专题01 集合的概念4题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测

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1．集合与元素
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
（4）常见数集的记法．
2．集合间的基本关系
（1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A．
（2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
（3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．
（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
一、单选题
1．（2024·广东江门·一模）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0B．1C．－1D．
【答案】C
【分析】
根据题意列式求得的值，即可得出答案.
【详解】
根据条件分别令，解得，
又，所以，，
所以集合B中所有元素之和是，
故选：C．
2．（2024·陕西西安·一模）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．6B．5C．4D．7
【答案】C
【分析】根据集合新定义求解即可.
【详解】根据题意，因为，，
所以.
故选：C.
3．（江西省五市九校协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，
故选：A
4．（2024·北京东城·一模）已知集合，且，则a可以为（ ）
A．－2B．－1C．D．
【答案】B
【分析】求出集合，结合元素与集合关系判断即可.
【详解】∵，∴，∴，
可知，故A、C、D错误；，故B正确.
故选：B
5．（2024·河南·模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意建立不等式求解即可.
【详解】由题意，且，
解得，
故选：B
6．（2024高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（ ）
A．B．0C．或0D．无解
【答案】C
【分析】集合有一个元素，即方程有一解，分， 两种情况讨论，即可得解.
【详解】集合有一个元素，即方程有一解，
当时，，符合题意，
当时，有一解，
则，解得：，
综上可得：或，
故选：C.
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，则A中元素的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】由椭圆的性质得，再列举出集合的元素即得解.
【详解】解：由椭圆的性质得，
又,
所以集合
共有11个元素.
故选：C
8．（2024高二下·湖南·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式，确定集合A，讨论m的范围，确定B，根据题意推出，由此列出不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意集合，
，
若，则，此时，
因为“”是“”的必要不充分条件，故,
故；
若，则，此时，
因为“”是“”的必要不充分条件，故,
故；
若，则，此时，满足,
综合以上可得，
故选：C
9．（2024·广东茂名·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解.
【详解】集合，.
要使，只需，解得：.
故选：A
10．（2024·广东广州·二模）已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义求出集合，即可得解.
【详解】因为，，则，
故集合的元素个数为.
故选：B.
11．（2024·河北张家口·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知求出，然后根据补集的运算得出，根据并集的运算求解即可得出答案.
【详解】，，
即，，
所以，，，
所以，.
故选：C.
12．（2024·广东·模拟预测）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合四个选项的Venn图逐一判断即可.
【详解】，
选项A中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项B中Venn图中阴影部分表示，符合题意；
选项C中Venn图中阴影部分表示，不符合题意；
选项D中Venn图中阴影部分表示，不符合题意，
故选：B
13．（2024·北京海淀·模拟预测）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【答案】B
【分析】根据集合满足的条件①②可知要使得集合中元素尽可能多，则相邻的两个自然数最少差为，故先考虑集合中元素是由公差为的等差数列构成，判断集合元素的个数的最多情况，再对部分元素进行调整即可得答案.
【详解】对于条件①，②，必有，
若集合中所有的元素是由公差为的等差数列构成，例如，集合中有个元素，
又则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个，
故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，最多有10个元素，
例如.
故选：B.
14．（2024·全国·模拟预测）对于集合，定义，且．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（ ）
A．55B．76C．110D．113
【答案】C
【分析】根据集合的特征列出集合与的前若干项，找出集合中元素的特征，进而即可求解.
【详解】因为，
所以，所以．相当于集合中除去形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以．
则，
故选：C.
15．（2024·全国）设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集、补集的定义可求.
【详解】由题设可得，故，
故选：B.
16．（2024·全国）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
17．（2024·全国）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】C
【分析】采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
18．（2024·甘肃张掖·模拟预测）设全集，若集合，则（ ）
A．{-2，0，2，3}B．{-2，2，3}C．{0，2，3}D．{-2，-1}
【答案】C
【分析】根据集合的交并补运算，即可求解.
【详解】由得，所以，
故选：C．
19．（2024·内蒙古包头·二模）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可由集合的交运算求解.
【详解】由得，所以，
故选：C
20．（2024·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（ ）
A．B．C．8D．6
【答案】C
【分析】化简集合A、B，根据交集的结果求参数即可.
【详解】由，可得或，
即或，而，
∵，
∴，可得.
