2022年高三数学圆的6个考点的典型例题专项训练

这是一份2022年高三数学圆的6个考点的典型例题专项训练，共2页。
考点一 研究直线与圆的位置关系
例1 已知直线Ｌ过点（－2，０），当直线Ｌ与圆x2＋y2＝2x有两个不同交点时，求斜率k的取值范围。
法一：设直线L的方程为：y＝k（x＋2），与圆的方程联立，代入圆的方程令△>0可得：。
法二：设直线L的方程为：y＝k（x＋2），利用圆心到直线的距离dO－L∈[0，R]可解得：。

考点二 研究圆的切线
例2 直线y＝x＋b与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围。
分析：作出图形后进行观察，以找到解决问题的思路。
解：曲线即x2＋y2＝1（x≥0），当直线y＝x＋b
与之相切时，满足：
由观察图形可知：
当或时，它们有且仅有一个公共点。

例3 过点P（1，2）作圆x2＋y2＝5的切线L，求切线L的方程。
解：因P点在圆上，故可求切线L的方程为x＋2y＝5。
说明：过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点P（x0，y0）的切线方程为：
如果是过圆外一点作圆的切线，其切线方程的求解应利用△＝0或利用圆心到直线的距离等于半径进行。

考点三 求圆的切线长
例4 过点P（2，3）作圆x2＋y2＝5的切线L，切点为M，求切线段LM的长。
分析：数形结合，构造三角形求LM，如图。
解：
说明：自圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点P（x0，y0）向圆所引切线段的长为：

考点四 研究两圆的位置关系
例5 求过两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＝0的交点且与直线相切的圆的方程。
解：设所求圆的方程为x2＋y2－1＋λ（x2＋y2－4x）＝0，整理后得：
因为该圆与直线相切，故圆心到直线的距离等于半径，即：
代入即可得所求圆的方程为：3x2＋3y2＋32x－11＝0.
说明：利用过两圆交点的圆系方程求解比较简洁。过两定圆交点的圆系方程为：，λ、μ不同时为0，两边同除以λ（或μ），则该方程只有一个待求参数。

考点五 研究两相交圆的公共弦所在直线方程
例6 求两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＝0的交点弦所在的直线方程。
解：联立两圆方程，消去平方项得4x－1＝0即为交点弦所在的直线方程。
说明：相交两圆的公共弦或相外切两圆的内公切线或相内切两圆的公切线所在的直线方程的求解均可采用“交轨法”，将两圆方程的平方项消去，所得的二元一次方程即为所求的直线方程。

考点六 与圆有关的其它问题
例7 求圆x2＋y2－4x＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程。
解：圆x2＋y2－4x＝0的圆心为P（2，0），半径为2；P关于直线x－y＝1对称的点Q的坐标可求得为（1，1），故所求对称圆的方程为：
（x－1）2＋（y－1）2＝4
说明：关于直线对称的两圆半径是相同的，其圆心关于该直线对称，故只需求出圆心的对称点即可。

例8 已知点P的坐标满足x2＋y2－4x＝0，M（8，6），求PM的中点Q所在的曲线方程。
解：设点Q（x，y），P（x0，y0），则由Q是PM的中点知：x0＝2x－8，y0＝2y－6。
又P在x2＋y2－4x＝0上，故有（2x－8）2＋（2y－6）2－4（2x－8）＝0，整理即得Q点所在曲线方程为：x2＋y2－10x－6y＋33＝0。