2024年山东省泰安市多校联考中考数学一模试卷（3月份）（含答案）（含解析）

这是一份2024年山东省泰安市多校联考中考数学一模试卷（3月份）（含答案）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在3，0，﹣2，﹣四个数中（ ）
A．3B．0C．﹣2D．﹣
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2+4a2＝7a4
B．3a2﹣4a2＝﹣a2
C．3a•4a2＝12a2
D．
3．（4分）下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
4．（4分）不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
5．（4分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
6．（4分）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
若成绩的平均数为23，中位数是a，众数是b（ ）
A．﹣5B．﹣2.5C．2.5D．5
7．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为（ ）
A．m≥﹣1B．m＜0C．﹣1≤m＜0D．﹣1＜m＜0
9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接AC、BC．若∠BAC＝2∠BCO，AC＝3（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示2+bx+1.37＝0的根是（ ）
A．0或4B．或4﹣C．1或5D．无实根
二、填空题：本题共5小题，满分20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11．（4分）试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁 ．
12．（4分）观察如图所示的频数分布直方图，其中组界为99.5～124.5这一组的频数为 ．
13．（4分）如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数的图象交于A（1，m），B两点，当时 ．
14．（4分）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD、四边形EFGD和四边形EAIH都是正方形．如果图中△EMH与△DMI的面积比为 ．
15．（4分）如图，O为坐标原点，点A1，A2，A3，…，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在函数位于第一象限的图象上，若△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△AnAn+1Bn+1都是等边三角形，则线段OA100的长是 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（﹣1）2020+（π+1）0﹣4cs30°+．
17．如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处
18．为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的m＝ ，n＝ ．
（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛
19．如图，分别位于反比例函数y＝，y＝，与原点O在同一直线上，且＝．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC
20．某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，乙种书柜2个，共需要资金1380元，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少
21．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC＝3，CD＝3，求弦AD的长．
22．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，求出点P的坐标；若不存在
23．（1）如图1，在正方形ABCD中．E，F，G分别是BC，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
（2）如图2，点P是线段AB上的动点，分别以AP，连接DE分别交线段BC，PC于点M
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，求的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）
1．（4分）在3，0，﹣2，﹣四个数中（ ）
A．3B．0C．﹣2D．﹣
【解答】解：∵﹣2＜﹣＜5＜3，
∴四个数中，最小的数是﹣2，
故选：C．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2+4a2＝7a4
B．3a2﹣4a2＝﹣a2
C．3a•4a2＝12a2
D．
【解答】解：A、3a2+3a2＝7a7，故本选项错误；
B、3a2﹣7a2＝﹣a2，故本选项正确；
C、6a•4a2＝12a2，故本选项错误；
D、（3a2）6÷4a2＝a2，故本选项错误．
故选：B．
3．（4分）下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【解答】解：①图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
②图形既是中心对称图形，又是轴对称图形；
③图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形；
④图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
故选：C．
4．（4分）不考虑颜色，对如图的对称性表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
【解答】解：如图所示：是中心对称图形．
故选：B．
5．（4分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．30°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ADC＝30°，
又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，
∴∠2＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
6．（4分）下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
若成绩的平均数为23，中位数是a，众数是b（ ）
