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高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第02讲平面向量的数量积及其应用(七大题型)(讲义)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)第02讲平面向量的数量积及其应用(七大题型)(讲义)(原卷版+解析)，共42页。
知识点一．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
知识点二．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
知识点三．数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
知识点四．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
知识点五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且
【解题方法总结】
（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．
题型一：平面向量的数量积运算
例1．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
例3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
变式1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（ ）
A．1B．12C．或2D．或1
变式2．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
变式4．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
变式5．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
变式6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
【解题方法总结】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．
（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）
同：；；公式都可通用
异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角）
，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．
，通常是求最值的时候用．
题型二：平面向量的夹角
例4．（2023·河南驻马店·统考二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．
例5．（2023·四川·校联考模拟预测）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
例6．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量和满足：，，，则与的夹角为__________．
变式7．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角________.
变式8．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知是同一个平面上的向量，若，且，则__________.
变式9．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为___________.
变式10．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为______．
变式11．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）
【解题方法总结】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．
题型三：平面向量的模长
例7．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量，，满足，，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________.
例9．（2023·海南·高三校联考期末）已知向量，满足，，，则__________．
变式12．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知为单位向量，且满足，则______.
变式13．（2023·河南驻马店·统考三模）已知平面向量满足,且，则=_________________ ．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，则______．
变式15．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为______．
变式16．（2023·广西·高三校联考阶段练习）已知，，若，则______．
【解题方法总结】
求模长，用平方，．
题型四：平面向量的投影、投影向量
例10．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为______.
例11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数_______．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是________．
变式17．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为_________.
变式18．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为______.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________.
变式20．（2023·全国·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________.
【解题方法总结】
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
题型五：平面向量的垂直问题
例13．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量，若，则___________.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若______，则.
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
例15．（2023·江西宜春·高三校联考期末）设非零向量，的夹角为．若，且，则____________．
变式21．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数_________．
变式22．（2023·海南·校考模拟预测）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为______．
变式23．（2023·全国·模拟预测）向量，且，则实数_________．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.
变式25．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知向量，若，则________．
变式26．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：______.
变式27．（2023·河南开封·统考三模）已知向量，，若，则______.
【解题方法总结】
题型六：建立坐标系解决向量问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
例18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式28．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．3
变式29．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且恰好可在内任意旋转，则当时，（ ）
A．B．C．D．
变式30．（2023·河南安阳·统考三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．1
【解题方法总结】
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备（1）三角函数知识；（2）向量三点共线知识．
题型七：平面向量的实际应用
例19．（2023·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为______牛顿.
例20．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为___________.
例21．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为___________.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为___________．
变式32．（2023·浙江·高三专题练习）一条渔船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为，则河水的流速是________．
【解题方法总结】
用向量方法解决实际问题的步骤
1．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则
A．B．C．D．
2．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则
A．B．C．5D．6
3．（2022•北京）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
第02讲平面向量的数量积及其应用
目录
知识点一．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
知识点二．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
知识点三．数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
知识点四．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
知识点五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且
【解题方法总结】
（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．
题型一：平面向量的数量积运算
例1．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
【答案】B
【解析】`
由，且与的夹角为，
所以
.
故选：B.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
【答案】A
【解析】在方向上投影向量为，
，.
故选：A
例3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，，
所以，
所以，则为等边三角形，因为，
所以，设点M为BC的中点，则，所以，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以，
同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为的重心，故，
在等边中，M为BC的中点，则，
所以.
故选：A
变式1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（ ）
A．1B．12C．或2D．或1
【答案】D
【解析】由题意单位向量，且，可知与的夹角为，
因为，所以或，
故当时，；
当时，，
故选：D.
变式2．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为向量绕坐标原点顺时针旋转得到，
所以向量与向量的夹角为，且，
所以
.
故选：B
变式3．（2023·全国·高三专题练习）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【解析】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
变式4．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，
即且，
∴，
又C、P、D共线，有，即，
即，而，
∴
∴=.