故选：C
21．（2024·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设知，讨论、求a值，结合集合的性质确定a值即可.
【详解】由知：，
当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当，即或，
若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若，则，，满足要求.
综上，.
故选：A
22．（2024·河北张家口·一模）已知集合，，，则（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】先化简集合A，再利用并集和补集的运算求解.
【详解】解：由，得，故，
所以，，．
故选：B．
23．（2024·江苏南通·模拟预测）已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据条件画出图，根据图形，判断选项.
【详解】因为，所以，如图，
对于选项A：由题意知 P是 Q的真子集，故，，故不正确，
对于选项B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正确.
对于选项C：由是的真子集知，，，故不正确，
对于选项D：Q是的真子集，故，，故不正确，
故选：B
24．（2024·广西南宁·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据根号下大于等于0求出集合，再利用交集和补集的含义即可得到答案.
【详解】由题意得，解得，故，
因为，
故.
故选：B.
25．（2024·广西南宁·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用集合的补集、交集运算求解.
【详解】因为，所以或，
又，所以，故A，B，C错误.
故选：D.
26．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）设全集，集合，，则实数的值为（ ）
A．0B．-1C．2D．0或2
【答案】A
【分析】利用给定条件，结合元素的互异性直接列式计算作答.
【详解】由集合知，，即，而，全集，
因此，，解得，经验证满足条件，
所以实数的值为0.
故选：A
27．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意化简集合，根据中有且仅有三个整数列不等式求解，可得答案.
【详解】由题意可得，，
若中有且仅有三个整数，则只能是，
故，解得，
故选：B．
28．（2024·湖南怀化·二模）已知集合，则的真子集共有（ ）
A．3个B．6个C．7个D．8个
【答案】C
【分析】先利用交集运算求解交集，再根据交集的元素个数来求解答案.
【详解】因为，
所以，
所以的真子集共有个.
故选：C.
29．（2024·北京）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，，，
根据交集的运算可知，.
故选：A
30．（2024·全国）设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
31．（2024·全国）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
32．（2024·全国）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
33．（2024·天津）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由，而，
所以.
故选：A
34．（2024·全国）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
35．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断.
【详解】且，则；且，则，所以.
故选：A
36．（2024·天津）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出，再根据交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：A.
37．（2024·全国）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
38．（2024·全国）设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
39．（2024·全国）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
40．（2024·重庆·一模）已知集合，则B中元素个数为
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解析】化简集合，根据集合的元素特征，即可求解
【详解】，
，中元素个数为4个.
故选:A.
【点睛】本题考查集合的化简，注意集合元素的满足的条件，属于基础题.
41．（2014年广东省广州市普通高中毕业班综合测试一理科数学试卷（带解析））已知集合A＝，则集合A中的元素个数为( )
A．2B．3
C．4D．5
【答案】C
【详解】试题分析：，的取值有、、、，又， 值分别为、、、，故集合中的元素个数为，故选C.
考点：数的整除性
42．（2024高三上·河北衡水·阶段练习）已知集合，集合中至少有3个元素，则
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：因为中到少有个元素，即集合中一定有三个元素，所以，故选C.
考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质.
43．（2024高一下·广西·阶段练习）若集合中只有一个元素，则
A．B．C．0D．0或
【答案】D
【分析】分与两种情况讨论元素的个数可得答案．
【详解】解：集合中只有一个元素，
当时，可得，集合只有一个元素为：．
当时：方程只有一个解：即，
可得：．
故选：．
【点睛】本题主要考查了集合描述法的意义，涉及集合元素的确定和个数的判断，属于基础题．
44．（2007·山西）设a,b∈R，集合，则=( )
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】C
【分析】利用集合中元素有意义，集合相等的意义列式计算作答.
【详解】因，则，从而得，有，于是得，
所以.
故选：C
45．（2024高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）集合，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系.
【详解】，
表示整数，表示奇数，故，
故A错误，B错误，C正确，而中的元素有分数，故D错误.
故选：C．
46．（2024高一·全国·专题练习）已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{y|y＝}，则A∩B子集的个数为( )
A．10B．16C．8D．7
【答案】C
【详解】因为A＝{－1,0,1,2,3}，B＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2,3}，其子集的个数为23＝8，故选C.
