江苏连云港市海滨中学2024-2025学年八上数学第9周阶段性训练模拟练习【含答案】

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A．44°B．58°C．64°D．68°
2．如图，数轴上点A对应的数是1，点B对应的数是2，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．1.4B．C．D．2.4
3．如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，CN的长为（ ）
A．7B．C．D．15
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（ ）
A．1.8B．2C．2.4D．2.5
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（ ）
A．5B．2C．4D．3
6．如图，在长方形ABCD中，将△ABC沿AC对折至△AEC位置，CE与AD交于点F，如果AB＝2，BC＝4，则AF的长是（ ）
A．2B．2.5C．2.8D．3
二．填空题（共10小题）
7．如图，一个高16m，底面周长8m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为 长．
8．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ．
9．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为 ．
10．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝5，AD＝4．则边AC的取值范围是 ．
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝38°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝ ．
12．如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，若PE＝1，则两平行线AD与BC间的距离为 ．
13．若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为 ．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝9cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是 ．
15．如图，长方体的底面边长分别为1cm和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP＝BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要 cm．
16．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
三．解答题（共11小题）
17．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x．
（1）小明发明了求正方形边长的方法：
由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x．
因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝ ．
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：连接IC，利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程；
（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（注：根据比例的基本性质，由可得ad＝bc）
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B向点B运动，设运动时间为t秒（t＞0）
（1）在AC上是否存在点P，使得PA＝PB？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（2）若点P恰好在△ABC的角平分线上，请求出t的值，说明理由．
19．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB＝CB，过程如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E
∵∠ACB+∠BCD＝90°，∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE．
∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB＝180°．
∵∠EAC+∠CAB＝180°，∴∠EAC＝∠BDC．
又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE＝CB．
又∵BE＝AE+AB，∴BE＝BD+AB，∴BD+AB＝CB．
（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（3）给予证明．
（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，则CD＝ ，CB＝ ．
20．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）已知AC＝8，求点C到BE之间的距离．
21．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？
22．在长方形纸片ABCD中，AB＝8，P是边BC上一点，BP＝6．将纸片沿AP折叠后，点B的对应点记为点O，PO的延长线恰好经过该长方形的顶点D．
（1）试判断△ADP的形状，并说明理由；
（2）求AD长．
23．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积．
解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．
如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积．
24．已知，△ABC是边长8cm的等边三角形，动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动，运动时间为t
（1）如图1，t＝ s时，△PBC是直角三角形；
（2）如图2，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P、Q分别以1cm/s和2cm/s的速度同时出发．设运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（3）如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．
25．已知：如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AF＝6，△ABC的周长为20，求BC的长．
26．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
27．问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC．
求证：△ABD≌△ACE；
探索：如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD2、BD2、CD2之间满足的数量关系，并证明你的结论；
应用：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若BD＝6，CD＝2，求AD的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．【解答】解：如图连接OB、OC．
