专题09 函数与方程4题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

这是一份专题09 函数与方程4题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版），共17页。试卷主要包含了函数的零点，方程的根与函数零点的关系，零点存在性定理，二分法，用二分法求函数零点近似值的步骤等内容，欢迎下载使用。


一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
一、单选题
1．（2024·湖北）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知指数函数为，则函数的零点为（ ）
A．B．0
C．1D．2
3．（2024高三上·江西鹰潭·阶段练习）函数的零点为（ ）
A．2，3B．2C．D．
4．（2024·山东）已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
5．（2024高三·全国·专题练习）若，则函数的两个零点分别位于区间
A．和内B．和内
C．和内D．和内
6．（2024·全国）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024高三上·宁夏·阶段练习）已知函数，函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2024高三上·江苏淮安·期中）已知函数，则函数，的零点个数（ ）
A．3个B．5个C．10个D．9个
9．（2024高三上·湖北武汉·阶段练习）的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（2024·天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·全国）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）
12．（2024·广西·一模）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（ ）
A．B．0C．2D．4
13．（2024·吉林·模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
14．（2024高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数的零点依次为，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·陕西·一模）已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（ ）
A．B．C．D．
16．（2024·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
17．（2024高三·天津·学业考试）已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
18．（2024高一上·四川资阳·期末）定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为
A．2B．4
C．2或4D．2或4或6
19．（2024·广东揭阳·二模）已知函数的图象上存在点P，函数g（x）=ax-3的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
21．（2024·河南洛阳·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2024高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2024高二下·浙江宁波·期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
24．（2024高二下·湖北·期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
25．（2024·福建厦门·一模）若至少存在一个实数，使得方程成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
26．（2024高三·湖南长沙·阶段练习）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
27．（2024·山东·模拟预测）已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
28．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．
29．（2024高三下·重庆渝北·阶段练习）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
A．或B．1或C．或2D．或1
30．（2024·甘肃张掖·三模）已知函数有唯一零点，则负实数
A．B．C．D．或
31．（2024高一上·天津南开·期末）已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
32．（2024高三上·江西·阶段练习）已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
33．（2024高三上·陕西西安·期末）已知函数， 若函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．3C．4D．5
34．（2024·天津和平·二模）已知函数 ，若函数在内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
35．（2024·河南洛阳·一模）已知函数，有三个不同的零点，（其中），则的值为
A．B．C．-1D．1
36．（2024高三上·重庆南岸·阶段练习）设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且 则的值是（ ）
A．81B．-81C．9D．-9
37．（2024高三上·天津南开·阶段练习）设函数
①若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
②若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是
③若方程有四个不同的实根，则的取值范围是
④方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6
四个结论中，正确的结论个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
38．（2024高一上·天津·期中）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
39．（2024高一上·四川南充·期末）已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
40．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则的取值范围是（ ）
A．（）B．（1，4）C．（，4）D．（4，6）
41．（2024·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A．B．C．D．
42．（2024·天津）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
43．（2024·全国）函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
44．（2024·湖南）已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是
A．B．C．D．
45．（2024·安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
A．B．C．D．
46．（2024·湖南）函数的图象与函数的图象的交点个数为
A．3B．2C．1D．0
47．（2024·福建）若函数的零点与 的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A．B．
C．D．
48．（2024高三上·河南许昌·开学考试）已知二次函数的两个零点为，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
49．（河北省唐山市第十一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）函数f(x)=的零点所在的一个区间是
A．（-2，-1）B．（-1,0）C．（0,1）D．（1,2）
50．（2024高三上·江西·开学考试）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
51．（2024·浙江）已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
52．（2024高二下·河南·期末）对实数和，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
53．（2024高三下·上海宝山·阶段练习）已知函数是定义域在R上的奇函数，且当时，，则关于在R上零点的说法正确的是（ ）
A．有4个零点，其中只有一个零点在内
B．有4个零点，其中只有一个零点在内，两个在内
C．有5个零点，都不在内
