这是一份2023高考数学复习专项训练《圆的标准方程》
2023高考数学复习专项训练《圆的标准方程》一 、单选题（本大题共13小题，共65分）1.（5分）已知全体实数集R，集合A={x|-1
b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是( )A. b2a0)，n=log12x(x>18)，则m，n之间的大小关系是( )A. m>n B. m0则1a+3b的最小值为______．17.（5分）数列12,34,58,716,932，…的一个通项公式是 ______ ．18.（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是______．三 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,-π2<ϕ<π2)一个周期的图象如图所示， (1)求函数f(x)的周期T及最大值、最小值； (2)求函数f(x)的表达式、单调递增区间． 20.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1， PC=23，PD=CD=2． (1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明：平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．21.（12分）已知函数f(x)=ex-ax-a，g(x)=13x3-2x2+3x+163． (1)讨论f(x)零点的个数； (2)若∀x1∈[-1,2]，∃x2∈[-1,2]，使得f(x1)⩾g(x2)，求a的取值范围．22.（12分）已知圆C的方程为：x2+y2=4 (1)求过点P(2,1)且与圆C相切的直线l的方程； (2)直线l过点D(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|=23，求直线l的方程； (3)圆C上有一动点M(x0,y0)，ON→=(0,y0)，若向量OQ→=OM→+ON→，求动点Q的轨迹方程．23.（12分）已知函数f(x)=2x-12|x|． (1)设集合A={ x|f(x)⩽154}，B={ x|x2-6x+p<0}，若A∩B≠∅，求实数p的取值范围； (2)若2tf(2t)+mf(t)⩾0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围． 答案和解析1.【答案】null;【解析】解：A={x|-1b>0，且ab=1， ∴可取a=2，b=12． 则a+1b=4，b2a=18，log2(a+b)=log252∈(1,2)， ∴b2ab>0，且ab=1，可取a=2，b=12.代入计算即可得出大小关系． 该题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5.【答案】C;【解析】 此题主要考查数列的简单表示方法，涉及归纳推理的应用，关键是分析数列变化的规律． 根据题意，分析数列前4项的规律，可得an=2n2n+1，将n=10代入计算可得答案． 解：根据题意，23,45,67,89,⋯中，a1=2×12×1+1=23，a2=2×22×2+1=45， a3=2×32×3+1=67，a4=2×42×4+1=89，……； 分析可得：an=2n2n+1， 则a10=2×102×10+1=2021； 故选C. 6.【答案】C;【解析】解：因为a9a8<-1，所以a9a8+1<0，即a9+a8a8<0， 又Sn有最小值，所以a8<0，a8+a9>0， 所以S15=15(a1+a15)2=15a8<0，S16=16(a1+a16)2=8(a8+a9)>0， 因此，使Sn<0成立的n的最大值为15. 故选：C. 将a9a8<-1移项整理可得a9+a8a8<0，再结合Sn有最小值，推出a8<0，a8+a9>0，然后根据等差数列前n项和公式与等差中项的性质，即可得解． 此题主要考查等差数列前n项和公式，等差中项公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 7.【答案】C;【解析】解：∵非零向量a→=(x,2x)，b→=(x,6)，且a→与b→共线， ∴x≠0，且xx=2x6，∴x=3， 故选：C. 由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得x的值． 此题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题． 8.【答案】B;【解析】解：由框图知，其算法是输出出即是奇函数存在零点的函数， A中的函数f(x)=|x|x不能输出，因为此函数没有零点； B中的函数f(x)=≶(x2+1-x)可以输出，验证f(-x)=≶((-x)2+1+x)=-f(x)发现，函数是奇函数且当x=0时函数值为0，故B正确； C中的函数不能输出，因为不存在零点； D中的函数不能输出，因为它是偶函数，不是奇函数． 故选：B． 本题的框图是一个选择结构，其算法是找出即是奇函数存在零点的函数，由此规则对四个选项进行比对，即可得出正确选项． 该题考查选择结构，解答本题的关键是根据框图得出函数所满足的性质，然后比对四个选项中的函数，对四个函数的性质比较了解也是判断出正确答案的关键． 9.【答案】C;【解析】解：7π6×180°π=210°. 故选：C. 直接由关系式π=180°进行角度与弧度的互化， 此题主要考查了角度与弧度的互化，属于基础题． 10.【答案】A;【解析】解：由题意，可知 m=a+1a+1⩾2a.1a+1=3， 当且仅当a=1a，即a=1时，等号成立； 又x>18，根据对数函数性质，可得 n=log12xn，即m>n． 故选：A． 本题运用均值不等式和对数函数的性质分别得到m、n的取值范围，即可判断m，n之间的大小关系． 这道题主要考查函数的值域，考查了均值不等式和对数函数的性质的应用．本题属基础题． 11.