反比例函数与一次函数的平移问题模型-2024-2025学年度数学中考备考好模型好方法之函数模型精讲学案

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直线的平移和点的平移都遵循：“上加下减，左加右减”的规律，另外解决问题时常常利用平行线间的距离处处相等的性质．
模型示例：如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．现将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点B，与y轴交于点C，且的面积为，求直线的解析式．
第①步 先求反比例函数的解析式：
将点A的坐标代入得：，解得，
所以点A的坐标为．
将点A坐标代入反比例函数解析式得，，
所以反比例函数的解析式为．
第②步 求直线与y轴的交点C的坐标，利用平行线间的距离处处相等，把的面积转化为的面积，进而求出点C的坐标，即可求出答案：
连接，
由平移可知，，所以，
所以，解得，
所以点C的坐标为，
令直线的解析式为，
将点C坐标代入得，，
所以直线的函数解析式为．
适用范围：反比例函数与一次函数的平移问题．
一要利用平移的性质转化直线上的点为坐标轴上的点，二要牢记图象上的点符合函数的解析式
如图所示，已知一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于A，B两点，其中．
(1)求反比例函数的函数表达式；
(2)若把一次函数图象向下平移n个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，求n的值．
(3)在（2）小问的基础上，若平移后一次函数与反比例函数的交点为C，连接，，求的面积．
(1)；(2)或1；(3)或
根据一次函数求得点A，再把点A代入解析式即可，
根据平移的性质求得一次函数解析式，结合交点联立使用判别式求解即可；
由（2）的平移后一次函数解析式为或，即可求得交点坐标，联立一次函数与反比例函数求得点A和点B，利用分割法即可求得对应三角形的面积．
（1）解：∵过一次函数，
∴，解得，即，
∵过反比例函数，
∴，解得，
则反比例函数；
（2）解：∵一次函数图象向下平移n个单位，
∴，
∵与反比例函数的图象只有一个交点，
∴，得，
则，解得或1，
故或1；
（3）解：由（2）的平移后一次函数解析式为或，
则或，解得或，
∴点或，
由，解得或，
则，
当，则，解得；
当，则，解得；
那么，或，
故的面积或．
1．如图，在平面直角坐标系中，点在函数 的图象上，点B的坐标为，连接，将线段平移得到线段，点C落在函数的图象上，点D落在x轴的正半轴上，，则k的值为（ ）
A．2B．C．4D．
2．如图，将直线向下平移m（m＞0）个单位长度后得到直线l，直线l与反比例函数的图像在第一象限内相交于点A，与x轴相交于点B，则（ ）
A．16B．12C．8D．6
3．如图，在直角坐标系中，已知点，点分别是轴和轴上的点，过轴上的另一点作，与反比例函数的图像交于C、E两点，恰好为的中点，连接和．若，的面积为2，则的值为（ ）
A．2B．C．3D．1
4．如图，线段与轴平行，点的坐标为，将线段沿着轴水平向左平移到线段，点的对应点的坐标为，反比例函数的图象同时经过点与点．则的值为 ．
5．如图，双曲线与直线交于，B两点，将直线向下平移n个单位，平移后的直线与双曲线在第一象限的分支交于点C，连接并延长交x轴于点D．若点C恰好是线段的中点，则n的值为 ．
6．如图，直线与双曲线交于点A，将直线向右平移3个单位后，直线与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若，则 ．

