成大杯，1500毫升果汁能倒满 大杯。
（2）如果1个大杯比1个小杯多装200毫升，把大杯全部替换成小杯，11个小杯装的果汁比1500毫升少 毫升。