点睛：若集合有个元素，则的子集个数为，其中包括空集和集合本身．
47．（2024高三·河南南阳·阶段练习）已知全集 ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为
A．B．或C．D．
【答案】D
【详解】 ,所以阴影部分所表示的集合为 ,选D.
48．（2024高三·湖南郴州·阶段练习）已知，，若，则
A．3B．2C．3或2D．3或1
【答案】A
【详解】由题，，，且，
当 ，符合题意；
当 ，此时，不符合题意.故
故选A.
49．（2024·吉林·三模）设全集集合，集合若，则应该满足的条件是
A．B．≥C．D．≤
【答案】B
【详解】由得：，由，得≥，故选B.
50．（2024·全国·模拟预测）已知均为的子集，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.
【详解】解法一：,，据此可得.
故选：B.
解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，
矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，
矩形区域CDFG表示集合N，满足，
结合图形可得：.
故选：B.
51．（2024高一上·河北石家庄·期中）已知M,N为集合Ⅰ的非空真子集，且M,N不相等，若，则（ ）
A．MB．NC．ID．
【答案】A
【分析】由交集为空集可确定两集合的包含关系，进而得到并集结果.
【详解】
故选：
【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，关键是能够通过交集运算结果确定集合的包含关系.
二、多选题
52．（2024·山东潍坊·一模）若非空集合满足：，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据题意可得：，然后根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；
由可得，故选项正确；
因为且，所以，则，故选项正确；
由可得：不一定为空集，故选项错误；
故选：.
53．（河南省安阳市第一中学2023届高三第四次全真模拟数学试题）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【分析】根据戴德金分割的定义,举例或举反例一一判断每个选项，可得答案.
【详解】对于A，因为，，故A错误；
对于B，若，则满足戴德金分割，
此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则，
则，而内也有有理数，
则，故C错误；
对于D，若，，
则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，
故选：BD
54．（2024高三·全国·专题练习）若集合，且，则集合可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据子集关系逐项进行判断可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，，，
故选：ABD
55．（2024·山东烟台·模拟预测）若非空集合G和G上的二元运算“”满足：①，；②，对，：③，使，，有；④，，则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是（ ）
A．集合G为自然数集，“”为整数的加法运算
B．集合G为正有理数集，“”为有理数的乘法运算
C．集合(i为虚数单位)，“”为复数的乘法运算
D．集合，“”为求两整数之和被7除的余数
【答案】BCD
【分析】根据新定义，判断各选项中是否满足题中4个条件即可得．
【详解】A．时，不满足③，若，则由得，若，则在中设，由得，所以不能构成群；
B．G为正有理数集，①任意两个正有理数的积仍然为正有理数，②显然，对任意，，③对任意正有理数，也是正有理数，且，即，④有理数的乘数满足结合律，B中可构造群；
C．(i为虚数单位)，①可验证中任意两数（可相等）的乘积仍然属于；②，满足任意，有；③，满足任意，存在，有，实质上有；④复数的乘法运算满足结合律，C中可构造群；
D．，①任意两个整数的和不是整数，它除以7的余数一定属于，②，满足对任意，，③，，，除以7余数为0；④加法满足交换律，又除以7的余数等于除以7的余数加除以7的余数的和再除以7所得余数，因此，，D中可构造群；
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题．解题方法是根据新定义的4个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论．
三、填空题
56．（2024·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 .
【答案】3
【分析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，作出韦恩图，数形结合计算即得.
【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，

观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)，
因此，至少看了一支短视频的有(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为.
故答案为：3
57．（2024·湖北·二模）已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为 ．
【答案】7
【分析】令，列举出所有三元子集，结合组成v阶的Steiner三元系定义，确定中元素个数.
【详解】由题设，令集合，共有7个元素，
所以的三元子集，如下共有35个：
、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
因为中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集，所以中元素满足要求的有：
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
、、、、、、，共有7个；
共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素.
故答案为：7
58．（2024·甘肃·二模）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中 ； ； .
【答案】
【分析】根据韦恩图，结合看每部电影的人数可构造方程组求得结果.
【详解】由题意得：，解得：.
故答案为：；；.
59．（2024高三·全国·专题练习）集合中实数的取值范围是 ．
【答案】.
【分析】根据集合中元素的互异性，即可求解.
【详解】由集合，根据集合元素的互异性，可得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
60．（2024高三·全国·专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为 .
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果.
