江苏南通市崇川初级中学2024-2025学年八上数学第8周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏南通市崇川初级中学2024-2025学年八上数学第8周阶段性训练模拟练习【含答案】，共32页。试卷主要包含了点A等内容，欢迎下载使用。
1．点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣2）B．（3，2）C．（3，﹣2）D．（2、﹣3）
2．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°
3．已知△ABC的内角平分线相交于点O，三边的垂直平分线相交于点I，直线OI经过点A．若∠BAC＝40°，则∠ABC＝（ ）
A．40°B．50°C．70°D．80°
4．如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点，DC⊥BC，作∠EAB＝∠B，DE∥BC，连接CE．若＝，设△BCD的面积为S，则用S表示△ACE的面积正确的是（ ）
A．SB．3SC．4SD．S
5．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A．B．C．D．
7．已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（ ）
A．3条B．5条C．7条D．8条
8．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（ ）
A．4B．6C．D．8
9．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15B．12.5C．14.5D．17
10．如图，已知O是△ABC中∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E，若BC＝10cm，则△ODE的周长为（ ）
A．10cmB．8cmC．12cmD．20cm
11．已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④BA+BC＝2BF．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
12．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A．0.4cm2B．0.5cm2C．0.6cm2D．0.7cm2
13．如图，在锐角三角形ABC中，AC＝6，△ABC的面积为15，∠BAC的平分线交BC与点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
二．填空题（共10小题）
14．如图，点O是三角形内角平分线的交点，点I是三角形外角平分线的交点，则∠O与∠I的数量关系是 ．
15．如图，已知点I是△ABC的角平分线的交点．若AB+BI＝AC，设∠BAC＝α，则∠AIB＝ （用含α的式子表示）．
16．如图△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AD＝5，BC＝11，则DC＝ ．
17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，P为△ABC内任一点，且∠PBC＝∠PCA，则∠BPC＝ °．
18．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF＝4，CF＝7，求AF的长 ．
19．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝4cm，则BF＝ cm．
20．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝ 度．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是 cm2．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝64，且BD：CD＝9：7，则点D到AB边的距离为 ．
23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB+FG＝BC，其中正确的结论有 ．（填序号）
三．解答题（共6小题）
24．如图1，AB＝AC，EF＝EG，△ABC≌△EFG，AD⊥BC于点D，EH⊥FG于点H．
（1）直接写出AD、EH的数量关系： ；
（2）将△EFG沿EH剪开，让点E和点C重合．
①按图2放置△EHG，将线段CD沿EH平移至HN，连接AN、GN，求证：AN⊥GN；
②按图3放置△EHG，B、C（E）、H三点共线，连接AG交EH于点M．若BD＝1，AD＝3，求CM的长度．
25．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
26．（1）如图1，等腰三角形纸片ABC，∠BAC＝30°，按图2将纸片沿DE折叠，使得点A与点B重合，此时∠DBC ．
（2）在（1）的条件下，将△DEB沿直线BD折叠，点E恰好落在线段DC上的点E′处，如图3，此时∠E′BC＝ ．
（3）若另取一张等腰三角形纸片ABC，沿直线DE折叠（点D、E分别为折痕与直线AC、AB的交点），使得点A与点B重合，再将所得图形沿直线BD折叠，使得点E落在点E′的位置，直线BE′与直线AC交于点M．设∠BAC＝m°（m＜90），画出折叠后的图形，并直接写出对应的∠MBC的大小．（用含m的代数式表示）
27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD．
（1）判断△ADC的形状并给予证明；
（2）在AC边上求作一点H，使得BH+EH最小；若AC＝3，直接写出这个最小值．
28．已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．
（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为 ．
（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．
（3）如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．
29．实践探究，解决问题
Ⅰ．实践探究：如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD S△ACD．（填“＞”、“＝”、“＜”）
Ⅱ．解决问题：