7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点
(1)求直线的表达式；
(2)将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，若，请求出的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，已知点的纵坐标是2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线向上平移后与轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象交于点．若的面积为36，求平移后的直线表达式．
9．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
(1)求，，及的值．
(2)将直线AB沿轴向上平移个单位长度后与反比例函数图象交于点，，与轴交于点．若图中阴影部分（即）的面积是9，求的值．
10．如图，一次函数y=kx+bk≠0与反比例函数的图象在第一象限交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点P是直线AB下方第一象限双曲线上一动点，当的面积最大时求点P的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移确定点坐标，反比例函数解析式．熟练掌握平移的性质，根据平移确定点坐标，反比例函数解析式是解题的关键．
由题意知，B向下平移2个单位，向右平移1个单位到，则，将，分别代入得，，即，可求，进而可求的值．
【详解】解：∵，
∴，
由题意知，B向下平移2个单位，向右平移1个单位到，
∴向下平移2个单位，向右平移1个单位到，即，
将，分别代入得，，
∴，
解得，，
∴，
故选：C．
2．B
【分析】本此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移规律，平移后解析式是，代入求出与x轴交点B的坐标是，设A的坐标是，求出，代入求出即可．
【详解】解：∵平移后解析式是，
代入得：，
即，与x轴交点B的坐标是，，
设A的坐标是，
∴
故选：B．
3．A
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，涉及坐标与图形、中点坐标公式，巧妙设点的坐标是解答的关键．由题意，连接，设，，，，根据已知得，再根据中点坐标公式可得，且，整理可得；再根据平行线的性质可得，进而可得，即可求解．
【详解】解：连接，
由题意，设，，，，
∵，
∴，
∵恰好为的中点，
∴，且，
∴；
∵的面积为2，，
∴，
∴，解得，
∴，
故选：A．
4．
【分析】本题主要考查了反比例函数，平移的性质，坐标与图形，根据线段与轴平行可得点的横坐标为，再结合平移的性质和平移的途径可得，，问题随之得解．
【详解】∵线段与轴平行，点的坐标为，
∴点的横坐标为，
∵线段沿着轴水平向左平移到线段，点的对应点的坐标为，
∴线段沿着轴水平向左平移2个单位到线段，
∴点的纵坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标与点A的纵坐标相同为，
即，，
∵反比例函数的图象同时经过点与点，
∴，
解得：，
故答案为：．
5．6
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形 、一次函数的图象平移等知识，先利用待定系数法求得两个函数的解析式，再根据函数图象的平移规则“上加下减”得到平移后的直线的解析式，利用中点坐标公式得到点C的纵坐标，进而求得点C坐标，然后代入平移后的直线解析式中求解即可．
【详解】解：∵双曲线与直线交于，
∴，，解得，，
∴，，
直线向下平移n个单位，平移后的解析式为，
∵点C恰好是线段的中点，
∴点C的纵坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴由得，则点C的坐标为，
将代入中，得，
解得，
故答案为：6．
6．
【分析】本题考查了反比例函数的性质，以及平移的基本性质，取的中点为，设的坐标为，则的坐标为，根据平移的性质和，得出的坐标，利用、都在反比例函数图像上，建立等式求解，算出值，得到的坐标，将的坐标代入双曲线解析式，即可解题．
【详解】解：取的中点为，设的坐标为，

则的坐标为，
直线向右平移3个单位后，直线与双曲线交于点B，，
的坐标为．
、都在反比例函数图像上，
，
整理得，解得（舍去），，
的坐标为，
．
故答案为：．
7．(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数图象的平移，理解是关键．
（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，然后把的坐标代入直线解析式，利用待定系数法求得直线的解析式；
（2）记平移后的直线与轴的交点为，则，根据可得，然后利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
．
点．
把点代入，
得：，
．
直线的表达式为：．
（2）记平移后的直线与轴的交点为，则，连接．
．
．
即：．
．
8．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键．
（1）利用求出点的坐标为，将点代入反比例函数中求出即可；
（2）连接、，设平移后的解析式为，根据平移的性质得到，列得，求出b即可得到函数解析式．
【详解】（1）解：点在直线上，且点的纵坐标是2，
，解得，
即点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
（2）解：连接，如图．
联立，
解得或，
．
设平移后的直线表达式为．
该直线平行于直线，
，
，
，
，
平移后的直线表达式为．
9．(1)，，，；
(2)
【分析】（1）先把代入反比例函数求出，再把代入求出，再把，代入，用待定系数法求出，；
（2）先求出点坐标，再根据平移的性质求出，过作轴于，然后根据，求出．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，关键是求出直线和反比例函数解析式．
【详解】（1）解：把代入反比例函数得，，
反比例函数的解析式为，
把代入得，，
，
把，代入得：，
解得，
，，，；
（2）解：由（1）知，
令，则，
，
，
将直线沿轴向上平移个单位长度后直线，
，且，
连接，
，
，
，
过作轴于，
，
，
，
即．
10．(1)，
(2)
【分析】本题考查一次函数与反比例的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）先求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）将直线向下平移直至直线与双曲线只有一个交点，该交点即为点，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵次函数与反比例函数的图象在第一象限交于，两点，
∴，
∴，
∴，，
∴，解得：，
∴；
（2）∵点P是直线AB下方第一象限双曲线上一动点，
∴当将直线向下平移直至直线与双曲线只有一个交点时，此时的面积最大，
设平移后的直线的解析式为：，
令，整理，得：，
∵直线与双曲线只有一个交点，
∴，
∴或（舍去），
∴，解得：，
∴当时，，
∴．