故选：C
变式5．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
【答案】D
【解析】因为向量，满足同向共线，所以设，
又因为，，所以，
所以或，即或.
①当时，；
②当时，；
所以的值为3或15.
故选：D.
变式6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】建立如图所示直角坐标系：
则，
设，则
且，
，解得，
，
在矩形中，为的中点，
所以，由，
所以，
，
故选：D.
【解题方法总结】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．
（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）
同：；；公式都可通用
异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角）
，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．
，通常是求最值的时候用．
题型二：平面向量的夹角
例4．（2023·河南驻马店·统考二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．
【答案】/
【解析】设向量，的夹角为，因为，所以．
又，所以，所以．
故答案为：
例5．（2023·四川·校联考模拟预测）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
【答案】/
【解析】是夹角为的两个单位向量，则，
，
，
，，
，.
故答案为：
例6．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量和满足：，，，则与的夹角为__________．
【答案】/
【解析】记向量和的夹角为，将平方得到：
或，
又因为，即．
故答案为：.
变式7．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角________.
【答案】
【解析】由题意可得： ，
故： ，即向量 与的夹角为 .
故答案为：
变式8．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知是同一个平面上的向量，若，且，则__________.
【答案】
【解析】设，则，，
故，
，
则，，，故，
设，，则，
又，解得，故.
故答案为：.
变式9．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为___________.
【答案】
【解析】由于，所以，
所以，
所以为锐角，所以.
故答案为：
变式10．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为______．
【答案】
【解析】，则，则，又，则
故答案为：.
变式11．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）
【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.
【解析】设，因为，，
所以，
，
因为与，的夹角均相等，所以，
所以，
化简得，所以，
因为为非零向量，可取，此时.
故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.
【解题方法总结】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．
题型三：平面向量的模长
例7．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量，，满足，，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，可得，
所以.
故选：A
例8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________.
【答案】2
【解析】∵，∴，∴，
∵向量在向量方向上的投影为，∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2
例9．（2023·海南·高三校联考期末）已知向量，满足，，，则__________．
【答案】
【解析】因为，，，则，
所以，所以，解得：，
.
故答案为：.
变式12．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知为单位向量，且满足，则______.
【答案】
【解析】为单位向量，且满足，所以，
即，解得，
所以.
故答案为：.
变式13．（2023·河南驻马店·统考三模）已知平面向量满足,且，则=_________________ ．
【答案】
【解析】由,得,
所以.
故答案为：
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，则______．
【答案】
【解析】由，得，即 ①．
又由，得，
即，代入①，得，
整理，得，所以．
故答案为：
变式15．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为______．
【答案】
【解析】由题知，，设，
，，，，
，，
，，则直线方程为，
设点坐标为，，
，，
求解可得，，，即点坐标为.
故答案为：
变式16．（2023·广西·高三校联考阶段练习）已知，，若，则______．
【答案】
【解析】因为，且，
所以，解得，所以，
所以，
所以.
故答案为：
【解题方法总结】
求模长，用平方，．
题型四：平面向量的投影、投影向量
例10．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为______.
【答案】
【解析】因为向量，，
所以在方向上的数量投影为.
故答案为：.
例11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数_______．
【答案】3
【解析】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为，
解得：.
故答案为：3
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是________．
【答案】
【解析】因为向量、的夹角等于，
所以向量在向量上的投影向量是，
故答案为：.
变式17．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为_________.
【答案】
【解析】.
故答案为：
变式18．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为______.
【答案】2
【解析】因为，所以，又，，
所以，所以，
所以向量在向量方向上的投影为.
故答案为：
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________.
【答案】
【解析】因为，所以，即①.
因为向量在向量方向的投影向量是，
所以.所以②，
将①代入②得，，又，所以.
故答案为：
变式20．（2023·全国·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】设，因为
所以
所以
则向量在向量上的投影向量为：.
