第02讲 平面向量的数量积及其应用（八大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知平行四边形中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】平行四边形中，由，得，
由，得，
因此，
整理得，即，所以.
故选：B
2．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，，则 .
【答案】
【解析】
故答案为：
3．（2024·重庆·三模）已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若，则 .
【答案】
【解析】因为在单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，又，
所以，，
所以，
故答案为：
题型二：平面向量的夹角问题
4．（2024·陕西铜川·三模）已知点为外接圆的圆心，且，则 .
【答案】/
【解析】由，得，由为外接圆的圆心，得，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形为菱形，且，故.故.
故答案为：
5．（2024·福建宁德·三模）已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 .
【答案】
【解析】由题意可得，即，
，
则，
故与的夹角为.
故答案为：.
6．（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐标为，则与的夹角为 .
【答案】/
【解析】设与的夹角为，且，，
则在上的投影向量为，
即，所以，所以，
故答案为：.
7．（2024·福建莆田·三模）已知向量，满足，且，则向量，夹角的余弦值是 .
【答案】
【解析】因为，所以，所以.
因为，所以，所以，
则.
故答案为：
8．已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为 .
【答案】/
【解析】
,
则与的夹角的余弦值为.
故答案为：.
题型三：平面向量的模长
9．已知向量，且，则 .
【答案】
【解析】，
因为，所以，解得，
所以.
故答案为：.
10．若向量满足，，，则 .
【答案】
【解析】由，有，即，得.
又，得.
故答案为：.
11．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知向量，均为单位向量，且，，则实数 ．
【答案】
【解析】由题意知，，故，且，
即，故，
故答案为：
12．已知向量，，满足，则 ．
【答案】/或/或
【解析】因为，，
所以，
，
得．
故答案为：
题型四：平面向量的投影、投影向量
13．（2024·河北张家口·三模）已知向量，若，则在上的投影向量为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以，解得，
因为，所以在上的投影向量为.
故答案为：
14．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意可得，
所以，则
所以，
则在方向上的投影向量为.
故选：B
15．（2024·宁夏银川·三模）已知是单位向量，且与垂直，与的夹角为135°，则在上的投影数量为 .
【答案】
【解析】因为与垂直，
所以，即，
解得，
又因为与的夹角为135°，
所以，解得，
所以在上的投影数量为，
故答案为：
16．（2024·山东泰安·模拟预测）已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是单位向量，所以，由得，则，得，
设与的夹角为，则在方向上的投影向量为.
故选：A
题型五：平面向量的垂直问题
17．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，，
则，又，
所以
故选：B
18．（2024·海南·模拟预测）已知向量，若，则（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】,,
由得：，
则，所以，
故选：B.
19．（2024·陕西·模拟预测）已知两个向量，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，则，即，
因此，所以.
故选：B
题型六：建立坐标系解决向量问题
20．如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则 .
【答案】14
【解析】以A为原点，AB为x轴建立平面直角坐标系
则A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4），
因为点E为BC的中点，且，
所以E（3，2），F（2，4），
故，
所以
故答案为：.
21．在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上（与B、C不重合），延长射线AD到P，使得AP＝9，若（m为常数），则DB的长度为 ．
【答案】/1.4
【解析】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则B（4，0），C（0，3），
由若，得，
整理得：．
由AP＝9，得，解得或．
当时，可得，所以点的坐标为，所以
直线PA的方程为，直线BC的方程为，
联立两直线方程可得点D的坐标为，，
所以，
当时，此时，所以三点共线，点在直线上，所以三点共线，又三点共线，所以可知D与C重合（舍去），
∴BD的长度是．
故答案为：．
22．如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则 ．
【答案】/
【解析】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，
则有，
，过D作轴于F，，
，所以，
，，，
因为，
所以，
所以，，解得：，
则的值为.
故答案为：.
题型七：平面向量的实际应用
23．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为350N，则该学生的体重（单位：kg）约为（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为m/s2，）
A．55B．61C．66D．71
【答案】B
【解析】如图，，，
作平行四边形，则是菱形，，
，
所以，
因此该学生体重为（kg）.
故选：B．
24．（2024·高三·福建厦门·期末）长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设船的实际速度为，与南岸上游的夹角为，如图所示，
要使得游船正好到达处，则，即，
又因为，所以，
故选：D.
25．（2024·江西南昌·二模）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km，水的流速为2，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（ ）
A．B．8
C．D．10
【答案】A
【解析】设客船在静水中的速度大小为，水流速度为，则，
则船实际航行的速度，，由题意得.
把船在静水中的速度正交分解为，即，
∵ km/h，而与同向，即，
∴
∴.
故选：A.
26．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位).设开始时点P的坐标为，则5秒后点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，5秒后P点的坐标为，则，
由题意有.
即
所以解得
故选: C
27．点在平面上以速度作匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，则点的初始坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，列出方程组，即可求解.设点的初始坐标为，
因为点在平面上以速度作匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，
可得，解得，即点的初始坐标为.
故选：B.
