2022年高考数学热点考点题型探析等差数列-专项训练-新人教版

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★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1等差数列的通项与前n项和
题型1已知等差数列的某些项，求某项
【例1】已知为等差数列，，则
【解题思路】可以考虑基本量法，或利用等差数列的性质
【解析】方法1：
方法2：，
方法3：令，则
方法4：为等差数列，
也成等差数列，设其公差为，则为首项，为第4项.
方法5：为等差数列，三点共线
【名师指引】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法.
题型2已知前项和及其某项，求项数.
【例2】⑴已知为等差数列的前项和，，求；
⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.
【解题思路】⑴利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数；
⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.
【解析】⑴设等差数列的首项为，公差为，则
⑵
【名师指引】解决等差数列的问题时，通常考虑两种方法：⑴基本量法；⑵利用等差数列的性质.
题型3求等差数列的前n项和
【例3】已知为等差数列的前项和，.
⑴求；
⑵求；
⑶求.
【解题思路】利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.
【解析】4.，
当时，，
当时，，
当时，， .
由，得，当时，；当时，.
⑴；
⑵
；
⑶当时，，
当时，

【名师指引】含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.
【新题导练】
为等差数列，（互不相等），求.
【解析】
为等差数列的前项和，，则 .
【解析】设等差数列的公差为，则
.
个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.
【解析】设这个数分别为则
解得
当时，这个数分别为：；
当时，这个数分别为：
为等差数列的前项和，，求.
【解析】方法1：设等差数列的公差为，则
；
方法2：
.
考点2 证明数列是等差数列
【例4】已知为等差数列的前项和，.
求证：数列是等差数列.
【解题思路】利用等差数列的判定方法⑴定义法；⑵中项法.
【解析】方法1：设等差数列的公差为，，
（常数）
数列是等差数列.
方法2：，
，
，
数列是等差数列.
【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：
⑴定义法：（，是常数）是等差数列；
⑵中项法：()是等差数列；
⑶通项公式法：（是常数）是等差数列；
⑷前项和公式法：（是常数，）是等差数列.
【新题导练】
为数列的前项和，，
⑴求常数的值；
⑵求证：数列是等差数列.
【解析】⑴，，
⑵由⑴知：，
当时，，
，数列是等差数列.
考点3 等差数列的性质
【例5】⑴已知为等差数列的前项和，，则 ；
⑵已知为等差数列的前项和，，则 .
【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.
【解析】⑴；
⑵方法1：令，则
.
，，
；
方法2：不妨设
.
，
；
方法3：是等差数列，为等差数列
三点共线.
.
【名师指引】利用等差数列的有关性质解题，可以简化运算.
【新题导练】
6.含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）

【解析】（本两小题有多种解法）
，.选B.
、分别是等差数列、的前项和，，则 .
【解析】 填.
考点4 等差数列与其它知识的综合
【例6】已知为数列的前项和，；数列满足：，
，其前项和为
⑴求数列、的通项公式；
⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值.
【解题思路】⑴利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；⑵求出后，判断的单调性.
【解析】⑴，
当时，；
当时，
当时，，；
，是等差数列，设其公差为.
则，
.
⑵

，是单调递增数列.
当时，
对都成立
所求最大正整数的值为.
【名师指引】本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识，利用了函数、方程思想，这是历年高考的重点内容.
【新题导练】
为数列的前项和，，.
⑴求数列的通项公式；
⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.
【解析】⑴当时，
，且，是以为公差的等差数列，其首项为.
当时，
当时，，；
⑵，得或，
当时，恒成立，所求最小的正整数
★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
1.(2009广雅中学)设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则
A． B． C． D．
【解析】C．
另法：由，，得，，计算知
中，，则 .
【解析】
中，，当数列的前项和取得最小值时， .
【解析】 由知是等差数列，
共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 .
【解析】 已知两式相减，得
5.设数列中，，则通项 .
【解析】 利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法.
中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第项是 .
【解析】
综合拔高训练
7.(2009广雅中学)已知等差数列中，.
⑴求数列的通项公式；
⑵若数列满足，设，且，求的值.
【解析】⑴设数列的公差为，则
⑵，
令，得∴当时，
为等差数列的前项和，
⑴当为何值时，取得最大值；
⑵求的值；
⑶求数列的前项和
【解析】⑴等差数列中，公差
，令
当时，；当时，.当时，取得最大值；
⑵数列是等差数列
；
⑶由⑴得，当时，；当时，.

9.(2009执信中学)已知数列满足
⑴证明：数列是等比数列；
⑵求数列的通项公式；
⑶若数列满足证明是等差数列.
【解析】⑴证明：
,,
是以为首项，2为公比的等比数列。
⑵解：由（I）得
⑶证明：
①
②
②－①，得 即， ③
④
④－③，得 即，
是等差数列.
10.(2008北京）数列满足，是常数.
⑴当时，求及的值；
⑵数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
⑶求的取值范围，使得存在正整数，当时总有.
【解析】⑴由于，且，
所以当时，得， 故.从而.
⑵数列不可能为等差数列.证明如下：
由，得
若存在，使为等差数列，则，即
于是
这与为等差数列矛盾，所以，对任意，都不可能是等差数列.
⑶记根据题意可知，且，即且
，这时总存在，满足：当时，bn＞0；当时，
所以，由及可知，若为偶数，则，从而当时；
若为奇数，则，从而当时
因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，
记，则满足：
故的取值范围是