2025年中考数学一轮复习学案：3.3 反比例函数（学生版+教师版）

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3.3 反比例函数
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础
考点1. 反比例函数的图象与性质
1. 反比例函数定义
一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴.y轴永不相交 ．
2. 反比例函数的图象及其性质
反比例函数y＝eq \f(k,x)(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
1. 求反比例函数的解析式方法
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；
（2）把反比例函数图像上已知一点的一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
（3）解这个方程求出待定系数k；
（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式即可．
2. 反比例函数的k的几何意义
由y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k| .
如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.
【易错点提示】已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.
考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题
1. 反比例函数与一次函数的综合问题基础分析
（1）涉及自变量取值范围型
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
（2）求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.
①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
2. 反比例函数与一次函数的综合问题命题思想分析
一次函数和反比例函数是全国各省市中考的热点内容，也是中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
（1）一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以对一次函数和反比例函数的图象和性质必须理解熟记.
（2）这个考点多数省市在解答大题里出现，难度属于中等偏上，分值8—10分左右。
（3）运用综合知识解题，所以希望毕业班学生结合下面常出现考题类型复习相关知识点，各个击破。
类型1.一次函数与反比例函数中由面积求点坐标
类型2.一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题
类型3.一次函数和反比例函数与不等式综合问题
类型4.一次函数和反比例函数中求三角形面积问题
类型5.一次函数和反比例函数中求证问题
类型6.一次函数和反比例函数中求线段长问题
类型7.利用反比例函数的图象和性质探究平移问题
考点4. 反比例函数与几何图形结合
解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值.
这类型的题目主要包括：
类型1. 反比例函数与三角形的综合问题
类型2.反比例函数与平行四边形的综合问题
类型3.反比例函数与矩形的综合问题
类型4.反比例函数与菱形的综合问题
类型5.反比例函数与正方形形的综合问题
类型6.反比例函数与圆的综合问题
考点5. 反比例函数的实际应用
反比例函数在工程问题、运动问题、化学等领域都有广泛应用。在物理学中也有重要应用。
解答反比例函数实际应用问题基本步骤：
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
【易错点提示】反比例函数的实际应用需要注意的地方
解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围。实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单位长度不一定相同。
考点1. 反比例函数的图象与性质
【例题1】（2024福建省）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出
，结合，则，即可作答．
【详解】如图：连接
∵反比例函数的图象与交于两点，且
∴
设，则
∵
∴
则
∵点在第一象限
∴
把代入得
∴
经检验：都是原方程的解
∵
∴
故答案为：
【变式练1】（2023阜新一模）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A．（4，2）B．（1，8）C．（﹣1，8）D．（﹣1，﹣8）
【答案】C
【解析】∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
A.∵4×2＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B.∵1×8＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C.﹣1×8＝﹣8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D.（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选：C．
【变式练2】（2024陕西一模）已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣3，2）
B．图象分别位于第二、四象限内
C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大
D．x≥﹣1时，y≥6
【答案】D
【解析】因为（﹣3）×2＝﹣6，
所以A正确，不符合题意；
因为反比例函数，
所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大；
所以B、C正确，不符合题意；
当x≥﹣1时，y≥6或y＜0，
所以D错误，符合题意，故选：D．
【变式练3】（2024内蒙古呼和浩特一模）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围．
∵在反比例函数y=中，k＞0，
∴在同一象限内y随x增大而减小，
∵，
∴这两个点在同一象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大．
【变式练4】（2024西藏一模）反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A．B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．
将点（2,1）代入中，解得：k=2，
A．k=2，此说法正确，不符合题意；
B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此说法正确，不符合题意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．
考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
【例题2】（2024深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________．