题型八：向量回路恒等式
28．如图，在平面四边形中，，，则 ．
【答案】
【解析】由题意得，，
，
因为，，
从而.
故答案为：.
29．如图，在平面四边形中，若，，则 ．
【答案】
【解析】由题意可得：，
故，则，即.
故答案为：.
1．（2024·甘肃兰州·三模）已知向量，设与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，，
所以，
因为为与的夹角，所以.
故选：D
2．（2024·湖北武汉·一模）已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．8
【答案】A
【解析】因为所以,所以,
因为，所以.
故选：A.
3．（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量，满足，，，则（ ）
A．5B．C．6D．8
【答案】B
【解析】由，，，得，则，
因此，
所以．
故选：B
4．（2024·江苏泰州·模拟预测）若，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
设与的夹角为，
所以，又，所以.
故选：A
5．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知的三个内角，，的对边分别为，，，，，，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
整理得，即，
所以，
所以
故选：B.
6．（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，，
所以，，
当时，
，即
解得
所以“”是的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2024·陕西安康·模拟预测）若平面向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设向量夹角为，
两边平方得则，
又，
即，解得.
故选：A.
8．（2024·江西新余·二模）已知，，若与的夹角为，则（ ）
A．-1B．1C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
，
，
因为，
又，
所以，
解得或，
因为，所以，
解得，
所以.
故选：.
9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ）
A．B．
C．D．在的方向上的投影向量为
【答案】AB
【解析】，，故A正确；
，所以，故B正确；
，所以，
又因为，所以，故C错误；
在上的投影向量为，故D错误；
故选：AB．
10．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知内角，，的对边分别为，，，为的重心，，，则（ ）
A．B．
C．的面积的最大值为D．的最小值为
【答案】ABC
【解析】
延长交于点.
因为是的重心，
所以点是中点，，
则.
对于选项A：因为，故选项A正确；
对于选项B：由得：，
所以，当且仅当时等号成立.
又因为，即，，
所以，
即，当且仅当时等号成立，故选项B正确；
对于选项C：因为，当且仅当时等号成立，，
所以，故选项C正确；
对于选项D：由，，
得，
所以由余弦定理可得：
，即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值是，故选项D错误.
故选：ABC.
11．（多选题）（2024·江西鹰潭·三模）已知向量，，，则（ ）
A．若，则
B．在方向上的投影向量为
C．存在，使得在方向上投影向量的模为1
D．的取值范围为
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则，
则，即，所以，故 A正确；
对于B，在方向上的投影向量为，故B错误；
对于C，在方向上的投影向量的模为，
若，则，
即，其中，，
所以，
所以存在，使得在方向上的投影向量的模为1，故C正确.
对于D，,
因为所以，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
12．（多选题）（2024·广东广州·二模）在梯形中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】在中，，
则，
由正弦定理知，
即，故A正确；
，
，
，故B正确；
，故C错误；
，
故，即，故D正确．
故选：ABD
13．（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形中，，，记，，用和表示 ；若，，则值为 .
【答案】 /
【解析】因为，所以，
所以；
因为，所以，
所以，
故，即，
又，
故，即，
因为，，
所以.
故答案为：；.
14．（2024·湖南长沙·三模）在，已知，.则 .
【答案】
【解析】设，，，
由得，所以.
又，因此，.
由，得；
于是，
所以，
∴，即.
∵，∴，∴，
∴或，∴或.
又∵，∴，，，则.
故答案为：
15．（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】，令，则，
所以，
当，即时，取得最小值，且最小值为．
故答案为：
16．已知向量，，，
【答案】
【解析】因为向量，，，
所以，
因此，．
故答案为：．
1．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【解析】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
6．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【解析】,,即,解得,
故选：C
7．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选：D
8．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
9．（2022年新高考北京数学高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
10．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
11．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点， ，则 ；为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
12．（2023年天津高考数学真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.
13．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【解析】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
14．（2022年新高考天津数学高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
【答案】
【解析】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量．若，则 ．
【答案】/
【解析】由题意知：，解得.
故答案为：.
16．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】
【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc171801639" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc171801639 \h 2
\l "_Tc171801640" 题型一：平面向量的数量积运算 PAGEREF _Tc171801640 \h 2
\l "_Tc171801641" 题型二：平面向量的夹角问题 PAGEREF _Tc171801641 \h 3
\l "_Tc171801642" 题型三：平面向量的模长 PAGEREF _Tc171801642 \h 5
\l "_Tc171801643" 题型四：平面向量的投影、投影向量 PAGEREF _Tc171801643 \h 6
\l "_Tc171801644" 题型五：平面向量的垂直问题 PAGEREF _Tc171801644 \h 7
\l "_Tc171801645" 题型六：建立坐标系解决向量问题 PAGEREF _Tc171801645 \h 8
\l "_Tc171801646" 题型七：平面向量的实际应用 PAGEREF _Tc171801646 \h 11
\l "_Tc171801647" 题型八：向量回路恒等式 PAGEREF _Tc171801647 \h 14
\l "_Tc171801648" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc171801648 \h 15
\l "_Tc171801649" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc171801649 \h 24