已知图形面积求反比例函数系数k（双函数）模型-2024-2025学年度数学中考备考好模型好方法之函数模型精讲学案

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反比例函数系数k的几何意义：反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于．
模型呈现：
双反比例函数模型呈现：
注意上面结论中的等式正反两个方面的灵活应用．

双反比例函数与图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于
如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，C是x轴上一点，连接，，若的面积是6，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
C
设直线AB与y轴交于点M，由题意得出，，，再结合得出，即可得解．
解：连接，设直线AB与y轴交于点M，如图所示：
，
由轴，可得，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
1．如图，点A是函数（）图象上一点，点B是（，）图象上一点，点C在x轴上，连结，，．若轴，，则（ ）．
A．4B．2C．2.5D．5
2．如图，点A 在反比例函数上，过点A作轴，交y 轴于点C，交反比例函数于点 B．若，则k 的值为（ ）
A．6B．C．D．3
3．如图，四边形为平行四边形，其中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，若四边形的面积为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数y＝的图象上，轴于点，轴于点，，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于，两点，若，则的值为 ．

6．如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，与的面积之和为3，则k的值为 ．
7．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，x>0）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，x>0）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ．
8．如图，点，分别在函数图像的两支上（在第一象限），连结交轴于点．点，在函数图像上，轴，轴，连结，．若，的面积为12，四边形的面积为15，则的值为 ．
9．如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知．
(1)求k的值；
(2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积．
10．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线l与y轴平行，且直线l与反比例函数和的图象分别交于点A、B．

(1)求点A的坐标；
(2)若的面积为24，求k的值．
(3)在（2）的条件下，若x轴上有一点M，使为等腰三角形，请直接写出所有满足条件M点的坐标．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查反比例函数的几何意义，读懂题意，数形结合是解决问题的关键．
连接，如图所示，得到，再结合反比例函数的几何意义即可得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
轴，
，
，
，解得，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，根据同高三角形的面积比等底边比，求出的面积，即可得出k 的值．
【详解】解：连接，
∵轴，
∴轴，
∵点A 在反比例函数上，点 B在反比例函数上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查反比例图象与四边形结合，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题关键．根据题意作轴，轴，根据点在反比例函数的图象上可以求出，进而求出，进而求出值．
【详解】作轴，轴
∵四边形为平行四边形，面积为40，
∴
∵点在反比例函数的图象上；
∴，
∴
，
即
故选：A
4．C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，连接，由反比例函数的性质可知，，由，即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
由反比例函数的性质可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
由两式解得，
则，
故选：．
5．
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
由于，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，然后结合函数的图象所在的象限解方程得到满足条件的的值．
【详解】解：∵，
，
，
而，
．
故答案为：．
6．5
【分析】本题主要考查反比例函数的性质、k的几何意义等知识点，用k表示出相关图形的面积是解题的关键．
如图：过A作x轴垂线，过B作x轴垂线，可求出，将面积进行转换进而求解即可．
【详解】解：如图：过A作x轴垂线，过B作x轴垂线，
∵点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别为1，2，
∴，
∵轴，
∴，
∵与的面积之和为3，
∴，，
∴，解得：．
故答案为：5．
7．6
【分析】本题考查反比例函数中的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式准确用的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键．
根据反比例函数中的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角三角形面积等于，数形结合可以得到，根据图象均在第一象限可知，再由四边形的面积为3，得到，即可得到答案．
【详解】解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，
由反比例函数中的几何意义知，，
矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，
由反比例函数中的几何意义知，，
四边形的面积为3，
由图可知，，
即，解得，
，
故答案为：6．
8．
【分析】依据题意，设，再由轴，轴，，可得，，，再结合的面积为12，四边形的面积为15，即可得解.
【详解】解：设，
∵轴，且点E在函数上，
∴.
∵，且点B在函数上，
∴.
∵轴，点D在函数上，
∴.
∵的面积为12，
∴.
∴.
【点睛】本题主要考查反比例函数与图形的综合，掌握反比例函数图象的性质，几何图形点坐标的计算方法，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算方法是解题的关键．
9．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，求反比例函数的解析式；
（1）延长交轴于点，根据反比例函数的几何意义直接计算即可；
（2）过点作，先求出正比例函数的解析式，然后求出点的坐标，从而求出，最后根据计算即可；
熟知反比例函数的几何意义是关键．
【详解】（1）解：如图，延长交轴于点，
∵点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，且
∴，
解得，
故k的值为；
（2）如图，过点作，
∵点A的横坐标为4，点A是反比例函数图象上一点，
∴，
∵平行于y轴，
∴点的横坐标为4，
解得，
∴正比例函数的图象与反比例函数图象的交点的坐标为2,1
，
故的面积为．
10．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）把代入，即可求解；
（2）由结合反比例函数k的几何意义可得，进一步即可求出结果；
（3）先求出点B的坐标和的长，然后分三种情况：①若，可直接写出点M的坐标；②若，根据两点间的距离解答；③若，根据两点间的距离解答即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴点A的坐标为；
（2）解：∵，，，
∴，
解得，
∵，
∴；
（3）解：由（2）知：
把代入，得，
∴点B的坐标为，
∴，
设，
①若，则点M的坐标为或；
②若，
则，
解得或（舍去）
∴点M的坐标为；
③若，
则，
解得，
∴点M的坐标为，
综上，当点M的坐标为或或或时，为等腰三角形．