第一章　§1.5　基本不等式的综合应用-【北师大版】2025年高考数学大一轮复习（课件+讲义+练习）

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1.会求与基本不等式有关的恒成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应用.3.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
例1　(1)已知x>0，y>0，且 ＝1，若2x＋y0，
基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题.
一、单项选择题1.已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为A.13 B.12 C.9 D.4
因为|MF1|＋|MF2|＝6，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.
2.若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为A.4π B.8π C.12π D.16π
3.(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆(x－1)2＋(y－2)2＝4关于直线ax＋by－2＝0(a>0，b>0)对称，则ab的最大值为
由题知，圆心(1,2)在直线ax＋by－2＝0上，∴a＋2b＝2，
4.(2023·杭州模拟)已知2a＝3,3b＝4，ac＝b，则a，b，c的大小关系为A.c>a>b B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c
由题可知，a＝lg23，b＝lg34，易知a，b∈(1，＋∞).
所以c＝lgabc.
5.已知正实数x，y满足2x＋3y－xy＝0，若3x＋2y≥t恒成立，则实数t的取值范围是A.(－∞，25] B.(－∞，25)C.(－∞，24] D.[24，＋∞)
由正实数x，y满足 2x＋3y－xy＝0，
故实数t的取值范围是(－∞，25].
故函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，
所以f(x)为减函数，因为f(2a)＋f(b－2)＝2，所以2a＋b－2＝0，即2a＋b＝2.
二、多项选择题7.已知正实数x，y满足x＋y＝4，则下列选项正确的是A.ex＋ey的最小值为2e2B.lg x＋lg y的最大值为lg 4C.x2＋y2的最小值为8D.x(y＋4)的最大值为16
故lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 4，当且仅当x＝y＝2时取等号，故B正确；x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝16－2xy≥8，当且仅当x＝y＝2时取等号，故C正确；由正实数x，y满足x＋y＝4，得y＝4－x，x∈(0,4)，故x(y＋4)＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16∈(0,16)，故D错误.
8.若a>1，b>1，且ab＝e2，则A.2e≤a＋b0，
12.已知A＝{x|ax2＋bx＋c≤0(a0，Δ＝b2－4ac＝0，所以b>a>0，b2＝4ac.
四、解答题13.设函数f(x)＝4x－a·2x＋b，且f(0)＝0，f(1)＝2.(1)求a，b的值；
由题意得，f(0)＝1－a＋b＝0，f(1)＝4－2a＋b＝2，解得a＝1，b＝0.
(2)若∃x∈(－∞，3]，使得f(x)2x＋3·2－x－1成立.则当x∈(－∞，3]时，m>(2x＋3·2－x－1)min，设h(x)＝2x＋3·2－x－1，x∈(－∞，3]，令t＝2x，则t∈(0,8]，
14.受芯片制约的影响，中国自主创新的爆发力被激发.某企业原有500名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员x名(x∈N＋)，调整后研发人员的年人均投入增加2x%，维护人员的年人均投入调整为 万元.(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？
调整后研发人员的年人均投入为(1＋2x%)a万元，则(500－x)(1＋2x%)a≥500a(a>0)，整理得0.02x2－9x≤0，解得0≤x≤450，又因为x∈N＋，所以要使这(500－x)名研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为50.
(2)若对任意100≤x≤200(x∈N＋)，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入.求实数m的取值范围.