【答案】C;【解析】解：a=1log2π+1log3π+1log4π+1log5π=logπ2+logπ3+logπ4+logπ5=logπ120， ∵π4=97.41，π5=306.02． ∴y=|x-a|，x∈N，当y取最小值时的x的值为4． 故选：C． a=1log2π+1log3π+1log4π+1log5π，利用对数运算性质可得a=logπ120，根据π4=97.41，π5=306.02.即可得出结论． 此题主要考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12.【答案】B;【解析】解：由题意f(x)是偶函数， 而x⩾0时，f(x)=ex+x2-2，f(x)在[0,+∞)递增， 故f(x)在(-∞,0)递减， 故x1+x2=0， 故选：B． 根据函数的奇偶性判断答案即可． 该题考查了函数的零点问题，考查函数的奇偶性，是一道基础题． 13.【答案】B;【解析】解：答案A：tan4π7=tan(π-3π7)=tan(-3π7)=-tan3π70， 可得b-1=-a， 即为a+b=1． 则1a+3b=(a+b)(1a+3b)=4+ba+3ab⩾4+2ba.3ab=4+23， 当且仅当b=3a时，上式取得等号． 则1a+3b的最小值为4+23． 故答案为：4+23． 17.【答案】an=2n-12n;【解析】解：∵2，4，8，16，32，…是以2为首项和公比的等比数列， 且1，3，5，7，9，…是以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴此数列的一个通项公式是an=2n-12n， 故答案为：an=2n-12n． 分别判断出分子和分母构成的数列特征，再求出此数列的通项公式． 该题考查数列的通项公式，以及等差、等比数列的通项公式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 18.【答案】（16，56）;【解析】解：长方体ABCD-EFGH，若要使液面不为三角形， 则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC； 而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体， 液面的形状都不可能是三角形； 所以液体体积必须大于三棱柱G-EHD的体积16， 并且小于长方体ABCD-EFGH体积-三棱柱B-AFC体积1-16=56， 故答案为：(16,56). 画出长方体，使其一个顶点放在桌面上，容易观察出液体体积何时取得最小值和最大值． 此题主要考查了棱柱的结构特征以及几何体的体积求法问题，也考查了空间想象能力，是难题． 19.【答案】解：（1）从图知，函数f（x）的周期为T=4×(π12+π6)=π， 函数的最大值为1，最小值为-1． （2）由于T=2πω=π，则ω=2， 又x=-π6时，y=0，∴sin[2×(-π6)+ϕ]=0， 而-π2＜φ＜π2，则ϕ=π3， ∴函数f（x）的表达式为 f(x)=sin(2x+π3) （2）令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈z 可得kπ-5π12≤x≤kπ+π12，k∈z， 故函数的增区间为[kπ-5π12，kπ+π12]，k∈z．;【解析】 (1)由函数图象即可得到函数f(x)的周期T及最大值、最小值； (2)由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而求得函数的解析式； 令2kπ-π2⩽2x+π3⩽2kπ+π2，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的增区间． 此题主要考查由函数y=Asin(ωx+ϕ)的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，求复合三角函数的增区间，属于中档题． 20.【答案】（1）解：如图， 在四棱锥P-ABCD中， 因为底面ABCD是矩形，所以AD=BC，且AD∥BC. 又因为AD⊥PD， 故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角. 在RtΔPDA中，tan∠PAD=PDAD=2， 所以异面直线PA与BC所成角的正切值为2． （2）证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥DC. 又因为AD⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD⊂平面PDC， 所以AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD， 所以平面PDC⊥平面ABCD． （3）解：在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB． 由于平面PDC⊥平面ABCD， 而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线，PE⊂平面PDC， 故PE⊥平面ABCD． 由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成角. 在ΔPDC中， 由PD=CD=2，PC=23，可得∠PCD=30°， 在RtΔPEC中，PE=PCsin30°=3． 由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC， 又PC⊂平面PDC，因此BC⊥PC． 在RtΔPCB中，PB=PC2+BC2=13． 在RtΔPEB中，sin∠PBE=PEPB=3913． 所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为3913．