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2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--6.1 数列的概念与简单表示法（课件）
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这是一份2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--6.1 数列的概念与简单表示法（课件），共52页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，确定的顺序，每一个数，数列的表示方法，Sn-Sn-1，数列的分类，答案D，答案A等内容，欢迎下载使用。
知识梳理1.数列的有关概念
并非每一个数列都有通项公式,数列有通项公式时也不一定是唯一的
给出了数列相邻两项或多项之间的关系
数列的图象是坐标系中的一些孤立的点
微点拨数列的通项公式与递推公式的异同点(1)数列的通项公式反映的是项与序号之间的关系,可根据某项的序号求出这一项;递推公式反映的是项与项之间的关系,可根据第1项(或前几项)通过迭代求出数列的项.(2)数列的通项公式与递推公式都可以确定一个数列,都可以求出数列的任意一项.
3.an与Sn的关系
微点拨利用an与Sn的关系解题的注意事项(1)切记an=Sn-Sn-1的成立条件是n≥2,当n=1时,只能用a1=S1求解,在解题过程中要始终注意这一条件.(2)在已知an与Sn的关系式解决有关问题时,注意两种策略:一是再写一个式子与已知式子相减消去Sn,得到an与an-1的关系进行求解;二是将an用Sn-Sn-1代替,从而消去an得到Sn与Sn-1的关系进行求解.(3)类比an与Sn的关系,若设数列{an}前n项的积为Tn(Tn≠0),则有
微思考数列的单调性与对应函数的单调性相同吗?
提示 不同.数列作为特殊的函数,也具有单调性,但其单调性与对应函数的单调性又有所不同,由于数列中项数n只能取正整数,所以当函数f(x)在[1,+∞)上单调时,数列{f(n)}也是单调数列,但当数列{f(n)}是单调数列时,函数f(x)不一定是单调函数,例如函数f(x)= 2在[1,+∞)上不单调,但数列{an}(an=f(n))是递增数列.
常用结论1.注意区分数列的项与项数,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数则是指该项对应的位置序号.2.若数列{an}是递增(递减)数列,则an+1>an(an+1
2.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn,若对于n∈N*,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(-1,+∞)C.(-2,+∞)D.(-3,+∞)
解析 由an+1>an知该数列是递增数列,又因为通项公式an=n2+kn可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以- ,即得k>-3.故选D.
3.已知数列{an+2n}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式为 .
解析 当n=1时,有a1+2=12+1=2,所以a1=0;当n≥2时,an+2n=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,所以an=2n-1-2n,又a1=0不适合上式,故数列{an}的通项公式为
考向1.已知Sn求an典例突破例1.(1)(2021山东烟台高三月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2-n-1,则a4的值为( )A.7B.13C.28D.36(2)(2021辽宁锦州高三期中)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{ }的前n项和为 .
解析 (1)(方法1)由于Sn=2n2-n-1,则a4=S4-S3=(2×42-4-1)-(2×32-3-1)=13.故选B.(方法2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-n-1)-[2(n-1)2-(n-1)-1]=4n-3,当
方法总结已知Sn求an的流程(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
对点训练1(2021河北石家庄高三月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n+1-3,n∈N*,则an= .
解析 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-3)-(2n-3)=2n,当n=1时,a1=S1=22-3=1不适合上式,故数列的通项公式为
考向2.已知an与Sn的关系式求an典例突破
答案 (1)A (2)11
方法总结利用an与Sn的关系式求通项公式已知an与Sn的关系式求an时,一般有两种基本思路:(1)消去Sn,根据已给出的关系式,令n=n+1(n∈N*)或n=n-1(n≥2),再写出一个式子,然后将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定数列{an}是等差数列或等比数列,然后求出其通项公式;(2)消去an,在an与Sn的关系式中,令an=Sn-Sn-1(n≥2)代入,消去an,得到Sn与Sn-1的关系,从而确定数列{Sn}是等差数列或等比数列,求出Sn后再求得an.
对点训练2记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则an= .
答案 -2n-1 解析 ∵Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.∴数列{an}是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,∴an=-1×2n-1=-2n-1.
考向1.累加法典例突破例3.(2021浙江温州高三月考)在数列{an}中,an+1=an+ln ,且a1=1,则数列{an}的通项公式为 .