（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB＝4，AD＝8，则S阴影＝ ；
（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴影和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD边AD、BC的中点，则S阴影和S四边形ABCD之间还满足（2）中的关系式吗？若满足，请予以证明，若不满足，说明理由．
Ⅲ．拓展应用：在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和（即S1+S2+S3+S4的值）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．【解答】解：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”可知：点A（﹣3，2）关于y轴对称的点的坐标是（3，2）．
故选：B．
2．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
3．【解答】解：如图，∵AO是∠BAC的角平分线，
∴∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝20°，
∵三边的垂直平分线相交于点I，
∴AI＝BI＝CI，
∴∠ABI＝∠BAI＝20°，∠CAI＝∠ACI＝20，
∠IBC＝∠ICB＝（180°﹣20°﹣20°﹣40°）＝50°，
∴∠ABC＝∠ABI+∠IBC＝70°，
故选：C．
4．【解答】解：延长AE、BC交于点M，如图所示：
∵∠EAB＝∠B，
∴AM＝BM，
∵DE∥BC，点D是线段AB的中点，
∴DE是△ABM的中位线，
∴AE＝ME，
∵＝，
∴设AE＝5a，则BC＝2a，
∴AM＝10a，
∴CM＝BM﹣BC＝8a，
∴CM＝4BC，
∵△BCD的面积为S，点D是线段AB的中点，
∴△ABC的面积为2S，
∴△ACM的面积＝4△ABC的面积＝8S，
∵AE＝ME，
∴△ACE的面积＝△ACM的面积＝4S；
故选：C．
5．【解答】解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO
∴∠CPO＝∠POD，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA
∴四边形COMP为菱形，PM＝4
PM∥CO⇒∠PMD＝∠AOP+∠BOP＝30°，
又∵PD⊥OA
∴PD＝PC＝2．
另解：作CN⊥OA．
∴CN＝OC＝2，
又∵∠CNO＝∠PDO，
∴CN∥PD，
∵PC∥OD，
∴四边形CNDP是长方形，
∴PD＝CN＝2
故选：C．
6．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
∵在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝1，
∴DE＝．
故选：B．
7．【解答】解：
分别以A、B、C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个，如图1，
分别为△ABD、△ABE、△ABF、△ACG，
∴满足条件的直线有4条；
分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形有3个，如图2，
分别为△ABH、△ACM、△BCN，
∴满足条件的直线有3条，
综上可知满足条件的直线共有7条，
故选：C．
8．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，
∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，
∴∠B＝30°，
∵AN＝1，
∴MN＝2，
∴AC＝AN+NC＝3，
∴BC＝6，
故选：B．
9．【解答】解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，
∵∠DAB＝∠DCB＝90°，
∴∠D+∠ABC＝180°＝∠ABE+∠ABC，
∴∠D＝∠ABE，
又∵∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠CAD＝∠EAB，
又∵AD＝AB，
∴△ACD≌△AEB（AAS），
∴AC＝AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，
∵S△ACE＝×5×5＝12.5，
∴四边形ABCD的面积为12.5，
故选：B．
10．【解答】解：∵OD∥AB，
∴∠DOB＝∠ABO，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠DOB，
∴∠BOD＝∠DBO，
∴OD＝BD，
同理OE＝CE，
∴△ODE的周长为OD+DE+OE＝BD+DE+CE＝BC＝10cm，
故选：A．
11．【解答】解：
①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，
∴在△ABD和△EBC中，，
∴△ABD≌△EBC（SAS），…①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，…②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC．…③正确；
④过E作EG⊥BC于G点，
∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，
∴EF＝EG（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵在Rt△BEG和Rt△BEF中，，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，
∵在Rt△CEG和Rt△AFE中，，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴AF＝CG，
∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF．…④正确．
故选：D．
12．【解答】解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°，
在△APB和△EPB中
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE＝S△ABC＝0.5cm2，
故选：B．
13．【解答】解：如图，作N关于AD的对称点N′，连接MN′，作BN″⊥AC于N″交AD于M′．