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC，
∴OB＝OC，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA，设∠OBA＝∠OAB＝∠OAC＝∠OCA＝x．
∵∠OEC＝136°，EO＝EC，
∴∠EOC＝∠ECO＝（180°﹣∠OEC）＝22°，
∴∠OBC＝∠OCE＝22°，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴4x+2×22°＝180°，
∴x＝34°，
∴∠BAC＝2x＝68°，
故选：D．
2．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝2﹣1＝1，BC＝1，
由勾股定理得，AC＝＝，
则点D表示的数为+1．
故选：C．
3．【解答】解：∵将长方形ABCD沿直线MN折叠，使点C与点A重合，
∴AN＝CN，
设CN＝x，则AN＝CN＝x，
∵AB＝8，
∴BN＝8﹣x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△CBN中，CN2＝NB2+BC2，
又∵BC＝6，
∴x2＝（8﹣x）2+62，
解得，x＝，
故选：B．
4．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
在AB上取一点G，使AG＝AF，
∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴FE＝EG，
∴CE+EF＝CE+EG，
则当点C，E，G三点在一条直线且CG垂直AB时，CG的值最小，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CG，
∴3×4＝5CG，
∴CG＝，
∴CE+EF的最小值为，
故选：C．
5．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵AB＝6，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝3，
∴DF＝3，
故选：D．
6．【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ACB，
由翻转变换的性质可知，∠FCA＝∠ACB，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
在Rt△CDF中，FC2＝DF2+CD2，即FA2＝（4﹣AF）2+22，
∴AF＝2.5，
故选：B．
二．填空题（共10小题）
7．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
设等楼梯的长为xm，
∵圆柱高16m，底面周长8m，
∴x2＝（1×8+4）2+162＝400，
∴登梯至少＝20（m），
故答案为：20m．
8．【解答】解：作DD′⊥AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP′＝P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2＝AD′2，AD′2＝16，
∵AP′＝P′D'，
2P′D′2＝AD′2，即2P′D′2＝16，
∴P′D′＝2，
即DQ+PQ的最小值为2，
故答案为：2．
9．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
10．【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+EC，
∴8﹣5＜AC＜8+5，
即3＜AC＜13，
故答案为：3＜AC＜13．
11．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝38°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝52°．
由折叠的性质可知：DA＝DP＝DB，∠DCP＝∠DCB．
又∵△ABC为直角三角形，
∴DC＝AB，
∴DC＝DA＝DB，
∴∠ACD＝∠A＝38°，∠DCB＝∠B＝52°，
∴∠DCP＝52°，
∴∠ACP＝∠DCP﹣∠ACD＝52°﹣38°＝14°．
故答案为：14°．
12．【解答】解：过点P作FG⊥AD交AD于F，交BC于G，
∵AD∥BC，
∴FG⊥BC，
∵AP是∠BAD的角平分线，PF⊥AD，PE⊥AB，
∴PF＝PE＝1，
∵BP是∠ABC的角平分线，PE⊥AB，PG⊥BC，
∴PG＝PE＝1，
∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG＝2，
故答案为：2．
13．【解答】解：当4和5都是直角边时，则第三边是＝；
当5是斜边时，则第三边是3．
故答案为：和3．
14．【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BEA＝90°，
又∵∠FBD+∠BDF+∠BFD＝180°，∠FAE+∠FEA+∠AFE＝180°，且∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠FAE，
又∵∠ABC＝45°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，且∠ADC＝∠BDF＝90°，∠FBD＝∠FAE，
∴△ADC≌△BDF（ASA）
∴BF＝AC＝9cm，
故答案为：9cm．
15．【解答】解：将长方体展开，连接A、P，
∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP＝BC，
∴AC＝4cm，PC＝BC＝3cm，
根据两点之间线段最短，AP＝＝5（cm）．
故答案为：5．
16．【解答】解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，
∴点B关于AD的对称点B′在AC上，
过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，
过点B作BE⊥AC于E，
∵AC＝10，S△ABC＝25，
∴×10•BE＝25，
解得BE＝5，
∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，
∴AB＝AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，
∴B′N＝BE＝5，
即BM+MN的最小值是5．
故答案为：5．
三．解答题（共11小题）
17．【解答】解：（1）∵a﹣x+b﹣x＝c，
∴x＝，
故答案为：；
（2）∵S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC，
∴，
解得x＝，
即正方形IECF的边长是；
（3）由（1）和（2）可得，
＝，
∴2ab＝（a+b﹣c）（a+b+c），
∴2ab＝[（a+b）﹣c][（a+b）+c]，
∴2ab＝（a+b）2﹣c2，
∴2ab＝a2+2ab+b2﹣c2，
∴c2＝a2+b2，
∴勾股定理成立．
18．【解答】解：（1）如图1，设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，
PC2+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t＝，
∴当t＝时，PA＝PB；
（2）当点P在点C或点B处时，一定在△ABC的角平分线上，
此时t＝2或t＝3.5秒；
当点P在∠ABC的角平分线上时，作PM⊥AB于点M，如图2，
此时AP＝2t，PC＝PM＝4﹣2t，
△APB的面积＝PM•AB＝BC•AP，
∴AP：AB＝PM：BC，