答案 an=1-ln n
解析 因为an+1=an+ln =an+ln n-ln(n+1),所以an+1-an=ln n-ln(n+1),于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+(0-ln 2)+(ln 2-ln 3)+…+[ln(n-1)-ln n]=1-ln n,故通项公式为an=1-ln n.
方法总结累加法求通项公式如果数列{an}的递推公式满足an+1-an=f(n)的形式,且f(n)可求和,那么就可以运用累加法an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,求出数列{an}的通项公式.
对点训练3(2021山东济南高三期中)在数列{an}中,a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列{ }前10项的和为 .
考向2.累乘法典例突破
方法总结累乘法求通项公式
对点训练4(2021重庆高三月考)在数列{an}中,a1=2, (n≥2,n∈N*),则a9= .
考向3.构造法典例突破
(2)(2021湖南师大附中高三期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2an=n,则an= .
方法总结构造法求数列通项公式
考向1.数列的周期性典例突破例6.(2021浙江高三二模)在数列{an}中,a1=3,an=1- (n≥2),则a2 022= .
方法总结利用数列周期性解题的方法先利用所给数列的递推公式,结合数列的首项,求出数列的前几项,通过前几项观察发现数列的周期性,并确定数列的周期,然后再解决相关的问题.
考向2.数列的单调性典例突破
解析 若{an}是递增数列,则有 解得2
对点训练7(2021四川射洪中学高三月考)在数列{an}中,若an=2n2+tn+3(t为常数),n∈N*,且数列{an}为递增数列,则实数t的取值范围为( )A.(-∞,-2)B.(-2,+∞)C.(-∞,-6)D.(-6,+∞)
答案 D 解析 因为数列{an}为递增数列,所以an+1>an在n∈N*时恒成立,所以an+1-an=[2(n+1)2+t(n+1)+3]-(2n2+tn+3)=4n+2+t>0,所以t>-4n-2在n∈N*时恒成立,而当n=1时,(-4n-2)max=-6,所以t>-6.故选D.
考向3.数列的最值典例突破
方法总结求数列最值的常用方法(1)利用数列的单调性:根据单调性求数列的最值.(2)利用均值不等式:但要注意均值不等式成立的条件以及数列项数n只能取正整数这一特殊性质.(3)通过建立不等式组求解:若设第k(k≥2)项最大,则有 解该不等式组确定k的值即得数列的最大值.
知识梳理1.数列的有关概念
并非每一个数列都有通项公式,数列有通项公式时也不一定是唯一的
给出了数列相邻两项或多项之间的关系
数列的图象是坐标系中的一些孤立的点
微点拨数列的通项公式与递推公式的异同点(1)数列的通项公式反映的是项与序号之间的关系,可根据某项的序号求出这一项;递推公式反映的是项与项之间的关系,可根据第1项(或前几项)通过迭代求出数列的项.(2)数列的通项公式与递推公式都可以确定一个数列,都可以求出数列的任意一项.
3.an与Sn的关系
微点拨利用an与Sn的关系解题的注意事项(1)切记an=Sn-Sn-1的成立条件是n≥2,当n=1时,只能用a1=S1求解,在解题过程中要始终注意这一条件.(2)在已知an与Sn的关系式解决有关问题时,注意两种策略:一是再写一个式子与已知式子相减消去Sn,得到an与an-1的关系进行求解;二是将an用Sn-Sn-1代替,从而消去an得到Sn与Sn-1的关系进行求解.(3)类比an与Sn的关系,若设数列{an}前n项的积为Tn(Tn≠0),则有
微思考数列的单调性与对应函数的单调性相同吗?
提示 不同.数列作为特殊的函数,也具有单调性,但其单调性与对应函数的单调性又有所不同,由于数列中项数n只能取正整数,所以当函数f(x)在[1,+∞)上单调时,数列{f(n)}也是单调数列,但当数列{f(n)}是单调数列时,函数f(x)不一定是单调函数,例如函数f(x)= 2在[1,+∞)上不单调,但数列{an}(an=f(n))是递增数列.
常用结论1.注意区分数列的项与项数,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数则是指该项对应的位置序号.2.若数列{an}是递增(递减)数列,则an+1>an(an+1
2.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn,若对于n∈N*,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(-1,+∞)C.(-2,+∞)D.(-3,+∞)
解析 由an+1>an知该数列是递增数列,又因为通项公式an=n2+kn可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以- ,即得k>-3.故选D.
3.已知数列{an+2n}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式为 .