A．﹣5B．﹣2.5C．2.5D．5
【解答】解：∵平均数为23，
∴＝23，
∴25x+20y＝155，
即：5x+3y＝31，
∵x+y＝7，
∴x＝3，y＝6，
∴中位数a＝22.5，b＝20，
∴a﹣b＝2.5，
故选：C．
7．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可得，
a＞3，b＜0，
∴一次函数y＝ax的图象经过第一、三象限、三、四象限，
故选：A．
8．（4分）关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为（ ）
A．m≥﹣1B．m＜0C．﹣1≤m＜0D．﹣1＜m＜0
【解答】解：
在中，
解不等式①可得x＞m，
解不等式②可得x≤6，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为m＜x≤3，
∵该不等式组恰好有四个整数解，
∴整数解为0，6，2，3，
∴﹣3≤m＜0，
故选：C．
9．（4分）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接AC、BC．若∠BAC＝2∠BCO，AC＝3（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∴∠AOC＝∠B+∠BCO，
∴∠AOC＝2∠BCO，
而∠BAC＝2∠BCO，
∴∠BAC＝∠AOC，
∴CA＝CO，
而OA＝OC，
∴OA＝OC＝AC＝3，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵tan∠AOB＝，
∴PA＝3tan60°＝3．
故选：A．
10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示2+bx+1.37＝0的根是（ ）
A．0或4B．或4﹣C．1或5D．无实根
【解答】解：将（0，0.37）代入y＝ax7+bx+c得c＝0.37，
∵抛物线经过（0，5.37），0.37），
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
ax5+bx+1.37＝0可整理为ax6+bx+c＝﹣1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣6的一个交点坐标为（ ，﹣1），
由抛物线的对称性可得：抛物线与直线y＝﹣3的另一交点坐标为（4﹣，﹣6），
∴ax2+bx+1.37＝7的根是x1＝或x4＝4﹣．
故选：B．
二、填空题：本题共5小题，满分20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．
11．（4分）试卷上一个正确的式子（+）÷★＝，被小颖同学不小心滴上墨汁 ． ．
【解答】解：∵（+）÷★＝，
∴被墨汁遮住部分的代数式是：
（+）÷，
＝•
＝•
＝．
故答案为：．
12．（4分）观察如图所示的频数分布直方图，其中组界为99.5～124.5这一组的频数为 8 ．
【解答】解：由直方图可得，
组界为99.5～124.5这一组的频数是20﹣6﹣5﹣4＝5，
故答案为：8．
13．（4分）如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数的图象交于A（1，m），B两点，当时 ﹣1≤x＜0或x≥1 ．
【解答】解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数的图象交于A（2，B两点，
∴B（﹣1，﹣m），
由图象可知，当时，x的取值范围是﹣1≤x＜0或x≥3，
故答案为：﹣1≤x＜0或x≥5．
14．（4分）魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD、四边形EFGD和四边形EAIH都是正方形．如果图中△EMH与△DMI的面积比为 ．
【解答】解：∵EAIH都是正方形，
∴∠EHM＝90°＝∠MID，
∵∠EMH＝∠IMD，
∴△EMH∽△DMI，
∴＝（）2，
∵△EMH与△DMI的面积比为，
∴＝，
设EH＝4t＝AE＝AI，则DI＝7t，
∴AD＝AI+DI＝7t，
在Rt△AED中，
tan∠EDA＝＝＝，
由“青朱出入图”可知：∠GDC＝90°﹣∠ADG＝∠EDA，
∴tan∠GDC＝tan∠EDA＝．
故答案为：．
15．（4分）如图，O为坐标原点，点A1，A2，A3，…，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在函数位于第一象限的图象上，若△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…，△AnAn+1Bn+1都是等边三角形，则线段OA100的长是 10100 ．
【解答】解：如图，分别过点B1，B2，B3作y轴得垂线，
垂足为分别为A、B、C，
设A1 A0＝a，A6 A2＝b，A2 A4＝c，
则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c，
在等边三角形A1 A0B5中，B1（a，a），
代入y＝x2中，得a＝×a8，
解得a＝2，
∴OA1＝7＝2×1，
在等边三角形A5 A2B2中，B3（b，6+，
代入y＝x2中，得7+×b2，
解得b＝4，
∴OA5＝2+4＝5＝2×1+4），
在等边三角形A3 A2B8中，B2（c，6+，
代入y＝x5中，得6+×c2，
解得c＝8，
∴OA3＝6+4＝12＝2×（1+5+3），
…
依此类推由此可得OA100＝2×（4+2+3+…+100）＝10100．
故答案为：10100．
三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（﹣1）2020+（π+1）0﹣4cs30°+．
【解答】解：原式＝1+1﹣6×+2
＝1+1﹣7+3
＝3﹣2．
17．如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处
【解答】证明：由折叠可知：∠CBD＝∠EBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴EB＝ED．
18．为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，如图所示，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 200 名学生，两幅统计图中的m＝ 84 ，n＝ 15 ．
（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？
（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛
【解答】解：（1）68÷34%＝200，
所以本次调查共抽取了200名学生，
m＝200×42%＝84，
n%＝×100%＝15%；
（2）3600×34%＝1224，
所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，
所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率＝＝．
