2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略考点06函数的概念及其表示7类常见考点全归纳(精选195题)(原卷版+解析)

这是一份2025高考数学【考点通关】考点归纳与解题策略考点06函数的概念及其表示7类常见考点全归纳(精选195题)(原卷版+解析)，共133页。试卷主要包含了函数的概念，同一函数的判断，求函数值，求函数的定义域，求函数的解析式，求函数的值域，分段函数及其应用等内容，欢迎下载使用。
考点一 函数的概念
考点二 同一函数的判断
考点三 求函数值
考点四 求函数的定义域
（一）求具体函数的定义域
（二）求抽象函数的定义域
（三）逆用函数的定义域
（四）实际问题中的定义域
考点五 求函数的解析式
（一）待定系数法
（二）配凑法
（三）换元法
（四）利用函数的奇偶性求解析式
（五）利用函数的周期性求解析式
（六）构造方程组法
（七）赋值法
考点六 求函数的值域
（一）求函数的值域
(1)观察法
(2)配方法
(3)图象法
(4)分离常数法
(5)反解法
(6)换元法
(7)判别式法
(8)单调性法
(9)基本不等式法
(10)导数法
（二）已知函数值域求参数
（三）定义域和值域的综合
（四）函数值域新定义问题
考点七 分段函数及其应用
（一）求分段函数的函数值
（1）已知自变量的值求函数值
（2）已知函数值求自变量的值
（二）分段函数与不等式
（三）分段函数图象及其应用
（四）求分段函数的值域或最值
（五）已知分段函数的值域(最值)求参数
知识点1 函数的概念及其表示
1．函数的概念
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 .
(2)如果两个函数的定义域相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函数为相等函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有 解析法 、图象法和列表法．
知识点2 分段函数
1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的 并集 .
知识点3 函数的定义域
函数y＝f(x)的定义域
1．求定义域的步骤
(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；
(2)解不等式(组)；
(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
2．求函数定义域的主要依据
(1)整式函数的定义域为R.
(2)分式函数中分母 不等于0 .
(3)偶次根式函数被开方式 大于或等于0 .
(4)一次函数、二次函数的定义域均为 R .
(5)函数f(x)＝x0的定义域为 {x|x≠0} .
(6)指数函数的定义域为 R .
(7)对数函数的定义域为 (0，＋∞) .
知识点4 函数的值域
基本初等函数的值域：
1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R .
2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(y≥\f(4ac－b2,4a))))) ；当a0且a≠1)的值域是 (0，＋∞) .
5．y＝lgax(a>0且a≠1)的值域是 R .
[延伸]
6．y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的值域为(－∞，－2eq \r(a))∪(2eq \r(a)，＋∞)．
7．y＝x－eq \f(a,x)(a>0)的值域为(－∞，＋∞)．
8．y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)(a≠0，ad－bc≠0)的值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(c,a)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)，＋∞)).
归纳拓展
1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
3．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
5．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．
1、判断所给的对应关系是否为函数的方法
(1)先观察两个数集A，B是否非空；
(2)验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．
注：①函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
②构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数需满足定义域和对应关系均相同
2、根据图形判断对应关系是否为函数的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
3、判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
4、教材中的几个重要函数
5、求函数的定义域
函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域必须用集合或区间表示.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．研究函数问题都应该注意“定义域优先”，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集.
（1）求具体函数的定义域
求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化）
①分式：分母不能为零；
②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）
③零次幂：中底数；
④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；
⑤三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则
⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义
注：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。
（2）求抽象函数的定义域
谨记两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围
同一个下括号内的范围是一样的
①已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
②已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
③已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。
④运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
求抽象函数的定义域常用转移法. 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a0且a≠1)的值域是 R .
[延伸]
6．y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的值域为(－∞，－2eq \r(a))∪(2eq \r(a)，＋∞)．
7．y＝x－eq \f(a,x)(a>0)的值域为(－∞，＋∞)．
8．y＝eq \f(cx＋d,ax＋b)(a≠0，ad－bc≠0)的值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(c,a)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)，＋∞)).
归纳拓展
1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
3．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．
4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
5．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．
1、判断所给的对应关系是否为函数的方法
(1)先观察两个数集A，B是否非空；
(2)验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．
注：①函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素．
②构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数需满足定义域和对应关系均相同
2、根据图形判断对应关系是否为函数的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l；
(2)在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
3、判断两个函数为同一个函数应注意的三点
(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．
(2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．
(3)在化简解析式时，必须是等价变形．
4、教材中的几个重要函数
5、求函数的定义域
函数的定义域：就是使得函数解析式有意义时，自变量的取值范围就叫做函数的定义域，定义域必须用集合或区间表示.若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．研究函数问题都应该注意“定义域优先”，抛弃函数的定义域解决函数问题没有任何意义。但大部分学生都会忽视这一问题，所以被称为隐形杀手，一定要确立定义域优先的思想。求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集.
（1）求具体函数的定义域
求具体函数(用解析式给出）定义域的基本原则有以下几条：（注不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化）
①分式：分母不能为零；
②根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）
③零次幂：中底数；
④对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；
⑤三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为，若，则
⑥若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
⑦在求实际问题或几何问题的定义域，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义
注：剥洋葱原理一层一层交集(同时成立) 最后把求定义域转化成解不等式。
（2）求抽象函数的定义域
谨记两句话：定义域（永远）指的是x的取值范围
同一个下括号内的范围是一样的
①已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
②已知的定义域，求的定义域。其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
③已知的定义域，求的定义域。其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。
④运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
求抽象函数的定义域常用转移法. 若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a