;【解析】该题考查直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、计算能力． (1)判断∠PAD为异面直线PA与BC所成的角，在RtΔPDA中，求异面直线PA与BC所成角的正切值． (2)说明AD⊥DC，通过AD⊥PD，CD∩PD=D，证明AD⊥平面PDC，然后证明平面PDC⊥平面ABCD． (3)在平面PDC中，过点P作PE⊥CD于E，连接EB.说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角，求出PE，PB，在RtΔPEB中，通过sin∠PBE=PEPB，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值． 21.【答案】解：（1）当a＜0时，由ex=a（x+1），考查y=ex与y=a（x+1）的图象知只有一个零点； 当a=0时，无零点； 当a＞0时，f′（x）=ex-a=0，x=lna，f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=-alna， 若a＞1，f（lna）=-alna＜0，有两个零点， 若a=1，f（lna）=0，有一个零点， 若0＜a＜1，f（lna）＞0，无零点． 综上，当a＜0或a=1时，有一个零点；当0≤a＜1时，无零点；当a＞1时，有两个零点．（6分） （2）由已知当x∈[-1，2]时，f（x）min≥g（x）min． 当a≤0时，f′（x）=ex-a＞0，f（x）min=f（-1）=1e， g′（x）=（x-1）（x-3），g（x）在[-1，1]上递增， 在[1，2]上递减，g（-1）=0，g（2）=6，g（x）min=0，f（x）min≥g（x）min． 当a＞0时，f′（x）=ex-a=0，x=lna，f（x）在（-∞，lna）上递减，在（lna，+∞）上递增． 若lna≤-1即0＜a≤1e，f（x）min=f（-1）=1e，满足f（x）min≥g（x）min， 若-1＜lna＜2即1e＜a＜e2，f（x）min=f（lna）=-alna，由-alna≥0解得1e＜a≤1， 若lna≥2即a≥e2，f（x）在[-1，2]上递减， f（x）min=f（2）=e2-3a＜0，不满足条件． 综上可知a的取值范围是（-∞，1]．（12分）;【解析】 (1)通过a的讨论，求出函数的极小值，判断零点个数． (2)通过函数的导数，利用函数的最值，列出不等式求解即可． 此题主要考查函数的导数的综合应用，函数的零点个数的判断，考查分类讨论思想的应用，是中档题． 22.【答案】解：（1）当k不存在时，x=2满足题意； 当k存在时，设切线方程为y-1=k（x-2）， 由|1-2k|k2+1=2得，k=-34， 则所求的切线方程为x=2或3x+4y-10=0； （2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，-3），这两点的距离为23，满足题意； 当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0， 设圆心到此直线的距离为d， ∴d=22-(232)2=1，即|2-k|k2+1=1， 解得：k=34， 此时直线方程为3x-4y+5=0， 综上所述，所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1； （3）设Q点的坐标为（x，y）， ∵M（x0，y0），ON→=（0，y0），OQ→=OM→+ON→， ∴（x，y）=（x0，2y0）， ∴x=x0，y=2y0， ∵x02+y02=4， ∴x2+（y2）2=4，即x24+y216=1．;【解析】 (1)分两种情况考虑：当直线l的斜率不存在时，直线x=2满足题意；当k存在时，变形出l方程，利用圆心到l的距离d=r列出方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时l方程，综上，得到满足题意直线l的方程； (2)分两种情况考虑：当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，直线l与圆的两个交点距离为23，满足题意； 当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k(x-1)，求出圆心到直线l的距离d=1，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线方程，综上，得到满足题意直线l的方程； (3)设Q(x,y)，表示出OQ→，OM→，代入已知等式中化简得到x=x0，y=2y0，代入圆方程变形即可得到Q轨迹方程． 该题考查了直线与圆的位置关系，以及与直线有关的轨迹方程，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，以及平面向量的数量积运算，利用了分类讨论的思想，分类讨论时要求学生考虑问题要全面，做到不重不漏． 23.【答案】解：（1）当x≥0时，f（x）≤154，即2x-12x≤154，解得0≤x≤2； 当x＜0时，f（x）≤154即0≤154成立， 综上，f（x）≤154的解集为{x|x≤2}，即A=（-∞，2]． 设g（x）=x2-6x+p， 因为A∩B≠∅，所以g（2）＜0，即4-6×2+p＜0，解得p＜8， 所以实数p的取值范围为：（-∞，8）． （2）因为t∈[1，2]，所以f（t）=2t-12t， 2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，即2t(22t-122t)+m(2t-12t)≥0恒成立， 即（2t-12t）（22t+1+m）≥0， 因为22t-1≥3，所以22t+1+m≥0恒成立，即m≥-（1+22t）， 因为t∈[1，2]，所以-（1+22t）∈[-17，-5]，则m≥-5． 故实数m的取值范围为[-5，+∞）．;【解析】 (1)解不等式f(x)⩽154得到A，令g(x)=x2-6x+p，由A∩B≠∅，得g(2)<0，解出即可； (2)对不等式进行等价转化，分离出参数m后，转化为函数最值问题解决； 该题考查函数恒成立问题及不等式的求解、集合运算，具有一定综合性，恒成立问题的常用解决方法是转化为函数最值处理．