19．如图，分别位于反比例函数y＝，y＝，与原点O在同一直线上，且＝．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC
【解答】解：（1）作AE、BF分别垂直于x轴、F．
∵△AOE∽△BOF，又＝，
∴＝＝＝．
由点A在函数y＝的图象上，
设A的坐标是（m，），
∴＝＝，＝＝，
∴OF＝8m，BF＝，）．
又点B在y＝的图象上，
∴＝，
解得k＝9，
则反比例函数y＝的表达式是y＝；
（2）由（1）可知，A（m，），），
又已知过A作x轴的平行线交y＝的图象于点C．
∴C的纵坐标是，
把y＝代入y＝，
∴C的坐标是（9m，），
∴AC＝3m﹣m＝8m．
∴S△ABC＝×8m×．
20．某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，乙种书柜2个，共需要资金1380元，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少
【解答】解：（1）设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，
由题意得：，
解得：，
答：甲种书柜单价180元，乙种书柜单价240元；
（2）设购买甲种书柜m个．则购买乙种书柜（24﹣m）个，
由题意得：24﹣m≥m，
解得：m≤12，
w＝180m+240（24﹣m）＝﹣60m+5760，
∵﹣60＜0，w随m ，
∵2≤m≤12，
∴当m＝12时，w取最小值，wmin＝﹣60×12+5760＝5040（元），
答：购买甲书柜12个，乙书柜12个时．最少资金5040元．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC＝3，CD＝3，求弦AD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴∠1＝∠3，
∵OA＝OD，
∴∠5＝∠2，
∴∠3＝∠5，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连接BD．
∵∠CDO＝∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠CDB＝∠1，∵∠C＝∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴＝＝，
∴CD6＝CB•CA，
∴（3）3＝3CA，
∴CA＝6，
∴AB＝CA﹣BC＝3，＝＝，设BD＝K，
在Rt△ADB中，2k2+2k2＝9，
∴k＝，
∴AD＝．
22．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，求出点P的坐标；若不存在
【解答】方法一：
解：（1）把点A（1，0）和B（82+bx+2得，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝，
∵四边形OECF是平行四边形，
∴点C的横坐标是×2＝5，
∵点C在抛物线上，
∴y＝×57﹣×6+2＝2，
∴点C的坐标为（8，2）；
（3）设OC与EF的交点为D，
∵点C的坐标为（5，8），
∴点D的坐标为（，8），
①点O是直角顶点时，易得△OED∽△PEO，
∴＝，
即＝，
解得PE＝，
所以，点P的坐标为（，﹣）；
②点C是直角顶点时，同理求出PF＝，
所以，PE＝，
所以，点P的坐标为（，）；
③点P是直角顶点时，由勾股定理得＝，
∵PD是OC边上的中线，
∴PD＝OC＝，
若点P在OC上方，则PE＝PD+DE＝，
此时，点P的坐标为（，），
若点P在OC的下方，则PE＝PD﹣DE＝，
此时，点P的坐标为（，），
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，﹣，）或（，，），使△OCP是直角三角形．
方法二：
（1）略．
（2）∵FC∥x轴，∴当FC＝OE时．
设C（t，），
∴F（，+2），
∴t﹣＝，
∴t＝5，C（5．
（3）∵点P在抛物线的对称轴上，设P（，O（0，C（6，
∵△OCP是直角三角形，∴OC⊥OP，OP⊥PC，
①OC⊥OP，∴KOC×KOP＝﹣1，∴，
∴t＝﹣，∴P（，﹣），
②OC⊥PC，∴KOC×KPC＝﹣8，∴＝﹣5，
∴t＝，P（，），
③OP⊥PC，∴KOP×KPC＝﹣1，∴，
∴3t2﹣8t﹣25＝6，∴t＝或，
点P的坐标为（，）或（，），
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（，﹣，）或（，，），使△OCP是直角三角形．
23．（1）如图1，在正方形ABCD中．E，F，G分别是BC，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
（2）如图2，点P是线段AB上的动点，分别以AP，连接DE分别交线段BC，PC于点M
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，求的值．
【解答】证明：（1）平移线段FG至BH交AE于点K，如图1所示：
由平移的性质得：FG∥BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB＝BC，
∴四边形BFGH是平行四边形，
∴BH＝FG，
∵FG⊥AE，
∴BH⊥AE，
∴∠BKE＝90°，
∴∠KBE+∠BEK＝90°，
∵∠BEK+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBH，
在△ABE和△CBH中，
，
∴△ABE≌△CBH（ASA），
∴AE＝BH，
∴AE＝FG；
（2）①平移线段BC至DG处，连接GE
则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，
∴DC＝GB，
∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，
∴DC＝AD＝AP，BP＝BE
∴DC＝AD＝AP＝GB，
∴AG＝BP＝BE，
在△AGD和△BEG中，
，
∴△AGD≌△BEG（SAS），
∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，
∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠EGD＝90°，
∴∠GDE＝∠GED＝45°，
∴∠DMC＝∠GDE＝45°；
②如图3所示：
∵AC为正方形ADCP的对角线，
∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，
∴AC＝AD，
∵∠HCM＝∠BCA，
∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，
∴△ADH∽△ACB，
∴．
成绩（分）
30
25
20
15
人数（人）
2
x
y
1
x
…
0
4
…
y
…
0.37
﹣1
0.37
…
成绩（分）
30
25
20
15
人数（人）
2
x
y
1
x
…
0
4
…
y
…
0.37
﹣1
0.37
…