解析 当n=1时,有a1+2=12+1=2,所以a1=0;当n≥2时,an+2n=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,所以an=2n-1-2n,又a1=0不适合上式,故数列{an}的通项公式为
考向1.已知Sn求an典例突破例1.(1)(2021山东烟台高三月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2-n-1,则a4的值为( )A.7B.13C.28D.36(2)(2021辽宁锦州高三期中)若数列{an}对任意n∈N*满足a1+2a2+3a3+…+nan=n,则数列{ }的前n项和为 .
解析 (1)(方法1)由于Sn=2n2-n-1,则a4=S4-S3=(2×42-4-1)-(2×32-3-1)=13.故选B.(方法2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-n-1)-[2(n-1)2-(n-1)-1]=4n-3,当
方法总结已知Sn求an的流程(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
对点训练1(2021河北石家庄高三月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n+1-3,n∈N*,则an= .
解析 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n+1-3)-(2n-3)=2n,当n=1时,a1=S1=22-3=1不适合上式,故数列的通项公式为
考向2.已知an与Sn的关系式求an典例突破
答案 (1)A (2)11
方法总结利用an与Sn的关系式求通项公式已知an与Sn的关系式求an时,一般有两种基本思路:(1)消去Sn,根据已给出的关系式,令n=n+1(n∈N*)或n=n-1(n≥2),再写出一个式子,然后将两式相减,消去Sn,得到an与an+1或an与an-1的关系,从而确定数列{an}是等差数列或等比数列,然后求出其通项公式;(2)消去an,在an与Sn的关系式中,令an=Sn-Sn-1(n≥2)代入,消去an,得到Sn与Sn-1的关系,从而确定数列{Sn}是等差数列或等比数列,求出Sn后再求得an.
对点训练2记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则an= .
答案 -2n-1 解析 ∵Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.∴数列{an}是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,∴an=-1×2n-1=-2n-1.
考向1.累加法典例突破例3.(2021浙江温州高三月考)在数列{an}中,an+1=an+ln ,且a1=1,则数列{an}的通项公式为 .
答案 an=1-ln n
解析 因为an+1=an+ln =an+ln n-ln(n+1),所以an+1-an=ln n-ln(n+1),于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+(0-ln 2)+(ln 2-ln 3)+…+[ln(n-1)-ln n]=1-ln n,故通项公式为an=1-ln n.
方法总结累加法求通项公式如果数列{an}的递推公式满足an+1-an=f(n)的形式,且f(n)可求和,那么就可以运用累加法an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,求出数列{an}的通项公式.
对点训练3(2021山东济南高三期中)在数列{an}中,a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列{ }前10项的和为 .
考向2.累乘法典例突破
方法总结累乘法求通项公式
对点训练4(2021重庆高三月考)在数列{an}中,a1=2, (n≥2,n∈N*),则a9= .
考向3.构造法典例突破
(2)(2021湖南师大附中高三期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2an=n,则an= .
方法总结构造法求数列通项公式
考向1.数列的周期性典例突破例6.(2021浙江高三二模)在数列{an}中,a1=3,an=1- (n≥2),则a2 022= .
方法总结利用数列周期性解题的方法先利用所给数列的递推公式,结合数列的首项,求出数列的前几项,通过前几项观察发现数列的周期性,并确定数列的周期,然后再解决相关的问题.
考向2.数列的单调性典例突破
解析 若{an}是递增数列,则有 解得2
对点训练7(2021四川射洪中学高三月考)在数列{an}中,若an=2n2+tn+3(t为常数),n∈N*,且数列{an}为递增数列,则实数t的取值范围为( )A.(-∞,-2)B.(-2,+∞)C.(-∞,-6)D.(-6,+∞)
答案 D 解析 因为数列{an}为递增数列,所以an+1>an在n∈N*时恒成立,所以an+1-an=[2(n+1)2+t(n+1)+3]-(2n2+tn+3)=4n+2+t>0,所以t>-4n-2在n∈N*时恒成立,而当n=1时,(-4n-2)max=-6,所以t>-6.故选D.
考向3.数列的最值典例突破
方法总结求数列最值的常用方法(1)利用数列的单调性:根据单调性求数列的最值.(2)利用均值不等式:但要注意均值不等式成立的条件以及数列项数n只能取正整数这一特殊性质.(3)通过建立不等式组求解:若设第k(k≥2)项最大,则有 解该不等式组确定k的值即得数列的最大值.
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