【答案】8
【解析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可．
【详解】过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，

∵，
∴，
∴设，则，
∴点，
∵点A在反比例函数上，
∴，
∴（负值已舍），则点，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴点，
∵点B落在反比例函数上，
∴，
故答案为：8．
【变式练1】（2024福建一模）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y=B．y=﹣C．y=D．y=﹣
【答案】D
【解析】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
设反比例函数解析式为y=，将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，所以这个反比例函数解析式为y=-．故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
【变式练2】（2024青岛一模）反比例函数y＝的图象经过点A（m，），则反比例函数的表达
式为 ．
【答案】y＝．
【解析】∵反比例函数y＝的图象经过点A（m，），
∴＝m．
∴m＝8，
∴反比例函数解析式为：y＝．
【变式练3】（2024深圳一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】首先设A（a，0），表示出D（a，），再根据D，E，F都在双曲线上，依次表示出坐标，再由S△AEF＝1，转化为S△ACF＝2，列出等式即可求得．
解：设A（a，0），
∵矩形ABCD，
∴D（a，），
∵矩形ABCD，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴E的纵坐标为，
∴，
∵E为AC的中点，
∴点C（3a，），
∴点F（3a，），
∵△AEF的面积为1，AE＝EC，
∴S△ACF＝2，
∴，
解得：k＝3．
【变式练4】（2024大连一模）如图，直线AB与反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且AB＝BC，连接OA．已知△OAC的面积为12，则k的值为 ．
【答案】8．
【解析】根据题意设B（，a），A（，2a），利用待定系数法表示出直线AB的解析式为y＝﹣x+3a，则C（，0），根据三角形面积公式得到××2a＝12，从而得到k的值．
解：设AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∵AM∥BN，
∴＝，
∵AB＝BC，
∴＝，
设B（，a），A（，2a），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3a，
当y＝0时，﹣x+3a＝0，解得x＝，
∴C（，0），
∵△OAC的面积为12，
∴××2a＝12，
∴k＝8．
考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题
【例题3】（2024山东威海）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______．
【答案】或
【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
由图象可得，当或时，，
∴满足的的取值范围为或．
【变式练1】（2024山东滨州一模）在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的．
根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项，
当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确，故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式练2】（2024湖南益阳一模）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．
【答案】（1）（2，0）；（2）y＝．
【解析】（1）把y＝0代入一次函数y＝2x﹣4，求出x，即可得到点A的坐标；
（2）根据平移的性质求出点B的坐标，设所求反比例函数解析式为y＝，将B点坐标代入，即可求出该反比例函数的表达式．
解：（1）∵点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，
∴当y＝0时，2x﹣4＝0，解得x＝2，
∴点A的坐标为（2，0）；
（2）将点A（2，0）向上平移2个单位后得点B（2，2）．
设过点B的反比例函数解析式为y＝，
则2＝，解得k＝4，
∴该反比例函数的表达式为y＝．
考点4. 反比例函数与几何图形结合
【例题4】（2024江苏苏州）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴（负值舍去），故选：A．
【变式练1】（2024黑龙江齐齐哈尔一模）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=_______．
【答案】
【解析】设点，利用即可求出k的值．
设点，
∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查利用面积求反比例函数的k的值，解题的关键是找出．
【变式练2】（2024山西一模）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H
∵四边形是平行四边形∴易得CH=AF
∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点
∴ 即反比例函数解析式为∴设点C坐标为
∵ ∴ ∴ ∴∴
∴，点B坐标为
∵平行四边形的面积是∴解得（舍去）
∴点B坐标为故应选：B
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解．
考点5. 反比例函数的实际应用
【例题5】（2024河北省）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若x减小，则y也减小D. 若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【解析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．
∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．
∴，
∴，
当时，，故A不符合题意；
当时，，故B不符合题意；
∵，，
∴当x减小，则y增大，故C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；故选：C．
【变式练1】（2024湖北宜昌一模）已知经过闭合电路的电流（单位：）与电路的电阻（单位：）是反比例函数关系．根据下表判断和的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据电流与电路的电阻是反比例函数关系，由反比例函数图像是双曲线，在同一象限内x和y的变化规律是单调的，即可判断
∵电流与电路的电阻是反比例函数关系
由表格：；
∴在第一象限内，I随R的增大而减小
∵
∴
【点睛】本题考查双曲线图像的性质；解题关键是根据表格判断出双曲线在第一象限，单调递减.