∵BM+MN＝BM+MN′≤BN″，
∴当M与M′，N与N″重合时，BN″最小，
∵×AC×BN″＝15，AC＝6，
∴BN″＝5，
∴BM+MN的最小值为5，
故选：B．
二．填空题（共10小题）
14．【解答】解：∵点O是三角形内角平分线的交点，点I是三角形外角平分线的交点，
∴∠OBI＝∠OBC+∠CBI＝∠ABC+∠CBF＝（∠ABC+∠CBF）＝90°，
同法可证：∠OCI＝90°，
∴∠O+∠I＝180°，
故答案为∠O+∠I＝180°．
15．【解答】解：作ID⊥AB于D，IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，如图所示：
则∠ADI＝∠AEI＝90°，
∵I是△ABC的角平分线的交点，
∴ID＝IE，
在Rt△ADI和Rt△AEI中，，
∴Rt△ADI≌Rt△AEI（HL），
∴AD＝AE，
同理：CF＝CE，BD＝BF，
∴AB+BI＝BD+AD+BI＝BF+AE+BI＝AC＝CE+AE，
∴BF+BI＝CE＝CF，
在线段CF上取点G，使FG＝BF，连接IG，
∵IF⊥BC，
∴BI＝GI，
∴∠IBG＝∠IGB，
又∵CF＝FG+CG，
∴BI＝CG，
∴IG＝CG，
∴∠GCI＝∠GIC＝∠IBG＝∠ABC，
∴∠ACB＝2∠GCI＝∠ABC，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，
∴∠ABC＝180°﹣α，
∴∠ABC＝120°﹣α，
∴∠ABI＝∠ABC＝60°﹣α，
∴∠AIB＝180°﹣∠BAI﹣∠ABI＝180°﹣α﹣（60°﹣α）＝120°﹣α；
故答案为：120°﹣α．
16．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD＝5，
∴DC＝BC﹣BD＝11﹣5＝6，
故答案为：6．
17．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∵∠PBC＝∠PCA，
∴∠ACB＝∠PCB+∠PCA＝∠PCB+∠PBC＝70°，
∴∠BPC＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
18．【解答】解：过A作AP∥CE交BD于P，作AM⊥CE于M，AN⊥BD于N，如图所示：
则∠BFC＝∠FPA，
∵△ABC和△ADE都是正三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
由三角形内角和定理得：∠BFC＝∠BAC＝60°，
∴∠CFD＝120°，∠FPA＝60°，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
在△ABN和△ACM中，，
∴△ABN≌△ACM（AAS），
∴BN＝AM，
∵AM⊥CE于M，AN⊥BD于N，
∴∠AFC＝∠AFP＝60°＝∠FPA，
∴△APF是等边三角形，
∴AF＝PF＝AP，
在△ABP和△ACF中，，
∴△ABP≌△ACF（AAS），
∴BP＝CF＝7，
∴AF＝PF＝BP﹣BF＝7﹣4＝3；
故答案为：3．
19．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝4AB，
∵S△ABC＝AC•BF，
∴AC•BF＝4AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝4cm，
∴BF＝8（cm）．
故答案为：8．
20．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠FAC＝∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB＝∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，
解得，∠C＝24°，
故答案为：24．
21．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴，
∴△CEF和△BEF的面积相等，
∴S阴影＝S△ABD，
∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵S△ABC＝12cm2，
∴S阴影＝12÷2＝6cm2．
故答案为：6．
22．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝64，BD：CD＝9：7，
∴CD＝64×＝28，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝28，
故答案为：28．
23．【解答】解：∵∠FBD＝∠ABF，∠FBD+∠BFD＝90°，∠ABF+∠AEB＝90°，
∴∠BFD＝∠AEB，
∴∠AFE＝∠AEB，
∴AF＝AE，故①正确，
∵FG∥BC，FH∥AC，
∴四边形FGCH是平行四边形，
∴FH＝CG，FG＝CH，∠FHD＝∠C，
∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠C＝90°，
∴∠BAF＝∠BHF，
∵BF＝BF，∠FBA＝∠FBH，
∴△FBA≌△FBH，
∴FA＝FH，故AB＝BH，②正确，
∵AF＝AE，FH＝CG，
∴AE＝CG，
∴AG＝CE，故③正确，
∵BC＝BH+HC，BH＝BA，CH＝FG，
∴BC＝AB+FG，故④正确．
故答案为①②③④．
三．解答题（共6小题）
24．【解答】解：（1）结论：AD＝EH．
理由：∵△ABC≌△EFG，AD⊥BC于点D，EH⊥FG于点H．
∴AD＝EH（全等三角形的对应边上的高相等）．
故答案为AD＝EH．
（2）证明：①如图2中，
由题意可知：△ABD≌△ADC≌△EFH≌△EGH，
CD＝HG，AD＝CH，∠ADC＝∠CHG＝90°，
∵DC沿CH平移至HN，
∴DN＝CH，DN∥CH，
∴∠DAN＝∠DNA，∠HNG＝∠HGN，
设∠CDN＝α，
∵DC∥NH，DN∥CN，
∴∠CDN+∠DNH＝∠DNH+∠CHN＝180°，
∴∠DNH＝180°﹣α，∠CDN＝∠CHN＝α，
∴∠NHG＝90°+α，
∴∠AND＝∠HNG＝45°﹣，
∴∠ANG＝∠DNH﹣∠AND﹣∠HNG＝90°，
∴AN⊥GN．
②如图3中，
∵AC＝GC，
∴∠CAG＝∠CGA，
又∵∠CAD＝∠CGH，
∴∠CAG+∠CAD＝∠CGA+∠CGH，
即∠DAM＝∠DMA，
又∵∠ADM＝90°，
∴∠DAM＝∠DMA＝45°，DA＝DM，
∴∠DMA＝∠HMA＝45°，
又∵∠H＝90°，
∴∠HGM＝∠HMA＝45°，
∴MH＝GH，
∴CM＝DM﹣DC＝AD﹣BD＝3﹣1＝2．
