浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2024-2025学年八年级上学期9月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列各组中的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．4，4，8
3．（3分）能说明命题“对于任何实数a，都有a2＞a”是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣1B．a＝0C．a＝2D．a＝3
4．（3分）如图用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，由△ADF≌△ADE可得∠CAD＝∠BAD，由作图的过程可知，说明△ADF≌△ADE的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
5．（3分）如图，△ABC中边BC上的高为h1，△DEF中边DE上的高为h2，若AC＝EF，下列结论中正确的是（ ）
A．h1＝h2B．h1＞h2C．h1＜h2D．无法确定
6．（3分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
7．（3分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则△ABC的面积为（ ）平方厘米．
A．8B．12C．16D．18
8．（3分）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，∠A＝70°
B．AB＝5，BC＝6，AC＝13
C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8
D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°
9．（3分）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝26°，∠2＝33°，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（ ）
A．60°B．59°C．61°D．无法计算
10．（3分）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠AFE；②BF＝DE；③∠BFE＝∠BAE；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）把命题：对顶角相等．改写“如果…那么…”的形式为： ．
12．（3分）如图，手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有 性．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，DC＝AD，BD平分∠ABC，求D到AB的距离等于 ．
14．（3分）如图，△ABC的周长为24，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝3，则△ADB的周长是 ．
15．（3分）如图，△ABC中，D是BC边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2＝4，则△ABC的面积为 ．
16．（3分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝ 度；
（2）点D在直线BC上移动，若∠BAC＝α，∠BCE＝β．则α，β之间的数量关系为 ．
三、解答题（本题共有8小题，共72分．务必写出解答过程）
17．如图，已知在△ABC和△DBE中，AB＝DB，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：BC＝BE．
18．按要求画出图形．
（1）如图1，已知△ABC，按要求作图：
①作△ABC的角平分线BD；
②作BC边上的高线AF．
（2）有公路l1同侧，l2异侧的两个城镇A，B，如图2．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）
19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，AD＝BC．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求AD的长．
20．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．
（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？
（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝60°，求△ABC中最小内角的度数．
21．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连结AE，DE，CD．
（1）求证：AE＝CD．
（2）判断直线AE与CD的位置关系，并说明理由．
22．如图，△ABC中，AD是角平分线，E、F分别为AC、AB上的点，且∠AED+∠AFD＝180°．试问：DE与DF有何关系，并说明理由．
23．阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝50°，图1﹣图3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝ ；
如图2，∠O＝ ；
如图3，∠O＝ ；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．
（2）如图5，点O是△△ABC两条内角平分线的交点，则∠O＝ ．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝110°，∠2＝125°，求∠A的度数．
24．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，AC＝20cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AB→BC→CA运动，回到点A停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒．
（1）如图①，当△ABP的面积等于△ABC面积的一半时，求t的值；
（2）如图②，点D在BC边上CD＝4cm，点E在AC边上，CE＝5cm，ED⊥BC，ED＝3cm，在△ABC的边上，若另外有一个动点Q与点P同时从点A出发，沿着边AC→CB→BA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，以A，P，Q为顶点的三角形恰好与△EDC全等，求点Q的运动速度．
2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团八年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形是轴对称称图形，故此选项符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．【解答】解：A、3+4＝7＜8，不能组成三角形；
B、5+6＝11，不能组成三角形；
C、5+6＝11＞10，能够组成三角形；
D、4+4＝8，不能组成三角形．
故选：C．
3．【解答】解：当a＝0时，a2＝0，
∴a2＝a，
故选：B．
4．【解答】解：根据作图过程可知：
AF＝AE，DF＝DE，
在△FAD和△EAD中，
，
∴△FAD≌△EAD（SSS），
故选：B．
5．【解答】解：过点A作AM⊥BC交BC于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，如图所示：
则AM＝h1，FN＝h2，
∵AM⊥BC，FN⊥DE，
∴∠AMC＝∠FNE；
∵∠FEN＝180°﹣∠DEF＝65°，
∴∠ACM＝∠FEN，
在△AMC和△FNE中，
，
∴△AMC≌△FNE（AAS），
∴AM＝FN，
∴h1＝h2，
故选：A．
6．【解答】解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为3k°，4k°，5k°．
则3k+4k+5k＝180，
解得：k＝15，
∴5k＝75，3k＝45，4k＝60，
所以这个三角形是锐角三角形，
故选：A．
7．【解答】解：∵F为CE的中点，
∴EF＝CF，
∴S△AEC＝2S△AEF＝8，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴S△AED＝S△CED＝4，
∵E为BD的中点，
∴S△AEB＝S△AED＝4，
同理，S△BEC＝S△CED＝4，
∴△ABC的面积为：S△ABE+S△BEC+S△AEC＝4+4+8＝16，
故选：C．
8．【解答】解：A、已知两边和一角，不能画出唯一△ABC，故本选项不符合题意；
B、因为5+6＜13，不能构成三角形，故本选项不符合题意；
C、根据两角和一边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意；
D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
即∠1+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠1＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠2＝33°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝26°+33°＝59°．
故选：B．