【详解】因为，即，
所以或，
若，则或；
若，即，则或.
由与互异，得，
故或，
又，即，所以，解得且，
综上所述，的取值集合为.
故答案为：
61．（2024高三·全国·专题练习）用适当的符号填空，使之成为正确的集合关系式：
① A；
②A∩ A；
③A⋃＝ ；
④（A∩B） （A⋃B）；
⑤{x|x＝2k－1，k∈Z} {x|x＝2k＋1，k∈Z}；
⑥{x|x＝2k，k∈Z} {x|x＝4k，k∈Z}；
⑦{x|x＝a2＋1，a∈R} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈R}；
⑧{x|x＝a2＋1，a∈N} {x|x＝a2＋2a＋2，a∈N}
【答案】
【分析】根据集合表示方法，集合间的包含关系，以及集合的交集、并集的运算，逐项进行判定，即可求解.
【详解】①由空集为任何集合的子集，可得；
②因为，所以；
③根据空间的概念和并集的运算，可得；
④根据集合的交集和并集的概念，可得；
⑤由和表示所有的奇数，
所以；
⑥由表示所有的偶数，表示的倍数的偶数，
所以；
⑦由，所以，
又由，所以，
所以；
⑧由，
又由，
所以.
故答案为：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
62．（2024高三·全国·专题练习）集合的子集的个数为 ．
【答案】
【分析】直接根据公式可得结果.
【详解】集合的子集的个数为个.
故答案为：.
63．（2024高一上·四川成都·阶段练习）同时满足（1）；（2）若，则的非空集合M有 个．
【答案】7
【分析】由集合的元素所满足的两个性质，找出集合的元素，从而确定集合的个数，得到答案.
【详解】因为①；②若，则，
当时，；
当时，；
当时，；
同时，集合中若有，则成对出现，有时，也成对出现，
所以满足题意点的集合有：，
共有7个集合满足条件.
故答案为：7
【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的判定与应用，其中熟记元素与集合的关系，以及集合与集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
64．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则 ；
【答案】
【分析】解方程组求出交集中的元素，再根据列举法可得答案.
【详解】由，得，
所以.
故答案为：.
65．（2024·湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为
【答案】12
【详解】设两者都喜欢的人数为x人，
则只喜爱篮球的有(15-x)人，
只喜爱乒乓球的有(10-x)人,
(15-x)+(10-x)+x+8= 30
解得x=3,
所以15- x= 12
故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12人.
66．（2024高三·全国·专题练习）已知全，A⋂(CUB)＝{1，3，5，7}，则B＝ .
【答案】
【分析】由全集，根据A⋂(CUB)，应用韦恩图即可求集合B.
【详解】由题意，，

∵A⋂(CUB)，，
∴.
故答案为：.
67．（2024高一上·广东梅州·阶段练习）已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】
根据题目条件可得，对进行分类讨论求出实数a的取值范围.
【详解】因为“”是“”的必要条件，所以，
当时满足题意，即，所以；
当时，或，
解得：或；
综上可得，实数a的取值范围是.
故答案为：.
68．（河南省淮阳县陈州高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题）当两个集合中一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则a的取值集合为
【答案】
【分析】分“全食”和“偏食”两种情况分类讨论求出值，即可求解
【详解】当时，，，此时A与B构成“全食”；
当时，，
若时，，此时A与B构成“全食”；
若时，，此时A与B构成“偏食”，
综上所述，a的取值集合为
故答案为：
【点睛】本题考查集合新定义，属于基础题
69．（2024高三·全国·专题练习）从七名运动员中选出名参加米接力赛，其中运动员不跑第一棒，运动员不跑第二棒，则不同安排方案有 种.
【答案】
【分析】按照第一棒是否由跑分两类讨论，可求出结果.
【详解】若运动员跑第一棒，则从剩下的六名运动员中任选三名跑另外三棒，有种；
若运动员不跑第一棒，也不能跑第二棒，则从除外的五名运动员中，任选一名跑第一棒，有，
从除和已经排好的人以外的五名运动员中任选一名跑第二棒，有，
再从剩下的五名运动员中任选两名跑另外两棒，有种，
故不同安排方案有种.
故答案为：.
70．（2024高三·全国·专题练习）从名学生，其中有女生，选出名学生代表参加某会议，名学生代表中至少有一名女生选法有 种.