25．【解答】解：（1）∠CMQ＝60°不变．
∵等边三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
又由条件得AP＝BQ，
在△ABQ和△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°．
（2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t
①当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得4﹣t＝2t，t＝；
②当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t＝；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
（3）∠CMQ＝120°不变．
∵在等边三角形中，BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
又由条件得BP＝CQ，
在△PBC和△QCA中，
，
∴△PBC≌△QCA（SAS）
∴∠BPC＝∠MQC
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°﹣60°＝120°
26．【解答】解：（1）如图2中，
∵∠ABC＝30°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝75°，
∵△ADE折叠至△BDE，
∴DBE＝∠A＝30°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝45°．
故答案为45°
（2）如图3中，
∵△DBE折叠至△DBE′，
∴∠DBE′＝∠DBE＝30°，
∴∠DBE′＝∠DBC﹣∠CBE′＝45°﹣30°＝15°．
故答案为15°．
（3）如图4，0°＜m＜36°时，∠MBC＝90°﹣m°；
（其中：图5，m＝30°时，点M与点E′重合；
图6，30°＜m＜36°时，∠MBC＝90°﹣m°；
图7，m＝36°时，点M与点C重合；）
如图8，36°＜m＜60°时，∠MBC＝m°﹣90°；
如图9，m＝60°时，点D与点C重合，BE′≠AC，不存在点M；
如图10，60°＜m＜90°时，∠MBC＝270°﹣m°．
27．【解答】解：（1）结论：△ADC是等边三角形．
理由：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝2BC，E为AB边的中点，
∴BC＝EA，∠ABC＝60°，
∵△DEB为等边三角形，
∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°，
∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，
∴∠DEA＝∠DBC，
在△ADE与△CDB中，
，
∴△ADE≌△CDB（SAS），
∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDB，
∴∠ADC＝∠EDB＝60°，
∴△ADC是等边三角形；
（2）如图，作点E关于直线AC点E'，连接BE'交AC于点H，则点H即为符合条件的点，
由作图可知：EH＝HE'，AE'＝AE，∠E'AC＝∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠EAE'＝∠ABC＝60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴EE'＝EA＝AE'＝BC＝AB，
∵AB＝BA，
∴△ABE'≌△BAC（SAS），
∴BE'＝AC＝3，
∴BH+EH的最小值为3．
28．【解答】（1）答：猜想BE与EF的数量关系为：BE＝EF；
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABC＝30°，AE＝CE，
∵AE＝CF，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF，
∵∠F+∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴∠F＝30°，
∴∠CBE＝∠F，
∴BE＝EF；
（2）答：猜想BE＝EF．
证明如下：如图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE，
∴BG＝CE，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE与△ECF中，
，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF；
（3）BE＝EF．
证明如下：如图3，过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE，
∴BG＝CE，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
又∵∠BGE＝∠ECF＝60°，
∴在△BGE与△ECF中，
，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
29．【解答】解：I、实践探究：
如图1，∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD．
Ⅱ．解决问题：
（1）∵E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，且AB＝4，AD＝8，
∴S阴影＝BF×AB＝×8×4＝16，
故答案为：16；
（2）∵E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，
∴S阴影＝S平行四边形ABCD；
故答案为：S阴影＝S平行四边形ABCD；
（3）满足（2）中的关系式，理由如下：
连接BD，由图1得S△EBD＝ S△ABD，同理S△BDF＝S△BDC，
∴S四边形EBFD＝S△EBD+S△BDF＝ S四边形ABCD；
Ⅲ．拓展应用：
解：如图5，设四边形的空白区域分别为a，b，c，d，
由上述性质可以得出：
a+S4+S3＝S△ACD①，c+S1+S2＝S△ACB②，
b+S4+S1＝S△ABD③，d+S2+S3＝S△BCD④，
①+②+③+④得，a+S4+S3+c+S1+S2+b+S4+S1+d+S2+S3＝S四边形ABCD⑤
而S四边形ABCD＝a+b+c+d+S1+S2+S3+S4+S阴影⑥
所以联立⑤⑥得S1+S2+S3+S4＝S阴影＝20平方米．