故答案为：.
【解题方法总结】
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
题型五：平面向量的垂直问题
例13．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量，若，则___________.
【答案】/
【解析】由题意可得，
因为，
则，解得.
故答案为：
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若______，则.
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
【答案】1（答案不唯一）
【解析】因为是相互垂直的单位向量，不妨设
，即 ，
，即 ，即向量的端点在圆心为，半径为 的圆周上，
故可以取 ，即；
故答案为：1.
例15．（2023·江西宜春·高三校联考期末）设非零向量，的夹角为．若，且，则____________．
【答案】60°/
【解析】由题设，
所以，又，
所以.
故答案为：
变式21．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数_________．
【答案】/-0.8
【解析】因为单位向量的夹角为，所以；
因为，所以
，所以．
故答案为：.
变式22．（2023·海南·校考模拟预测）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为______．
【答案】/
【解析】因为向量在上的投影向量为，所以，
又为单位向量，所以，
因为，所以，
所以，所以，
故，
故答案为：.
变式23．（2023·全国·模拟预测）向量，且，则实数_________．
【答案】
【解析】因为向量，所以，
又，
所以，得，
解得．
故答案为：.
变式24．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.
【答案】/-0.5
【解析】因为，所以，
由题易知，，
所以.
故答案为：
变式25．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知向量，若，则________．
【答案】
【解析】因为，，所以，
又，所以，解得.
故答案为：
变式26．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意得，，则，设，
得，且，满足条件的向量的坐标可以为（答案不唯一或者）.
故答案为：（答案不唯一）
变式27．（2023·河南开封·统考三模）已知向量，，若，则______.
【答案】13
【解析】∵，，，
又∵，
∴，解得.
故答案为：13
【解题方法总结】
题型六：建立坐标系解决向量问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设的夹角为，，，
，，，又，
不妨设，，
，所以，即，
，
由，
当时，即时，有最小值．
故选：B
例17．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则，，
由，得，
所以，，
所以．
故选：C.
例18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，做轴于点，所以，
由已知可得，，，
所以，，，
所以.
故选：B.
变式28．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．3
【答案】C
【解析】连接，由余弦定理知，所以.
由正弦定理得，所以为圆的直径，
所以，所以，从而，
又，所以为等边三角形，
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则，
所以.
故选：C.
变式29．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且恰好可在内任意旋转，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是面积为的等边三角形，记边长为，所以，解得，记内切圆的半径为，根据，
可得：，解得，因为正方形的面积为2，所以正方形边长为，
记正方形外接圆半径为，所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即，
根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知.正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，
因为正方形可在内任意旋转，
可知正方形各个顶点均在该的内切圆上，
以的底边为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系如图所示：
故可知，
圆的方程为，
故设，
即，，，
故选:A.
变式30．（2023·河南安阳·统考三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以
故选：C.
【解题方法总结】
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备（1）三角函数知识；（2）向量三点共线知识．
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
题型七：平面向量的实际应用
例19．（2023·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为______牛顿.
【答案】6
【解析】设三个力，，分别对于的向量为：
则由题知
所以
所以
又
所以
所以的大小为：6
故答案为：6
例20．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为___________.
【答案】N
【解析】由题设，N，
故答案为：N.
例21．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为___________.
【答案】8
【解析】设，的合力为，则，
∵，的夹角为，
∴，
∴，
∵物体平衡状态.∴物体的重力大小为=8.
故答案为：8.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为___________．
【答案】
【解析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0
所以，所以
故答案为：
变式32．（2023·浙江·高三专题练习）一条渔船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为，则河水的流速是________．
【答案】
【解析】如图，用表示河水的流速，表示船的速度，
则为船的实际航行速度．
由图知，，，则．
又，
所以．
即河水的流速是．
故答案为：.