【答案】
【分析】利用间接法可求出结果.
【详解】从名学生中任选名学生，有种，
其中不含女生的有种，
所以名学生代表中至少有一名女生选法有种.
故答案为：.
71．（2024高三·全国·专题练习）若集合，，则满足且的集合的个数是 .
【答案】
【分析】根据子集和交集的概念，利用列举法可得结果.
【详解】集合有，，，，，，，，，，，，，，，共个子集，
其中满足的集合有：，，，，，，，，，，，,共个.
故答案为：.
72．（2024高一上·上海奉贤·阶段练习）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 .
【答案】
【分析】设有的学生既喜欢足球又喜欢游泳，则有只喜欢足球，有只喜欢游泳，列出方程能求出该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例．
【详解】解：设有的学生既喜欢足球又喜欢游泳，
则有只喜欢足球，有只喜欢游泳，
由题意得：，
解得．
故该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是．
故答案为：．
四、解答题
73．（2024高三·全国·专题练习）选择适当的方法表示下列集合：
(1)由方程的所有实数根组成的集合；
(2)一次函数与的图象的交点组成的集合；
(3)函数的定义域；
(4)二次函数的函数值组成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据列举法可得答案；
（2）根据列举法可得答案；
（3）根据描述法可得答案；
（4）根据描述法可得答案；
【详解】（1）由，得或，
所以由方程的所有实数根组成的集合为.
（2）由，得，
所以一次函数与的图象的交点组成的集合为.
（3）由函数有意义，得，即，
所以函数的定义域为.
（4）二次函数的函数值组成的集合为.
74．（2024高一下·新疆乌鲁木齐·期末）写出集合的所有子集．
【答案】
【分析】根据集合的子集的定义列举出即可．
【详解】集合的所有子集有：
【点睛】本题考查了集合的子集的定义，掌握子集的定义是解题的关键，本题是一道基础题．
75．（2024高三·全国·专题练习）设集合是小于的正整数，，，求，，．
【答案】，，.
【分析】根据集合的交并补的概念可求出结果.
【详解】由题意得，，，
所以，，.
76．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，求．
【答案】，，或.
【分析】根据集合交集、并集和补集的概念与运算，准确运算，即可求解.
【详解】由集合，
可得，，
由补集的概念与运算，可得或.
77．（2024高三·全国·专题练习）设全集，集合，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据不等式的解法求得，，结合并集和补集的运算，即可求解；
（2）由（1）中的集合，结合交集和补集的运算，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式，解得，所以，
又由不等式，解得，所以，
可得，所以或.
（2）解：由（1）知，集合，
可得或，或，
所以或.
集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
补集
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA
（一）
集合的含义与表示
1．元素与集合关系的判断
（1）元素与集合的关系：
①一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．
②元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．
集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性
2．解决集合含义问题的关键有三点．
（1）确定构成集合的元素．
（2）确定元素的限制条件．
（3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
题型1：集合的含义与表示
1-1．（2024高三·全国·专题练习）用列举法写出集合＝ .
【答案】
【分析】根据列举法可得结果.
【详解】由且，得或或或或或或，
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，，当时，，当时，.
故.
故答案为：
1-2．（2024高三·全国·专题练习）用适当的符号填空：
（1）π Q；（2） Z；（3）3.5 N；（4） {0}；（5）{0，1} R．
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合间的关系，逐个判定，即可求解.
【详解】根据元素与集合的关系，以及集合与集合间的关系，可得：
（1）；（2）；（3）；（4）； （5）.
故答案为：，，，，.
1-3．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.
【详解】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.
故选：C
（二）
集合间的基本关系
1．集合的相等
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B．
2．集合的包含关系判断及应用
（1）如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即AB．
（2）如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．
3．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
4．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
题型2：集合间的基本关系
2-1．（2024·江苏·一模）设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别分析两个集合中的元素所代表的意思即可判断选项.
【详解】解：因为，因为，
所以集合是由所有奇数的一半组成，
而集合是由所有整数的一半组成，故.
故选：B
2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】化简集合，根据子集关系列式可求出结果.
【详解】依题意得，，
若，则.
故答案为：
2-3．（2024高一下·重庆万州·开学考试）已知集合，集合．若，则实数 ．
【答案】
【分析】利用列方程求出m，注意到集合中元素的互异性，得到正确答案.
