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    青岛版数学九上3.2 《确定圆的条件》 课件

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    初中数学青岛版(2024)九年级上册第3章 对圆的进一步认识3.2 确定圆的条件完整版ppt课件

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    这是一份初中数学青岛版(2024)九年级上册第3章 对圆的进一步认识3.2 确定圆的条件完整版ppt课件,共47页。PPT课件主要包含了学习目标,实验与探究,巩固练习,史海漫游,习题32,真命题,假命题,复习与巩固,拓展与延伸,探索与创新等内容,欢迎下载使用。


    1. 掌握确定圆的条件. 2. 掌握三角形的外接圆、外心、内接三角形等概念,知道不同三角形外心的位置.
    (1) 已知点A,经过点A作圆,你能作出多少个圆?这些圆的圆心和半径能确定吗?
    (2) 已知点A,B,经过这两点作圆,你能作出多少个圆?这此圆的圆心的位置有什么特点?这些圆的半径能确定吗?
    经过一点作圆,可作无数个圆; 经过两点作圆,也可作无数个圆,这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上 . 在这两种情况下,所作的圆的圆心和半径都不能确定.
    (3) 已知A,B,C是不在同一条直线上的三个点,经过这三点能作圆吗?如果能,怎样作出过这三点的圆?
    到点A,B,C距离相等的点既在线段 AB的垂直平分线上,也在线段BC的垂直平分线上,因此这个点是这两条垂直平分线的交点.
    已知:如图3-18,A,B,C是不在同一条直线上的三个点. 求作:⊙O,使A,B,C三点都在⊙O上.
    作法:(1) 连接AB,BC; (2) 分别作线段AB与BC的垂直平分线, l与相交于点O; (3) 以点O为圆心,以OA为半径作O.
    ⊙O就是所求作的经过A,B,C三点的圆.
    在以上作图的过程中,因为A,B,C三点不在同一条直线上,从而直线l1与l2,有且只有一个交点 O,所以,圆心 O的位置唯一确定. 由于点O到A,B,C三点的距离相等,于是点B,C都在以O为圆心,OA为半径的圆上,这就是说,⊙O的半径也就确定了.
    所以过A,B,C三个点能作且只能作一个圆. 这样,就得到
    不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
    由此可知,三角形三个顶点确定一个圆. 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
    在图3-18中,如果连接AC,那么⊙O是△ABC的外接圆,或者说△ABC内接于圆O. O是△ABC的外心.
    三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.任何一个三角形都有且只有一个外心.
    (4) 分别作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,再作出每个三角形的外接圆.它们外心的位置与所在的三角形分别有怎样的关系?
    锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心是斜边的中点钝角三角形的外心在三角形的外部.
    1. 如图,已知直线a和直线外的两点 A,B(直线AB 与a不平行也不垂直). 求作经过点A,B的圆,并使它的圆心在直线a上.
    解:如图,连接 AB,作线段 AB 的垂直平分线交直线a于点O,以点 O 为圆心,以 OA 的长为半径作圆,⊙O就是所求作的圆.
    2. 如图,是一块出土的残破的古代 铜镜片.怎样测出它的半径呢?
    解:在镜片的弧上任取不同的三点 A,B,C,连接 AB,BC,分别作线段 AB,BC 的垂直平分线交于点 O,连接OA,则 OA 便是⊙O的半径(图略).测量 OA 的长即得古代铜镜片的半径.
    我们知道,不在同一条直线上的三点确定一个圆.思考下面的问题: (1) 如果 A,B,C 三点在同一条直线上,经过点 A,B,C能作出一个圆吗?试一试.
    过同一条直线上的三点不能作圆.
    (2) 为什么过同一条直线上的三点不能作圆?怎样证明这个结论呢?与同学交流.
    已知:A,B,C是直线l上的三点.求证:过A,B,C三点不能作圆.
    证明:假设过A,B,C三点可以作圆,设这个圆的圆心为O.
    因为OA=OB=OC,所以点O既在线段AB的直平分线l1上,也在线段 BC的垂直平分线l2上,因此点O为l1与l2的交点(图3-19 ). 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.
    这说明过同一条直线上的三点 A,B,C 可以作圆的假设是不对的,所以过同一条直线上的三点 A,B,C不能作圆.
    这种证明方法与我们以前学过的证明方法不同,它不是由已知条件出发直接证明命题的结论,而是先提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立这种证明的方法叫做反证法.
    当一个命题不易用直接证法证明时,可以考虑用反证法.
    用反证法证明一个命题,一般有三个步骤:
    (1) 否定结论——假设命题的结论不成立; (2) 推出矛盾——从假设出发,根据已知条件,经过推理论证,得出一个与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等相矛盾的结果; (3) 肯定结论——由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