【变式练2】 （2024山西一模）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．
【答案】400
【解析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解．
设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当S=0.25时，．
【点睛】考查反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键．
考点1. 反比例函数的图象与性质
1. （2024广西）已知点，在反比例函数的图象上，若，则
有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点，在反比例函数图象上，则满足关系式，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案．
【详解】 点，在反比例函数的图象上，
，，
，
，，
．故选：A．
2.（2024广州） 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论：
①；
②的面积等于四边形的面积；
③的最小值是；
④．
其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案．
【详解】∵，，四边形是矩形；
∴，
∴，故①符合题意；
如图，连接，，，与的交点为，
∵，
∴，
∴，
∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意；
如图，连接，
∵轴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴当最小，则最小，
设，
∴，
∴，
∴的最小值为，故③不符合题意；
如图，设平移距离为，
∴，
∵反比例函数为，四边形为矩形，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④符合题意；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
3. （2024贵州省）已知点在反比例函数的图象上．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点，，都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
【解析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
（1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式；
（2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小．
【小问1详解】
解：把代入，得，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：∵，
∴函数图象位于第一、三象限，
∵点，，都在反比例函数的图象上，，
∴，
∴．
考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
1. （2024湖南省）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数．），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________．
【答案】180
【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把，代入求解即可．
【详解】把，代入，得，
解得，
故答案为：180．
2. （2024江苏连云港）杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为__________．
【答案】
【解析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键．
由题意可得，，
∴，即，
故答案为：．
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______．
【答案】
【解析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可．
【详解】是平行四边形
纵坐标相同
的纵坐标是
在反比例函数图象上
将代入函数中，得到
的纵坐标为
即：
解得：
4. （2024江苏扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在反比例函数的图像上，轴于点C，，将沿翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为_____．
【答案】
【解析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键．
如图，过点作轴于点．根据，，设，则，由对称可知，，即可得，，解得，根据点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解；
【详解】解：如图，过点作轴于点．
∵点A的坐标为，
∴，
∵，轴，
设，则，
由对称可知，，
∴，
∴，，
∴，
∵点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，
∴，
解得：，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴
5. （2024黑龙江绥化）如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则______．
【答案】
【解析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，根据平行四边形的性质得出，证明得出，，进而可得，即可求解．
【详解】如图所示，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，
∵四边形是平行四边形，点，，，
∴，
∴，即，则，
∵轴，轴，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴
故答案为：．
考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题
1. （2024黑龙江大庆）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解．
∵
当时，一次函数经过第一、二、三象限，
当时，一次函数经过第一、三、四象限
A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意，
B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意，
一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误，故选：C．
2. （2024山东枣庄）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系：
（1）求、的值，并补全表格；
（2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围．
【答案】（1），补全表格见解析
（2）的取值范围为或；
【解析】
【小问1详解】
解：当时，，即，
当时，，即，
∴，
解得：，
∴一次函数为，
当时，，
∵当时，，即，
∴反比例函数为：，
当时，，
当时，，
当时，，
补全表格如下：
【小问2详解】
由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，，
∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或；
3. （2024湖北省）一次函数经过点，交反比例函数于点．
（1）求；
（2）点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围．
【答案】（1），，； （2）．
【解析】
小问1详解】
解：∵一次函数经过点，点，
∴，
解得，
∴点，
∵反比例函数经过点，
∴；
【小问2详解】
解：∵点，点，
∴，
∴，，
由题意得，
∴，
∴，
∴的横坐标的取值范围为．
4. （2024四川巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．
（1）求的值及点的坐标．
（2）点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值．
【答案】（1）， （2）
【解析】【分析】（1）先求解A的坐标，再求解反比例函数解析式，再联立两个解析式可得B的坐标；
（2）由，证明，可得，求解,证明，如图，当时，最短；再进一步利用勾股定理与等面积法求解即可；
【小问1详解】
解：∵直线与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为1．
∴，
∴,
∴，
∴反比例函数为：；
∴，
解得：，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，,
∴，
∴，，
如图，当时，最短；
∴；
【点睛】本题考查是一次函数与反比例函数的综合，求解函数解析式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，理解题意是解本题的关键.
5.（2024甘肃威武） 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）
【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数的解析式为；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：∵轴，，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在中，当时，，即；
在中，当时，，即；
∴，
∵，
∴．
6. （2024江苏连云港）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求的值；
（2）利用图像直接写出时的取值范围；
（3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1） （2）或 （3）8
【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可；
（2）图像法求不等式的解集即可；
（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可．
【小问1详解】
点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
【小问2详解】
由（1）知：，
