2025年中考数学一轮复习学案：3.4 二次函数（学生版+教师版）

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3.4 二次函数
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础
考点1. 二次函数的图象与性质
1. 二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2. 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
【注意】求二次函数解析式的一般方法：
（1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.
（2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
（3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3. 二次函数的图象及性质
4. 抛物线的平移
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
考点2. 二次函数的图象与a,b,c之间的关系
【提示】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的常见结论
考点3. 二次函数与方程、不等式之间的关系
（1）二次函数与一元二次方程的关系
（2）二次函数与不等式的关系（拓展）
【易错点提示】对二次函数与一元二次方程关系密切这句话的理解．
举例说明：已知二次函数y =－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
考点1. 二次函数的图象与性质
【例题1】（2024福建省）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数，使得B. 无论实数取什么值，都有
C. 可以找到一个实数，使得D. 无论实数取什么值，都有
【答案】C
【解析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题．
【详解】二次函数解析式为，
二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，
当时，，
当时，，
，
当时，，
，
故A、B错误，不符合题意；
当时，，
由二次函数对称性可知，，
当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
【变式练1】（2024北京一模）下列关于二次函数y=(x−2)2−3的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线B．图象与x轴没有交点
C．当x0，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、∵ y=(x−2)2−3=x2−4x+1，
∴ Δ=(−4)2−4×1×1=12>0，
即图象与x轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，
∴当xx2>−2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=−2其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】根据对称轴公式x=−b2a=−4a2a=−2可判断①；当x=0时，y=3，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到x1+x22=−2，可以判断④．
∵抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a≠0，
∴x=−b2a=−4a2a=−2，
故①正确；
当x=0时，y=3，
∴点0,3在抛物线上，
故②正确；
当a>0时，y1>y2，
当a1，故②正确；
③由①可得，
∴，即，
当时，抛物线解析式为
设顶点纵坐标为
∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，
∴
∴
∴
∵，，对称轴为直线，
∴当时，取得最大值为，而，
∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确；
④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有，
又，
∴点离较远，
∴对称轴
解得：，故④正确．
故答案为：②③④．
4. （2024湖北省）抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．
【详解】根据题意画出函数的图像，如图所示：
∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，
∴，，
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
∵抛物线的顶点为，
∴，
观察四个选项，选项C符合题意，故选：C．
考点3. 二次函数与方程、不等式之间的关系
1. （2024福建省）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
【答案】（1） （2）
【解析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等.
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标．
【小问1详解】
解：将代入，
得，
解得，
所以，二次函数的表达式为．
【小问2详解】
设，因为点在第二象限，所以．
依题意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得（舍去），
所以点坐标为．
2. （2024湖北省）如图1，二次函数交轴于和，交轴于．
（1）求的值．
（2）为函数图象上一点，满足，求点的横坐标．
（3）如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为与轴交于点，记，记顶点横坐标为．
①求与的函数解析式．
②记与轴围成的图象为与重合部分（不计边界）记为，若随增加而增加，且内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）①；②的取值范围为或．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得，，作轴于点，设，分当点在轴上方和点在轴下方时，两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，列式求解即可；
（3）①利用平移的性质得图象的解析式为，得到图象与轴交于点的坐标，据此列式计算即可求解；
②先求得或，中含，，三个整数点（不含边界），再分三种情况讨论，分别列不等式组，求解即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数交轴于，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
令，则，
解得或，
令，则，
∴，，，
作轴于点，
设，
当点在轴上方时，如图，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去）；
当点在轴下方时，如图，
∵，
∴，
∴，即，
解得或（舍去）；
∴或；
【小问3详解】
解：①∵将二次函数沿水平方向平移，
∴纵坐标不变是4，
∴图象的解析式为，
∴，
∴，
由题意知：C、D不重合，则，
∴；
②由①得，
则函数图象如图，
∵随增加而增加，
∴或，中含，，三个整数点（不含边界），
当内恰有2个整数点，时，
当时，，当时，，
∴，
∴，或，
∴；
∵或，
∴；
当内恰有2个整数点，时，
当时，，当时，，
∴，
∴或，，
∴；
∵或，
∴；
当内恰有2个整数点，时，
此情况不存在，舍去，
综上，的取值范围为或．
【点睛】主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数图象的性质及数形结合法是解题的关键．
考点1. 二次函数的图象与性质
1.关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为0，−9
C．图象与x轴的交点坐标为−2,0和4,0
D．y的最小值为−9
【答案】D
【解析】把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
∵二次函数y=x2+2x−8=x+12−9=x+4x−2，
∴该函数的对称轴是直线x=−1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x=0时，y=−8，即该函数与y轴交于点0，−8，故选项B错误；
当y=0时，x=2或x=−4，即图象与x轴的交点坐标为2,0和−4,0，故选项C错误；
当x=−1时，该函数取得最小值y=−9，故选项D正确．故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键．
2. 已知抛物线y=mx2−4mx过点Ax1,y1,Bx2,y2,Cx1,y3，其中y2=−4m，以下结论正确的
是（ ）
A．若x1−x2≤x3−x2，则y2≥y3≥y1B．若x1−x2≥x3−x2，则y2≥y3≥y1
C．若y10时，抛物线开口向上，y2为函数最小值，
∴选项A，B错误．
若y1x2−x3
∴选项C错误，选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考察二次函数的图象与性质，开口向下时，图象上的点离顶点越远，即横坐标到对称轴的距离越大时，点的纵坐标就越小
3. 若点Pm,n在抛物线y=ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y=ax+12上的是（ ）
A．m,n+1B．m+1,nC．m,n−1D．m−1,n
【答案】D
【解析】观察抛物线y=ax2和抛物线y=ax+12可以发现，它们通过平移得到，故点Pm,n通过相同的平移落在抛物线y=ax+12上，从而得到结论．
∵抛物线y=ax+12是抛物线y=ax2（a≠0）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线y=ax2上点Pm,n向左平移1个单位长度后，会在抛物线y=ax+12上
∴点m−1,n在抛物线y=ax+12上
故选：D
【点睛】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】1，−3
【解析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
∵y=x2+2x−1=x+12−2，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为y=−x−12+2，
再向下平移5个单位，y=−x−12+2−5即y=−x−12−3．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
5. 点Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线y=ax2−2ax−3a≠0上，存在正数m，使得−2