【解题方法总结】
用向量方法解决实际问题的步骤
1．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，
，，
由，得，
整理得：，即．
故选：．
2．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则
A．B．C．5D．6
【答案】
【解析】向量，，，
，
，，，
，，
解得实数．
故选：．
3．（2022•北京）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】在中，，，，
以为坐标原点，，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，如图：
则，，，
设，
因为，
所以，
又，，
所以，
设，，
所以，其中，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为6，
所以，，
故选：．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
（3）了解平面向量基本定理及其意义
（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
2023年I卷第3题，5分
2023年II卷第13题，5分
2023年甲卷（理）第4题，5分
2022年II卷第4题，5分
平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．
预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
（当且仅当时等号成立）
考点要求
考题统计
考情分析
（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
（3）了解平面向量基本定理及其意义
（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
2023年I卷第3题，5分
2023年II卷第13题，5分
2023年甲卷（理）第4题，5分
2022年II卷第4题，5分
平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．
预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
（当且仅当时等号成立）
知识点一．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
知识点二．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
知识点三．数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
知识点四．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
知识点五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且
【解题方法总结】
（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．
题型一：平面向量的数量积运算
例1．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
例3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
变式1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（ ）
A．1B．12C．或2D．或1
变式2．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
变式3．（2023·全国·高三专题练习）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
变式4．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
变式5．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
变式6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
【解题方法总结】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．
（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）
同：；；公式都可通用
异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角）
，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．
，通常是求最值的时候用．
题型二：平面向量的夹角
例4．（2023·河南驻马店·统考二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．
例5．（2023·四川·校联考模拟预测）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
例6．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量和满足：，，，则与的夹角为__________．
变式7．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角________.
变式8．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知是同一个平面上的向量，若，且，则__________.
变式9．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为___________.
变式10．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为______．
变式11．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）
【解题方法总结】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．
题型三：平面向量的模长
例7．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量，，满足，，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________.
例9．（2023·海南·高三校联考期末）已知向量，满足，，，则__________．
变式12．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知为单位向量，且满足，则______.
变式13．（2023·河南驻马店·统考三模）已知平面向量满足,且，则=_________________ ．
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，则______．
变式15．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为______．
变式16．（2023·广西·高三校联考阶段练习）已知，，若，则______．
【解题方法总结】
求模长，用平方，．
题型四：平面向量的投影、投影向量
例10．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为______.
例11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数_______．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是________．
变式17．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为_________.
变式18．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为______.
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________.
变式20．（2023·全国·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________.
【解题方法总结】
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
题型五：平面向量的垂直问题
例13．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量，若，则___________.
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若______，则.
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
例15．（2023·江西宜春·高三校联考期末）设非零向量，的夹角为．若，且，则____________．
变式21．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数_________．
变式22．（2023·海南·校考模拟预测）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为______．
变式23．（2023·全国·模拟预测）向量，且，则实数_________．
变式24．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.
变式25．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知向量，若，则________．
变式26．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：______.
变式27．（2023·河南开封·统考三模）已知向量，，若，则______.
【解题方法总结】
题型六：建立坐标系解决向量问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
例18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式28．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．3
变式29．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且恰好可在内任意旋转，则当时，（ ）
A．B．C．D．
变式30．（2023·河南安阳·统考三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．1
【解题方法总结】
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备（1）三角函数知识；（2）向量三点共线知识．
题型七：平面向量的实际应用
例19．（2023·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为______牛顿.
例20．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为___________.
例21．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为___________.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为___________．
变式32．（2023·浙江·高三专题练习）一条渔船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为，则河水的流速是________．
【解题方法总结】
用向量方法解决实际问题的步骤
1．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则
A．B．C．D．
2．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则
A．B．C．5D．6
3．（2022•北京）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
第02讲平面向量的数量积及其应用
目录
知识点一．平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
知识点二．数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③．
知识点三．数量积的性质
设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
①．②．
③当与同向时，；当与反向时，．
特别地，或．
④．⑤．
知识点四．数量积的坐标运算
已知非零向量，，为向量、的夹角．
知识点五、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．
（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．
当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．
（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．
（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且
【解题方法总结】
（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．
（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．
（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．
题型一：平面向量的数量积运算
例1．（2023·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考期末）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．14
【答案】B
【解析】`
由，且与的夹角为，
所以
.