D．有5个零点，其中只有一个零点在内，一个在
54．（2024·湖南·模拟预测）有甲、乙两个物体同时从A地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程（千米）与时间t（时）的关系为，乙物体运动的路程（千米）与时间t（时）的关系为，当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间（ ）
A．B．C．D．
55．（2024高一·上海·假期作业）关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
56．（2024高一上·浙江金华·阶段练习）是定义在区间上的奇函数，其图象如图所示：令，则下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A．若，则函数的图象关于原点对称
B．若，，则方程有大于2的实根
C．若，，则方程有两个实根
D．若，，则方程有三个实根
57．（2024高一上·广东中山·期中）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（ ）
A．B．
C．D．
58．（2024高一下·湖北·阶段练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．是满足精度为的近似值.
B．是满足精度为的近似值
C．是满足精度为的近似值
D．是满足精度为的近似值
59．（2024高一下·江苏南京·期中）用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于（ ）
A．1B．C．0.25D．0.75
二、多选题
60．（2024高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A．当，有1个零点B．当时，有3个零点
C．当，有2个零点D．当时，有7个零点
61．（2024·广东佛山·模拟预测）设函数有4个零点，分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的取值与无关D．的最小值为10
62．（2024高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数，若关于的方程有个不等的实根、、、且，则下列判断正确的是（ ）
A．当时，B．当时，的范围为
C．当时，D．当时，的范围为
63．（2024高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（ ）
A．的解集为
B．当时，
C．有且只有两个零点
D．
64．（2024高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点0B．
C．在上单调递增D．在上单调递减
三、填空题
65．（2024·山东）已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则
66．（2024·天津）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 .
67．（2024·安徽）在平面直角坐标系中，若直线与函数的图像只有一个交点，则的值为 .
68．（2024高三·全国·专题练习）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程的近似解，先用函数零点存在定理，令，，，得上存在零点，取，牛顿用公式反复迭代，以作为的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为 ；以为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，则近似解为 ．
69．（2003·全国）方程的根 ．（结果精确到0.1）
70．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知实数，满足，，则 .
71．（2024·新疆·二模）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 ．
72．（2024·天津滨海新·三模）已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是 ．
73．（2024·江苏·模拟预测）若曲线有两条过的切线，则a的范围是 .
74．（2024·广东·模拟预测）已知实数m，n满足，则 .
75．（2024·江苏镇江·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则 ．
76．（2024高二下·安徽蚌埠·期末）已知函数，，若函数存在零点2023，则函数一定存在零点，且 ．（只写一个即可）
（一）
求函数的零点或零点所在区间
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
题型1：求函数的零点或零点所在区间
1-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数， ，函数的零点为 .
1-2．（2024高三·全国·专题练习）函数的零点为 ．
1-3．（2007·湖南）函数的图象和函数的图象的交点个数是
A．1B．2C．3D．4
1-4．（2024·湖北）方程的实数解的个数为 .
1-5．（2024·北京）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
A．B．C．D．
1-6．（2024高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数的零点位于区间内，则 .
1-7．（2024高一上·北京·期中）设函数y＝x3与y＝的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是（ ）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
（二）
利用函数的零点确定参数的取值范围
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.
题型2：利用函数的零点(个数）确定参数的取值范围
2-1．（2024·天津北辰·三模）设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围是 ．2-2．（2024高一上·江西·阶段练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2-3．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知函数在上有零点，则实数的取值范围 .
2-4．（2024·浙江绍兴·二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为 .
2-5．（2024·天津）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ．
2-6．（2024·天津）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
（三）
嵌套函数的零点问题
1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．
题型3：嵌套函数的零点问题
3-1．（2024高三上·浙江绍兴·期中）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
3-2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，若关于的方程有且只有三个不同的实数解，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3-3．（2024·河南安阳·模拟预测）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（ ）
A．且B．且
C．且D．且
3-4．（2024·四川广安·一模）已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为
A．B．或C．或D．或或
（四）
二分法
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
题型4：二分法
4-1．（2024高三·全国·专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4-2．（2024高一上·辽宁·期中）用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
4-3．（2024高一上·四川广安·期中）函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：


那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（ ）
A．1.5B．1.25C．1.41D．1.44
4-4．（2024高一上·贵州遵义·期末）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
4-5．（2024高三上·宁夏·期末）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解（精确到0.1）为（ ）（参考数据：，，，，）
A．B．C．D．
4-6．（2024高三上·湖南长沙·期中）用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A．6B．7C．8D．9