    证明平行线的性质定理1: 两条平行线被第三条直线所截,同位角相等. 已知:如图3-20,直线AB//CD,直线EF与AB,CD分别相交于点 G,H. 求证:∠1=∠2.
    证明:假设∠1≠∠2. 过点 G作直线A′B′,使∠EGB′=∠2. 根据基本事实“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行”,可得A′B′//CD. 这样,过点G就有两条直线AB与A′B′与直线CD平行这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. 这说明∠1头∠2的假设是不对的,所以∠1=∠2.
    证明:平行于同一条直线的两条直线平行.已知:如图3-21,直线a//c,b//c.求证:a//b.
    证明:假设直线a,b不平行,那么它们相交,设交点为P. 由已知a//c,b//c,这样过点P就有两条直线a,b与直线c平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. 这说明a,b不平行的假设是不对的,所以a//b.
    一个闪耀着智慧光辉的推理典范
    关于不同重量的物体从同一高度下落的速度,古希腊学者亚里士多德 (Aristtle.公元前 384—公元前322年) 曾断言:“快慢与其重量成正比”,这就是说,重的物体要比轻的物体下落得快一些.
    长期以来,这个论断一直统治着人们的头脑.直到 1590 年意大利物理学家伽利略(Galile 1564 - 1642)才给予推翻.伽利略认为:在真空中,轻重物体应同时落地.他除了在比萨斜塔通过著名的实验来验证以外,还给出一个十分简单的推理证法,使反对者不得不接受事实:
    设物体A比B 重,按照亚里士多德的说法,A 应比 B 先落地.现在把 A与B捆在一起成为物体A+B.一方面,因A+B比A重,它应比A先落地;另一方面,由于A比B 落得快,B应减慢A 的下落速度,所以A+B又应比A后落地. 这样便得到了自相矛盾的结论:A+B既应比 A 先落地,又应比 A 后落地这个矛盾来源于亚里士多德的错误论断.因此,重的物体应当和轻的物体同时落地.
    请看,1 800 多年的错误论断竟被如此简单的推理所揭露,人们不能不佩服伽利略的思想是何等敏锐,推理的威力是多么强大啊!
    用反证法证明下列命题: 1. 一个三角形中不能有两个角是钝角. 2. 在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等
    1. 一个三角形中不能有两个角是钝角.
    证明:假设 ∠A,∠B,∠C 中有两个角是钝角. 设 90°<∠A<180°,90°<∠B<180°, 则∠A+∠B+∠C > 180°. 这与三角形内角和定理相矛盾,这说明∠A,∠B, ∠C中能有两个角是钟角的假设是不对的, 所以∠A,∠B, ∠C 中不能有两个角是钝角.
    2. 在一个三角形中,如果两个角不相等,那么它们所对的边也不相等
    证明:假设 AC=BC根据“等边对等角”得∠A=∠B, 这与已知∠A≠∠B相矛盾。 这说明 AC=BC 的假设是不对的, 所以 AC≠BC.
    1. 判断下列命题是真命题还是假命题: (1) 经过任意两点可以作无数个圆; (2)任意一个三角形都有且只有一个外接圆; (3) 任意一个圆都有且只有一个内接三角形; (4)三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心; (5)三角形的外心到三角形各边的距离相等.
    3. 在△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5. 求△ABC的外接圆的半径.
    4. 用反证法证明:三角形的三个内角中,至少有一个内 角不小于60°.
    5. 已知线段 PQ = 5cm,以3 cm长的线段为半径画圆,使它经过点P和Q. 这样的圆能画几个?如果PQ=6cm呢?
    解:当PQ=5 cm时,能画2个. 当PQ=6 cm时,能画1个.
    6. 用反证法证明: 在△ABC中,如果D,E分别是边AB, AC上的点,那么BE,CD不能互相平分.
    证明:假设BE,CD能互相平分. 连接 DE(图略),则四边形 DBCE 是平行四边形,所以DB//EC,即AB//AC,这与 AB与AC 相交于点A矛盾. 这说明 BE,CD 能互相平分的假设不对,所以 BE,CD不能互相平分
    7. 在直角坐标系中,已知点A(0,4),B(4,4)和C(6,2). (1)点A,B,C能确定一个圆吗? 说明理由;
    解:点A,B,C能确定一个圆.理由如下: 因为点 A,B,C 不在同一条直线上, 所以能确定一个圆.
    (2) 如果能,用尺规作图的方法,作出过这三点的圆的圆心P;
    如图,点 P 即为过 A,B,C 三点的圆的圆心.
    (3)写出圆心P的坐标,并求出⊙P的半径.
    8. 用反证法证明:圆内不是直径的两条弦相交,不能互相平分.
    解:已知:如图,AB,CD 是⊙O的两条弦,交点为 E.
    求证:AB,CD 不互相平分证明:假设⊙O的两条不是直径的弦AB,CD 互相平分,那么它们的交点 E 为两弦的中点. 因为AB,CD不是直径,所以点 E 不是圆心连接OE(图略),由垂径定理知OE⊥AB,OE⊥CD,这与基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以 AB,CD 不能互相平分.

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