故选：B.
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，向量在方向上投影向量是，则为（ ）
A．12B．8C．-8D．2
【答案】A
【解析】在方向上投影向量为，
，.
故选：A
例3．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知菱形ABCD的边长为1，，G是菱形ABCD内一点，若，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】在菱形ABCD，菱形ABCD的边长为1，，
所以，
所以，则为等边三角形，因为，
所以，设点M为BC的中点，则，所以，
所以G，A，M三点共线，所以AM为BC的中线，
所以，
同理可得点AB，AC的中线过点G，
所以点G为的重心，故，
在等边中，M为BC的中点，则，
所以.
故选：A
变式1．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知单位向量，且，若，，则（ ）
A．1B．12C．或2D．或1
【答案】D
【解析】由题意单位向量，且，可知与的夹角为，
因为，所以或，
故当时，；
当时，，
故选：D.
变式2．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量绕坐标原点顺时针旋转得到，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为向量绕坐标原点顺时针旋转得到，
所以向量与向量的夹角为，且，
所以
.
故选：B
变式3．（2023·全国·高三专题练习）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【解析】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
变式4．（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵，，
即且，
∴，
又C、P、D共线，有，即，
即，而，
∴
∴=.
故选：C
变式5．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知向量，满足同向共线，且，，则（ ）
A．3B．15C．或15D．3或15
【答案】D
【解析】因为向量，满足同向共线，所以设，
又因为，，所以，
所以或，即或.
①当时，；
②当时，；
所以的值为3或15.
故选：D.
变式6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】建立如图所示直角坐标系：
则，
设，则
且，
，解得，
，
在矩形中，为的中点，
所以，由，
所以，
，
故选：D.
【解题方法总结】
（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．
（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．
（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．
（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）
同：；；公式都可通用
异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角）
，使用范围广泛，通常是求模或者夹角．
，通常是求最值的时候用．
题型二：平面向量的夹角
例4．（2023·河南驻马店·统考二模）若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．
【答案】/
【解析】设向量，的夹角为，因为，所以．
又，所以，所以．
故答案为：
例5．（2023·四川·校联考模拟预测）若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.
【答案】/
【解析】是夹角为的两个单位向量，则，
，
，
，，
，.
故答案为：
例6．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知向量和满足：，，，则与的夹角为__________．
【答案】/
【解析】记向量和的夹角为，将平方得到：
或，
又因为，即．
故答案为：.
变式7．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角________.
【答案】
【解析】由题意可得： ，
故： ，即向量 与的夹角为 .
故答案为：
变式8．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知是同一个平面上的向量，若，且，则__________.
【答案】
【解析】设，则，，
故，
，
则，，，故，
设，，则，
又，解得，故.
故答案为：.
变式9．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知向量，满足，，，则向量与的夹角大小为___________.
【答案】
【解析】由于，所以，
所以，
所以为锐角，所以.
故答案为：
变式10．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量，，，则向量与的夹角为______．
【答案】
【解析】，则，则，又，则
故答案为：.
变式11．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量，，若非零向量与，的夹角均相等，则的坐标为___（写出一个符合要求的答案即可）
【答案】（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.
【解析】设，因为，，
所以，
，
因为与，的夹角均相等，所以，
所以，
化简得，所以，
因为为非零向量，可取，此时.
故答案为：（1，1），答案不唯一，只需满足横纵坐标相等即可.
【解题方法总结】
求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．
题型三：平面向量的模长
例7．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知平面向量，，满足，，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，可得，
所以.
故选：A
例8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________.