联立，解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
【小问3详解】
∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移4个单位，
∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点作，垂足为，
∴．
又，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
7.（2024甘肃临夏）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为．
（1）求，的值；
（2）将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】
【小问1详解】
解：∵点A在反比例函数图象上，
∴，解得，
将代入，
；
【小问2详解】
解：如图，过点C作轴于点F，
，
，，
，
，
，，
∵直线向上平移m个单位长度得到，
令，得，令，得，
，，
，，
，
双曲线过点C，
，
解得或（舍去），
．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关键．
考点4. 反比例函数与几何图形结合
1. （2024四川宜宾）如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，
在等腰三角形ABC中，，是中点，
设，，
由中点为，，故等腰三角形中，
∴，
∴，
∵AC的中点为M，
∴，即，
由在反比例函数上得，
∴，
解得：，
由题可知，，
∴．
故选：B．
2. （2024江西省）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
（1）点B的坐标为______；
（2）求所在直线的解析式．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的相应性质是解题关键．
（1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，即可确定点B的坐标；
（2）根据点确定反比例函数解析式，然后即可得出，再由待定系数法确定一次函数解析式即可．
【小问1详解】
解：过点B作轴于D，如图所示：
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）得，代入，
得，
∴，
∵过点作x轴的垂线交双曲线于点C，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，解得，
∴直线的解析式为．
3. （2024江苏苏州） 如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．

（1）求m，k的值；
（2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【答案】（1），
（2）最大值是，此时
【解析】【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；
（2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解： ，，
．
又，
．
，
点．
设直线的函数表达式为，
将，代入，得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将点代入，得．
．
将代入，得．
【小问2详解】
解：延长交y轴于点Q，交于点L．

，，
．
轴，
，．
，
，
，
．
设点P的坐标为，，则，．
．
．
当时，有最大值，此时．
4. （2024山东烟台）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求n的值及的面积．
【答案】（1） （2），
【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可；
（2）根据平移规则，得到平移后的解析式，联立两个解析式，表示出的坐标，过点，作轴的平行线交轴于点,根据，进而求出的值，进而根据对称性得出，勾股定理求得，进而求得的长，即可求解．
【小问1详解】
解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴；
∴；
【小问2详解】
∵
∴
∴
∴
∵将正比例函数图象向下平移个单位，
∴平移后的解析式为：，
如图所示，过点，作轴的平行线交轴于点，则，是等腰直角三角形，
∴
∴
∴
设，则
∴，
∴，
∵，，在上
∴
解得：（负值舍去）
∴，
∴的解析式为，
当时，，则，
∴，，则
∵直线与关于直线成轴对称，轴，
∴，和是等腰直角三角形，
∴
∴，
∵和是等腰直角三角形，
∴
∴
5. （2024江苏盐城）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图．
请根据图中信息，求：
（1）反比例函数表达式；
（2）点C坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数：
（1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可；
（2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可．
小问1详解】
解：由图可知点A的坐标为，
设反比例函数表达式为，
将代入，得：，解得，
因此反比例函数表达式为；
【小问2详解】
解：如图，作轴于点E，轴于点D，
由图可得，，
设点C的坐标为，则，，
，
矩形直尺对边平行，
，
，
，即，
解得或，
点C在第二象限，
，，
点C坐标为．
考点5. 反比例函数的实际应用
1. （2024吉林省）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
（2）当电阻R为时，求此时的电流I．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设这个反比例函数的解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴这个反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，，
∴此时的电流I为．
考点1. 反比例函数的图象与性质
1．已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1
【答案】C
【解析】∵，k＜0，
∴函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），
∴点A，B在第二象限内，点C在第四象限内，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
又∵﹣4＜﹣2，
∴y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．故选：C．
2.若点A（1，1）、B（2，2）是双曲线上的点，则1 2（填“＞”，“＜”或“=”）．
【答案】＞
【解析】∵比例函数中=3＞0，∴此函数图象在一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，∵点A（1，1）、B（2，2）是此双曲线上的点，2＞1＞0，∴A、B两点在第一象限，由2＞1，得1＞。
3.若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】∵反比例函数，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
①若点A、点B同在第二或第四象限，∵，∴a-1＞a+1，此不等式无解；
②若点A在第二象限且点B在第四象限，∵，∴，解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限且点B在第二象限这种情况不可能．
综上，的取值范围是．故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
考点2. 反比例函数解析式的确定（含k的几何意义）
1．如图，矩形OABC的面积是4，点B在反比例函数的图象上．则此反比例函数的解析式为 ．
【答案】y＝．
【解析】设BC＝a，AB＝b，则B点坐标为（﹣a，﹣b），AB•BC＝ab＝4，
将点B（﹣a，﹣b）代入y＝中，得k＝xy＝（﹣a）×（﹣b）＝ab＝4，
∴y＝．
2. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝_______．
【答案】6
【解析】设点的坐标为，则，先利用三角形的面积公式可得，再将点代入反比例函数的解析式即可得．
由题意，设点的坐标为，
轴于点，
，
的面积为3，
，
解得，
将点代入得：
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数与几何面积，熟练掌握反比例函数的几何应用是解题关键．
3. 如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】【分析】设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得．
【详解】设，则，，
∵点A在的图象上
则，
同理∵B，D两点在的图象上，
则
故，
又∵，
即，
故，∴，故选：C．
【点睛】考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4. 如图，正方形的顶点A，B在y轴上，反比例函数的图象经过点C和的中点E，若，则k的值是（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】由正方形的性质得，可设，，根据可求出的值．
【详解】∵四边形是正方形，
∵
∵点为的中点，
∴
设点C的坐标为，则,
∴，
∵点C，E在反比例函数的图象上，
∴，
解得，，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．
5．已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y=B．y=﹣C．y=D．y=﹣
【答案】D
【解析】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
设反比例函数解析式为y=，将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，所以这个反比例函数解析式为y=-．故选：D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐标即可．
考点3. 一次函数与反比例函数的综合问题
1. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a0，即a0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a