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    第六章 §6.1 数列的概念-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习(课件+讲义+练习)

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    1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
    第一部分 落实主干知识
    第二部分 探究核心题型
    1.数列的定义按 排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.
    3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项 与 之间的 可以用一个式子表示成_________,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.4.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的递推公式.
    1.已知数列{an}的前n项和为Sn,则an=
    S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.
    1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.(  )(2)数列1,0,1,0,1,0,…的通项公式只能是an=     .(  )(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(  )(4)若数列用图象表示,则从图象上看是一群孤立的点.(  )
    2.已知数列{an}的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是{an}的项的是A.21 B.33 C.152 D.153
    由数列的通项公式得,a1=21,a2=33,a12=153.
    3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,那么它的通项公式an等于A.n +1 D.n+1
    ∵a1=S1=1+1=2,an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n(n≥2),当n=1时,2n=2=a1,∴an=2n.
    4.如图,古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.如图中的数1,5,12,22,…称为五边形数,则第8个五边形数是________.
    ∵5-1=4,12-5=7,22-12=10,∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3,∴第5个五边形数是22+13=35,第6个五边形数是35+16=51,第7个五边形数是51+19=70,第8个五边形数是70+22=92.
    题型一 由an与Sn的关系求通项公式
    例1 (1)设Sn为数列{an}的前n项和,若2Sn=3an-3,则a4等于A.27 B.81 C.93 D.243
    根据2Sn=3an-3,可得2Sn+1=3an+1-3,两式相减得2an+1=3an+1-3an,即an+1=3an,当n=1时,2S1=2a1=3a1-3,解得a1=3,所以数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以a4=a1q3=34=81.
    (2)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,则an=____________.
    由已知,可得当n=1时,a1=21=2,∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n,①故a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1(n≥2),②由①-②,得nan=2n-2n-1=2n-1,
    an与Sn的关系问题的求解思路(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解.(2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
    跟踪训练1 (1)(2023·潍坊统考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sm+Sn=Sm+n,若a1=2,则a20等于A.2 B.4 C.20 D.40
    方法一 a20=S20-S19=S18+S2-(S18+S1)=S2-S1=S1=a1=2.方法二 令m=1,∴Sn+S1=Sn+1,∴Sn+1-Sn=S1=2,∴an+1=2,∴a20=2.
    (2)(2023·深圳模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=3且当n≥2时,2an=Sn·Sn-1,则{an}的通项公式an=______________________.
    当n≥2时,由2an=Sn·Sn-1可得
    又因为a1=3,不符合上式,
    题型二 由数列的递推关系求通项公式
    所以a100-a99=lg 100-lg 99,…a3-a2=lg 3-lg 2,a2-a1=lg 2-lg 1,以上99个式子累加得a100-a1=lg 100,所以a100=lg 100+1=3.
    当n=1时,a1=2满足上式.
    (1)形如an+1-an=f(n)的数列,利用累加法,即可求数列{an}的通项公式.
    跟踪训练2 (1)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N+),则数列{an}的通项公式为__________.
    由题意得a2-a1=2,a3-a2=3,…,an-an-1=n(n≥2),以上各式相加,得
    ∵当n=1时,a1=1也满足此式,
    (2)已知数列{an}满足a1=2,(n+1)an+1=2(n+2)an,则数列{an}的通项公式为______________________.
    an=(n+1)·2n-1(n∈N+)
    ∵(n+1)an+1=2(n+2)an,
    当n=1时,a1=2满足上式,∴an=(n+1)·2n-1(n∈N+).
    命题点1 数列的单调性例4 已知数列{an}的通项公式为an=n2-3λn,则“λ0,即3λS23C.S21>S23>S22 D.S23>S22>S21
    因为an+an+4=0,所以an+4=-an,所以an+8=-an+4=an,所以{an}是以8为周期的周期数列,又a1=a2=1,a3=a4=2,所以a6=-a2=-1,a7=-a3=-2,所以S22-S21=a22=a6=-1a2 022,故A正确;
    三、填空题9.若an=-2n2+29n+3,则数列{an}的最大项是第________项.
    由题意得,an=-2n2+29n+3,其对应的二次函数为y=-2x2+29x+3,
    因为n为正整数,所以当n=7时,an取得最大值.
    11.已知数列{an}满足a1=1,(n-1)an=n·2nan-1(n∈N+,n≥2),则数列{an}的通项公式为_______________.
    当n≥2时,有(n-1)an=n·2nan-1,
    因为a1=1,所以an= ,而当n=1时,a1=1×20=1,也满足上式,故数列{an}的通项公式为an= .
    12.(2024·重庆模拟)九连环是中国的一种古老智力游戏,它用九个圆环相连成串,环环相扣,以解开为胜,趣味无穷.现假设有n个圆环,用an表示按照某种规则解下n个圆环所需的最少移动次数,且数列{an}满足a1=1,a2=2,an=an-2+2n-1(n≥3,n∈N+),则解开九连环最少需要移动________次.
    由题意,an=an-2+2n-1,故a3-a1=22,a5-a3=24,…a2n-1-a2n-3=22n-2,以上各式相加,可得a2n-1-a1=22+24+…+22n-2=41+42+…+4n-1,
    四、解答题13.已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=2 +1.(1)求a2的值;
    (2)求数列{an}的通项公式.
    ∵an>0,∴Sn>0,
    ∴Sn=n2(n≥2),又S1=a1=1,满足上式,∴Sn=n2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,又a1=1适合上式,∴an=2n-1.
    得(an+1-1)2=4Sn,当n≥2时,(an-1)2=4Sn-1,∴(an+1-1)2-(an-1)2=4(Sn-Sn-1)=4an.
    即(an+1+an)(an+1-an-2)=0.∵an>0,∴an+1-an=2(n≥2).a2-a1=2,∴{an}为等差数列,且公差为2,∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
    14.已知在数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N+).(1)求数列{an}的通项公式;
    ∵2Sn=(n+1)an,∴2Sn+1=(n+2)an+1,∴2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,即nan+1=(n+1)an,
    ∴an=n(n∈N+).
    ∵bn=3n-λn2,∴bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)=2·3n-λ(2n+1).∵数列{bn}为递增数列,∴2·3n-λ(2n+1)>0,
    ∴{cn}为递增数列,∴λ

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