【详解】集合，集合．
①若，解得：或.
当时，与元素的互异性相矛盾，舍去.
当时，符合题意.
②若，解得：.舍去.
故.
故答案为：-1.
2-4．（2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中考试数学试卷（带解析））已知集合，若，则实数的值为 ．
【答案】0，±1
【详解】试题分析：当时，集合，满足；当时，，又，所以若，则有，综上实数的值为0，±1．
考点：利用子集关系求参数．
2-5．（2024高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据，分和，两种情况讨论求解.
【详解】因为集合，，且，
当时，则，解得，
当时，则，解得，
综上：，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
2-6．（重庆市育才中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）满足的集合A的个数是 .
【答案】8
【分析】由，可得集合A是集合的子集且1，2均在子集中，从而可求出集合A
【详解】解：因为，
所以，
所以满足集合A的个数为8，
故答案为：8
（三）
集合的运算
1．交集及其运算
（1）由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
（2）运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
2．交、并、补集的混合运算
（1）集合交换律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
（2）集合结合律：（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
（3）集合分配律：A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
（4）集合的摩根律：Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
（5）集合吸收律：A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
（6）集合求补律：A∪CuA＝U，A∩CuA＝∅．
3．利用集合的运算求参数的值(范围)．
（1）对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示．
（2）如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
题型3：集合的运算
3-1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）设全集，集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合，由补集和并集的定义即可得出答案.
【详解】因为全集，，
所以，又因为，所以
故选：D．
3-2．（2024高三·全国·专题练习）已知全集，，则 ；
【答案】
【分析】化简集合和，再根据补集的概念可求出结果.
【详解】因为，所以，则，
因为，所以，则，
所以.
故答案为：.
3-3．（2024高三·全国·专题练习）已知，集合，，若只有一个元素，则满足的关系为 .
【答案】
【分析】转化为直线与圆相切，根据圆心到直线的距离等于半径列式可得结果.
【详解】因为只有一个元素，
所以直线与圆相切，
所以，即.
故答案为：.
3-4．（2024高三·全国·专题练习）已知，集合，，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】化简集合，将化为，根据子集关系列式可求出结果.
【详解】由，，得，
因为，所以，
所以，解得.
故答案为：
3-5．（2024高三上·全国·阶段练习）已知集合，．若，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题可得或，然后分和讨论，结合条件即得.
【详解】因为，
所以或，
当时，，即，适合题意；
当时，则，解得，
综上，实数k的取值范围是.
故答案为：.
3-6．（2024高一上·吉林白城·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】首先求得集合，对进行分类讨论，根据，求得的取值范围.
【详解】，
当，即时，，满足，
当，即时，由得，
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
（四）
集合新定义问题
1.（1）解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义．
（2）结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
2．新定义问题．
（1）看清集合中的元素．
（2）对集合进行化简使问题变得简单明了．
（3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图．
题型4：集合新定义问题
4-1．（2024·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A．9B．4C．27D．8
【答案】C
【分析】直接列举可得.
【详解】当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为.
故满足题意的“AB互衬对”个数为27.
故选：C
4-2．（2024高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】计算，得到元素个数.
【详解】，则，则中元素的个数为
故选：C
4-3．（2024·浙江温州·三模）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对A、B：不妨设，可得，根据集合的定义可得Y中至少有以上5个元素，不妨设，则集合S中至少有7个元素，排除选项A，若，则集合Y中至多有6个元素，所以，排除选项B；对C：对，则与一定成对出现，根据集合的定义可判断选项C；对D：取，则，根据集合的定义可判断选项D.
【详解】解：不妨设，则的值为，
显然，，所以集合Y中至少有以上5个元素，
不妨设，
则显然，则集合S中至少有7个元素，
所以不可能，故排除A选项；
其次，若，则集合Y中至多有6个元素，则，故排除B项；
对于集合T，取，则，此时，，故D项正确；
对于C选项而言，，则与一定成对出现，，所以一定是偶数，故C项错误.
故选：D.
4-4．（2024·全国·三模）如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析可知，求出集合、、，即可得集合.
【详解】由韦恩图可知，，
因为，，
则，，因此，.
故选：D.
4-5．（2024·全国·模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合新定义可知，求得，进而根据补集的定义求解即可.
【详解】结合新定义可知，又，
所以．
故选：A