10．【解答】解：∵AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠AFE，∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，
∴∠AFC＝∠C，
∴∠AFC＝∠AFE，故①符合题意，
∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE，
∴∠BFE＝∠FAC，故④符合题意，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠EAB＝∠BFE，故③符合题意，
由题意无法证明BF＝DE，故②不合题意，
正确的结论有①③④，共3个．
故选：C．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；
故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．
12．【解答】解：手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性．
故答案为：稳定．
13．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
∵AC＝8cm，DC＝AD，
∴DC＝AC＝2cm，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝2cm，
∴点D到AB的距离等于2cm，
故答案为：2cm．
14．【解答】解：∵AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AE＝3，
∴AD＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABC的周长为24，
∴AB+BC+AC＝24，
∴AB+BC＝24﹣6＝18，
∴△ADB的周长是AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝18，
故答案为：18．
15．【解答】解：∵点E，F是线段AD的三等分点，
∵点E，F是线段AD的三等分点，
∴DF＝AD，
∴S△ABD＝3S1，
同理S△ADC＝3S2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC
＝3S1+3S2
＝3（S1+S2）
＝3×4
＝12，
故答案为：12．
16．【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
即：∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．
故答案为：90．
（2）α+β＝180°或α＝β．理由如下：
①当点D在点B的右侧时，如图2所示：
同理可证：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝∠BCE＝β，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
②当点D在点B的左侧时，如图3所示：
同理可证：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠ACE，
∵∠ADB＝∠ACB+∠BAC＝∠ACB+α，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACB+β，
∴α＝β．
综上所述得：α，β之间的数量关系为α+β＝180°或α＝β．
故答案为：α+β＝180°或α＝β．
三、解答题（本题共有8小题，共72分．务必写出解答过程）
17．【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ABE＝∠2+∠ABE，
即∠DBE＝∠ABC，
在△DBE和△ABC中，
，
∴△DBE≌△ABC（ASA），
∴BC＝BE．
18．【解答】解：（1）①△ABC的角平分线BD如图1；
②如图1，线段AF即为所求．
（2）①作两条公路夹角的平分线OD或OE．
②作线段AB的垂直平分线FG，则射线OD、OE与直线FG的交点C1、C2即为所求的位置．
19．【解答】（1）证明：∵AD＝BC，∴AD﹣CD＝BC﹣CD，即 AC＝BD
∵∠A＝∠B，AE＝BF，
在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（SAS）；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，
∵AD＝AC+CD＝2+4＝6＝6，
故AD的长为6．
20．【解答】解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
∵∠A＝35°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，
∴△ABC是“三倍角三角形”；
（2）∵∠B＝60°，
∴∠A+∠C＝120°，
设最小的角为x，
①当60°＝3x时，x＝20°，
②当x+3x＝120°时，x＝30°，
答：△ABC中最小内角为20°或30°．
21．【解答】（1）证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD．
（2）解：AE⊥CD，理由如下：
延长AE交CD于点F，如图：
∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠CDB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠CDB+∠BAE＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴AF⊥CD，
即AE⊥CD．
22．【解答】解：DE＝DF，
理由是：
过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM＝DN，∠FMD＝∠END＝90°，
∵∠AED+∠AFD＝180°，∠AED+∠DEN＝180°，
∴∠MFD＝∠DEN，
在△FMD和△END中
∴△FMD≌△END，
∴DE＝DF．
23．【解答】解：（1）已知在△ABC中，∠A＝50°，图1﹣图3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，
如图1，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB
∴∠OBC+∠OCB
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠BAC）
＝（180°﹣50°）
＝65°，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；
如图2，∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACD，
∴，，
∵∠OCD是△OBC的外角，
∴∠OCD＝∠O+∠OBC，
∴，
如图3，∵∠EBC是△ABC的外角，
∴∠EBC＝∠A+∠ACB，
∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD，
∴，，
∴，
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣115°＝65°；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，
∴，，
O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，
∴O1O2平分∠BO2C，
∴，
∴，
∴，
故答案为：115°，25°，65°，；
（2）∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴，，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝
＝
＝．
故答案为：；
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝15°，
∴∠ABC＝3∠O2BO1＝45°，∠O1BC＝∠O2BO1＝15°，
∴∠BCO2＝180°﹣15°﹣125°＝40°，
∴∠ACB＝2∠BCO2＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝55°．
24．【解答】解：（1）当点P在BC上时，由三角形中线平分三角形面积可知，当点P为BC的中点时，△ABP的面积等于△ABC面积的一半，
∴此时，
同理当点P为AC中点时，△ABP的面积等于△ABC面积的一半，
∴此时；
综上所述，t的值为10或19；
（2）设点Q的运动速度为x cm/s，
由题意得，DC＝4cm，CE＝5cm，ED＝3cm
①当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△EDC时，
AP＝DE＝3cm，AQ＝EC＝5cm，
∴，
解得cm/s；
②当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌△ECD时，
AP＝EC＝5cm，AQ＝DE＝3cm，
∴，
解得cm/s；
③当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△EDC时，
AP＝ED＝3，AQ＝EC＝5，
∴点P的路程为AB+BC+PC＝12+16+20﹣3＝45cm，点Q的路程为AQ＝12+16+20﹣5＝43cm
∴，
解得： cm/s；
④当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌△ECD时，
AP＝EC＝5cm，AQ＝ED＝3cm，
∴点P的路程为AB+BC+PC＝12+16+20﹣5＝43cm，点Q的路程为AQ＝12+16+20﹣3＝45cm
∴，
解得： cm/s；
综上所述，点Q的运动速度为cm/s或cm/s或cm/s或cm/s．