第五章 平面向量与复数（测试）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，则（ ）
A．B．2C．D．3
3．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．直线上B．直线上
C．直线上D．直线上
4．若复数满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．设是关于的方程的两根其中，若（为虚数单位）.则（ ）
A．B．C．D．2
6．已知非零不共线向量满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，都是正实数，若向量，，且满足，则的最小值是（ ）
A．50B．C．D．
8．是等腰直角三角形，其中，是所在平面内的一点，若（且），则在上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（ ）
A．若，，则
B．已知向量，，则
C．若，则和在上的投影向量相等
D．已知，，，则点A，B，D一定共线
10．已知复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．
C．D．
11．已知点，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，D．的最大值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知正方形ABCD，边长为1，点E是BC边上一点，若，则 .
13．已知复数，且，则的最小值是 ．
14．如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为 .若在线段上有一个动点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知平面向量，.
(1)求的值；
(2)求与夹角的余弦值.
16．（15分）
已知复数与．
(1)求及的值；
(2)设，满足的点Z的集合是什么图形？
17．（15分）
在复数域中，对于正整数满足的所有复数称为单位根，其中满足对任意小于的正整数，都有，则称这种复数为次的本原单位根，例如当时，存在四个4次单位根，因为，因此只有两个4次本原单位根．
(1)直接写出复数的3次单位根，并指出那些是复数的3次本原单位根（无需证明）．
(2)①若是复数的8次本原单位根，证明：．
②若是复数的次本原单位根，证明：．
18．（17分）
如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点.
(1)求的值；
(2)若为线段的中点，求的值；
(3)试确定点的位置，使得最小.
19．（17分）
定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为.
(1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值；
(2)写出函数的“伴随向量”为，并求；
(3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为.
①若，求的取值范围；
②求证：向量的充要条件是.