拔高点突破01 函数的综合应用（九大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc168734592" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc168734592 \h 2
\l "_Tc168734593" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc168734593 \h 3
\l "_Tc168734594" 题型一：函数与数列的综合 PAGEREF _Tc168734594 \h 3
\l "_Tc168734595" 题型二：函数与不等式的综合 PAGEREF _Tc168734595 \h 4
\l "_Tc168734596" 题型三：函数中的创新题 PAGEREF _Tc168734596 \h 4
\l "_Tc168734597" 题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） PAGEREF _Tc168734597 \h 5
\l "_Tc168734598" 题型五：倍值函数 PAGEREF _Tc168734598 \h 6
\l "_Tc168734599" 题型六：函数不动点问题 PAGEREF _Tc168734599 \h 7
\l "_Tc168734600" 题型七：函数的旋转问题 PAGEREF _Tc168734600 \h 7
\l "_Tc168734601" 题型八：函数的伸缩变换问题 PAGEREF _Tc168734601 \h 8
\l "_Tc168734602" 题型九：V型函数和平底函数 PAGEREF _Tc168734602 \h 9
\l "_Tc168734603" 03过关测试 PAGEREF _Tc168734603 \h 10
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数，图（2）函数

（1）当为奇数时，函数的图象是一个“”型，且在“最中间的点”取最小值；
（2）当为偶数时，函数的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若为等差数列的项时，奇数的图象关于直线对称，偶数的图象关于直线对称．
3、若为上的连续单峰函数，且为极值点，则当变化时，的最大值的最小值为，当且仅当时取得．
题型一：函数与数列的综合
【典例1-1】（2024·四川资阳·模拟预测）将函数在上的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列（其中），则（ ）
A．B．
C．D．为递减数列
【典例1-2】（2024·新疆·三模）已知数列中，，若（），则下列结论中错误的是（ ）
A．B．
C．（）D．
【变式1-1】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2024·四川资阳·模拟预测）将函数在上的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列（其中），则（ ）
A．B．
C．D．为递减数列
题型二：函数与不等式的综合
【典例2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 ．
【变式2-1】关于的不等式的解集为 ．
【变式2-2】（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）意大利数学家斐波那契年~年）以兔子繁殖数量为例，引人数列：，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为．设是不等式的正整数解，则的最小值为 ．
题型三：函数中的创新题
【典例3-1】（2024·江苏无锡·模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-2】（2024·山东·一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，则方程的所有解之和为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证明．“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数，我们就把它乘3再加上1．在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为1．我们记一个正整数经过次角股运算后首次得到1（若经过有限次角股运算均无法得到1，则记），以下说法有误的是（ ）
A．可看作一个定义域和值域均为的函数
B．在其定义域上不单调，有最小值，无最大值
C．对任意正整数，都有
D．是真命题，是假命题
【变式3-2】 19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则的值为（ ）
A．3B．5C．7D．9
题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
【典例4-1】设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实数的最大值为（ ）
A．－1B．0C．D．1
【典例4-2】已知函数，若对任意的实数a，b，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数，且，满足，当时，设函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】设函数，若对任意的实数和，总存在，使得，则实数的最大值为 ．
【变式4-3】设函数，，，若对任意的实数，，总存在实数，使得不等式成立，则的最大值是 ．
题型五：倍值函数
【典例5-1】（2024·辽宁沈阳·三模）函数的定义域为D，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ．
①； ②；
③； ④．
【典例5-2】函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：（1）在内是单调函数；（2）在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函数：①；②；③；④.其中存在“倍值区间”的序号为 .
【变式5-1】函数的定义域为，满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则的取值范围是 .
【变式5-2】（2024·山东济宁·三模）函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则的取值范围为 .
题型六：函数不动点问题
【典例6-1】（2024·高三·上海·开学考试）设函数（，e为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是 ．
【典例6-2】设函数（，为自然对数的底数）.若曲线 上存在使得，则的取值范围是 .
【变式6-1】设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是 .
【变式6-2】设函数，若曲线上存在点,使得成立，求实数的取值范围为 .
【变式6-3】已知，将函数,的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线C.若对于每一个.曲线C都是一个函数的图像，则的最大值为 .
题型七：函数的旋转问题
【典例7-1】设是正实数，将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都可以看成是某一个函数的图像，则的最大值为 ．
【典例7-2】（2024·高三·山东青岛·开学考试）将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】设是含数3的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）
A．B．3C．-3D．0
【变式7-2】（2024·浙江绍兴·三模）将函数的图像绕着原点逆时针旋转角得到曲线，当时都能使成为某个函数的图像，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
题型八：函数的伸缩变换问题
【典例8-1】定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【典例8-2】定义域为R的函数满足，当时， ，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【变式8-1】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-2】（2024·山西·二模）定义域为的函数满足，当时，，若当时，函数恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【变式8-3】（2024·江西·一模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
题型九：V型函数和平底函数
【典例9-1】（2024·上海青浦·二模）等差数列，满足
，则（ ）
A．n的最大值是50B．n的最小值是50
C．n的最大值是51D．n的最小值是51
【典例9-2】已知等差数列满足：，则的最大值为（ ）
A．18B．16C．12D．8
【变式9-1】等差数列，满足，则（ ）
A．的最大值为50B．的最小值为50
C．的最大值为51D．的最小值为51
【变式9-2】已知等差数列满足，，则的最大值为（ ）
A．14B．13C．12D．11
【变式9-3】设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是
A．B．的值可能为奇数
C．存在，满足D．的可能取值为
1．已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
2．已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知数列，满足，，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A．有零点B．是单调函数
C．是奇函数D．是周期函数
5．（2024·安徽·三模）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.已知，且，令的最小值为，则为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·江苏·模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数的图象是可由，，，四点确定的贝塞尔曲线，其中，在的图象上，在点，处的切线分别过点，.若，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数.若是高斯函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）
A．函数存在“和谐区间”
B．函数不存在“和谐区间”
C．函数存在“和谐区间”
D．函数（且）不存在“和谐区间”
10．（2024·云南昆明·模拟预测）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足：
①在区间上是单调函数；
②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”
已知定义在上的函数有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·广西柳州·模拟预测）设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2024·安徽阜阳·二模）设函数，若曲线是自然对数的底数）上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
13．（2024·河南郑州·一模）设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点使得，则的取值范围是
A．B．C．D．
15．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）设函数，若曲线上存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
16．设是函数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕坐标原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
17．定义域为R的函数满足，当时，,若时,对任意的都有成立，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
18．（多选题）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图像，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
19．（多选题）（2024·山东日照·三模）设函数的定义域为，满足，且当时，，则（ ）
A．
B．若对任意，都有，则的取值范围是
C．若方程恰有三个实数根，则的取值范围是
D．函数在区间上的最大值为，若存在，使得成立，则
20．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的最小值为 .
21．已知函数在区间上的最大值为M，当实数a，b变化时，M最小值为 ．
22．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，记的最大值为，则当取得最小值时，的值为 ．
23．函数（a，）在区间[0，c]（）上的最大值为M，则当M取最小值2时， .
24．（2024·全国·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
25．（2024·上海长宁·一模）已知a1，a2，a3与b1，b2，b3是6个不同的实数，若关于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，则集合A中，最多有 个元素．
26． 为等差数列，则使等式能成立的数列的项数n的最大值是 .
27．等差数列满足，则的最大值为 ．
28．若等差数列满足，则n的最大值为 ．