【答案】2
【解析】∵，∴，∴，
∵向量在向量方向上的投影为，∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2
例9．（2023·海南·高三校联考期末）已知向量，满足，，，则__________．
【答案】
【解析】因为，，，则，
所以，所以，解得：，
.
故答案为：.
变式12．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）已知为单位向量，且满足，则______.
【答案】
【解析】为单位向量，且满足，所以，
即，解得，
所以.
故答案为：.
变式13．（2023·河南驻马店·统考三模）已知平面向量满足,且，则=_________________ ．
【答案】
【解析】由,得,
所以.
故答案为：
变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量满足，，则______．
【答案】
【解析】由，得，即 ①．
又由，得，
即，代入①，得，
整理，得，所以．
故答案为：
变式15．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O为坐标原点，，，点P在线段AB上，且，则点P的坐标为______．
【答案】
【解析】由题知，，设，
，，，，
，，
，，则直线方程为，
设点坐标为，，
，，
求解可得，，，即点坐标为.
故答案为：
变式16．（2023·广西·高三校联考阶段练习）已知，，若，则______．
【答案】
【解析】因为，且，
所以，解得，所以，
所以，
所以.
故答案为：
【解题方法总结】
求模长，用平方，．
题型四：平面向量的投影、投影向量
例10．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知向量，，则在方向上的数量投影为______.
【答案】
【解析】因为向量，，
所以在方向上的数量投影为.
故答案为：.
例11．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数_______．
【答案】3
【解析】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为，
解得：.
故答案为：3
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，为单位向量，当向量、的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是________．
【答案】
【解析】因为向量、的夹角等于，
所以向量在向量上的投影向量是，
故答案为：.
变式17．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为_________.
【答案】
【解析】.
故答案为：
变式18．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影为______.
【答案】2
【解析】因为，所以，又，，
所以，所以，
所以向量在向量方向上的投影为.
故答案为：
变式19．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________.
【答案】
【解析】因为，所以，即①.
因为向量在向量方向的投影向量是，
所以.所以②，
将①代入②得，，又，所以.
故答案为：
变式20．（2023·全国·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________.
【答案】
【解析】设，因为
所以
所以
则向量在向量上的投影向量为：.
故答案为：.
【解题方法总结】
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
题型五：平面向量的垂直问题
例13．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量，若，则___________.
【答案】/
【解析】由题意可得，
因为，
则，解得.
故答案为：
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，，其中，为单位向量，且，若______，则.
注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.
【答案】1（答案不唯一）
【解析】因为是相互垂直的单位向量，不妨设
，即 ，
，即 ，即向量的端点在圆心为，半径为 的圆周上，
故可以取 ，即；
故答案为：1.
例15．（2023·江西宜春·高三校联考期末）设非零向量，的夹角为．若，且，则____________．
【答案】60°/
【解析】由题设，
所以，又，
所以.
故答案为：
变式21．（2023·江西南昌·高三统考开学考试）已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数_________．
【答案】/-0.8
【解析】因为单位向量的夹角为，所以；
因为，所以
，所以．
故答案为：.
变式22．（2023·海南·校考模拟预测）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为______．
【答案】/
【解析】因为向量在上的投影向量为，所以，
又为单位向量，所以，
因为，所以，
所以，所以，
故，
故答案为：.
变式23．（2023·全国·模拟预测）向量，且，则实数_________．
【答案】
【解析】因为向量，所以，
又，
所以，得，
解得．
故答案为：.
变式24．（2023·全国·高三专题练习）非零向量，，若，则______.
【答案】/-0.5
【解析】因为，所以，
由题易知，，
所以.
故答案为：
变式25．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知向量，若，则________．
【答案】
【解析】因为，，所以，
又，所以，解得.
故答案为：
变式26．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意得，，则，设，
得，且，满足条件的向量的坐标可以为（答案不唯一或者）.