即：2t：5＝（4﹣2t）：3，
解得：t＝；
当点P在∠CAB的平分线上时，作PN⊥AB，如图3，
此时BP＝7﹣2t，PN＝PC＝（2t﹣4），
△APB的面积＝PN•AB＝BP•AC，
∴BP：BA＝PN：AC，
即：（7﹣2t）：5＝（2t﹣4）：4，
解得：t＝，
综上，当t＝2s或3.5s或s或s时，点P在△ABC的角平分线上．
19．【解答】解：（1）如图（2）：AB﹣BD＝CB．理由如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，∠BCD＝90°﹣∠ECD，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFC，∠D＝90°﹣∠BFD，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠CAE＝∠D，
在△ACE和△DCB中，，
∴△ACE≌△DCB（ASA），
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AB﹣AE，
∴BE＝AB﹣BD，
∴AB﹣BD＝CB．
如图（3）：BD﹣AB＝CB．理由如下：
：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°+∠ACB，∠BCD＝90°+∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE．
∵DB⊥MN，
∴∠CAE＝90°﹣∠AFB，∠D＝90°﹣∠CFD，
∵∠AFB＝∠CFD，
∴∠CAE＝∠D，
又∵AC＝DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝DB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE＝CB．
又∵BE＝AE﹣AB，
∴BE＝BD﹣AB，
∴BD﹣AB＝CB．
（2）MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，
∴综合了第一个图和第二个图两种情况，
若是第1个图：由（1）得：△ACE≌△DCB，CE＝CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴∠AEC＝45°＝∠CBD，
过D作DH⊥CB．则△DHB为等腰直角三角形．
BD＝BH，
∴BH＝DH＝1．
直角△CDH中，∠DCH＝30°，
∴CD＝2DH＝2，CH＝．
∴CB＝+1；
若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H．
解法类似上面，CD＝2，得出CB＝﹣1；
故答案为：2，+1或﹣1．
20．【解答】（1）证明：
∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴CD＝CE，AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：
由（1）可知△ACD≌△BCE，
∴S△ACD＝S△BCE，
设C到BE的距离为h，则AD•CO＝BE•h，
∴h＝CO，
∵AO平分∠BAC，
∴CO＝BC＝AC＝4，
即点C到BE的距离为4．
21．【解答】解：（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：AO＝（米）；
（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米），
根据勾股定理：OB′＝＝2（米），
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米），
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
22．【解答】解：（1）△ADP为等腰三角形；
理由：由翻折可得∠APB＝∠APD，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP＝∠APB，
∴∠DAP＝∠APD，
∴AD＝DP，
∴△ADP为等腰三角形；
（2）由翻折可知PO＝BP＝6，AO＝AB＝8，∠AOD＝∠AOP＝∠B＝90°，
设AD的长为x．
∵AD＝DP，
∴OD＝x﹣6，
在直角△AOD中有AD2＝AO2+OD2，
∴x2＝64+（x﹣6）2，
解得x＝，
即AD的长为．
23．【解答】解：（1）由题意可得，
AE＝AC＝5，∠EAC＝90°，
则△EAC的面积是：（cm2），
即四边形ABCD的面积为12.5cm2，
故答案为：12.5；
（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，
在△GFH和△NFO中，
，
∴△GFH≌△NFO（SAS），
∴FH＝FO，
∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，
∴HM＝OM，
在△HFM和△OFM中，
，
∴△HFM≌△OFM（SSS），
∵△OFM的面积是：cm2，
∴△HFM的面积是12.5cm2，
∴四边形HFOM的面积是25cm2，
∴五边形FGHMN的面积是25cm2．
24．【解答】解：当△PBC是直角三角形时，∠B＝60°，
而∠BPC＝90°，则∠BCP＝30°，
∴BP＝BC＝4，
所以t＝4（s），
故答案为4；
（2）当∠BPQ＝90°时，BP＝0.5BQ，
而BP＝8﹣2t，BQ＝2t，
∴8﹣t＝0.5×2t，所以t＝4；
当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
∴8﹣t＝2×2t，所以t＝；
所以t＝4或；
（3）相等，如图所示：
作PE垂直AD，QG垂直AD延长线，则PE∥QG，
∴∠G＝∠AEP，
在△EAP和△GCQ，
，
∴△EAP≌△GCQ（AAS），
∴PE＝QG，
∴△PCD和△QCD同底等高，
所以面积相等．
25．【解答】（1）证明：连接DB、DC．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵DG垂直平分BC，
∴DB＝DC，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：∵∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AF＝AE＝6，
由（1）得：BE＝CF，
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，
＝AE+EB+AF﹣CF+BC，
＝AE+AF+BC＝20，
∴BC＝20﹣12＝8．
26．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．
27．【解答】问题：
证明：在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
探索：
解：结论：2AD2＝BD2+CD2，
理由是：如图2中，连接EC．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∵△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴DE2＝CE2+CD2，
Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，
∴2AD2＝BD2+CD2；
应用：
解：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG，
则△DAG是等腰直角三角形，
∴∠ADG＝45°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠GDC＝90°，
同理得：△BAD≌△CAG，
∴CG＝BD＝6，
Rt△CGD中，∵CD＝2，
∴DG＝＝＝＝4，
∵△DAG是等腰直角三角形，
∴AD＝AG＝4．书面同意