故答案为：（答案不唯一）
变式27．（2023·河南开封·统考三模）已知向量，，若，则______.
【答案】13
【解析】∵，，，
又∵，
∴，解得.
故答案为：13
【解题方法总结】
题型六：建立坐标系解决向量问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设的夹角为，，，
，，，又，
不妨设，，
，所以，即，
，
由，
当时，即时，有最小值．
故选：B
例17．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则，，
由，得，
所以，，
所以．
故选：C.
例18．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为、、、、，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，做轴于点，所以，
由已知可得，，，
所以，，，
所以.
故选：B.
变式28．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）如图，在圆内接四边形中，.若为的中点，则的值为（ ）
A．-3B．C．D．3
【答案】C
【解析】连接，由余弦定理知，所以.
由正弦定理得，所以为圆的直径，
所以，所以，从而，
又，所以为等边三角形，
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系.
则，
所以.
故选：C.
变式29．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且恰好可在内任意旋转，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为是面积为的等边三角形，记边长为，所以，解得，记内切圆的半径为，根据，
可得：，解得，因为正方形的面积为2，所以正方形边长为，
记正方形外接圆半径为，所以其外接圆直径等于正方形的对角线2，即，
根据正方形的对称性和等边三角形的对称性可知.正方形外接圆即为等边三角形的内切圆，
因为正方形可在内任意旋转，
可知正方形各个顶点均在该的内切圆上，
以的底边为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系如图所示：
故可知，
圆的方程为，
故设，
即，，，
故选:A.
变式30．（2023·河南安阳·统考三模）已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以
故选：C.
【解题方法总结】
边长为的等边三角形 已知夹角的任意三角形 正方形 矩形
平行四边形 直角梯形 等腰梯形 圆
建系必备（1）三角函数知识；（2）向量三点共线知识．
设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．
题型七：平面向量的实际应用
例19．（2023·江西宜春·高三校考阶段练习）一质点受到同一平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知，成120°角，且，的大小都为6牛顿，则的大小为______牛顿.
【答案】6
【解析】设三个力，，分别对于的向量为：
则由题知
所以
所以
又
所以
所以的大小为：6
故答案为：6
例20．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为___________.
【答案】N
【解析】由题设，N，
故答案为：N.
例21．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为___________.
【答案】8
【解析】设，的合力为，则，
∵，的夹角为，
∴，
∴，
∵物体平衡状态.∴物体的重力大小为=8.
故答案为：8.
变式31．（2023·全国·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为___________．
【答案】
【解析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0
所以，所以
故答案为：
变式32．（2023·浙江·高三专题练习）一条渔船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为，则河水的流速是________．
【答案】
【解析】如图，用表示河水的流速，表示船的速度，
则为船的实际航行速度．
由图知，，，则．
又，
所以．
即河水的流速是．
故答案为：.
【解题方法总结】
用向量方法解决实际问题的步骤
1．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，
，，
由，得，
整理得：，即．
故选：．
2．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则
A．B．C．5D．6
【答案】
【解析】向量，，，
，
，，，
，，
解得实数．
故选：．
3．（2022•北京）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】在中，，，，
以为坐标原点，，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，如图：
则，，，
设，
因为，
所以，
又，，
所以，
设，，
所以，其中，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为6，
所以，，
故选：．
考点要求
考题统计
考情分析
（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
（3）了解平面向量基本定理及其意义
（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
2023年I卷第3题，5分
2023年II卷第13题，5分
2023年甲卷（理）第4题，5分
2022年II卷第4题，5分
平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．
预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
结论
几何表示
坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
（当且仅当时等号成立）
考点要求
考题统计
考情分析
（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．
（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．
（3）了解平面向量基本定理及其意义
（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
2023年I卷第3题，5分
2023年II卷第13题，5分
2023年甲卷（理）第4题，5分
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平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视．
预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
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坐标表示
模
数量积
夹角
的充要
条件
的充要
条件
与
的关系
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