拔高点突破04 多元函数最值与双重变量最值问题（十三大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc169278861" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169278861 \h 2
\l "_Tc169278862" 02 题型归纳与总结 PAGEREF _Tc169278862 \h 2
\l "_Tc169278863" 题型一：消元法 PAGEREF _Tc169278863 \h 2
\l "_Tc169278864" 题型二：判别式法 PAGEREF _Tc169278864 \h 2
\l "_Tc169278865" 题型三：基本不等式法 PAGEREF _Tc169278865 \h 2
\l "_Tc169278866" 题型四：辅助角公式法 PAGEREF _Tc169278866 \h 3
\l "_Tc169278867" 题型五：柯西不等式法 PAGEREF _Tc169278867 \h 3
\l "_Tc169278868" 题型六：权方和不等式法 PAGEREF _Tc169278868 \h 3
\l "_Tc169278869" 题型七：拉格朗日乘数法 PAGEREF _Tc169278869 \h 4
\l "_Tc169278870" 题型八：三角换元法 PAGEREF _Tc169278870 \h 4
\l "_Tc169278871" 题型九：构造齐次式 PAGEREF _Tc169278871 \h 5
\l "_Tc169278872" 题型十：数形结合法 PAGEREF _Tc169278872 \h 5
\l "_Tc169278873" 题型十一：向量法 PAGEREF _Tc169278873 \h 5
\l "_Tc169278874" 题型十二：琴生不等式法 PAGEREF _Tc169278874 \h 6
\l "_Tc169278875" 题型题型十三：双重变量最值问题 PAGEREF _Tc169278875 \h 6
\l "_Tc169278876" 03 过关测试 PAGEREF _Tc169278876 \h 7
解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．
题型一：消元法
【典例1-1】已知正实数x，y满足，则的最大值为______.
【典例1-2】已知实数满足：，则的最大值为___________.
【变式1-1】对任给实数,不等式恒成立,则实数的最大值为__________.
题型二：判别式法
【典例2-1】（2024·广东茂名·二模）已知实数a，b满足，则的最小值是 .
【典例2-2】已知，且，则的取值范围是 .
【变式2-1】（2024·浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则 .
【变式2-2】设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则 .
题型三：基本不等式法
【典例3-1】已知，则的最小值为 .
【典例3-2】已知正实数，，满足，则的最小值为 ．
【变式3-1】已知，则的最大值为 ．
【变式3-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ．
题型四：辅助角公式法
【典例4-1】设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 .
【典例4-2】曲线上的点到坐标原点的距离的最小值等于 ．
【变式4-1】已知，则的最小值为 ．
题型五：柯西不等式法
【典例5-1】实数x、y满足，则的最大值是
【典例5-2】函数的最大值与最小值之积为 ．
【变式5-1】已知则的最大值为
【变式5-2】已知，，，则的最大值是 .
题型六：权方和不等式法
【典例6-1】已知为锐角，则的最小值为 .
【典例6-2】求的最大值为
【变式6-1】已知，求的最小值为
【变式6-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
题型七：拉格朗日乘数法
【典例7-1】，，，求的最小值．
，，，
【典例7-2】设为实数，若，则的最大值是 ．
【变式7-1】已知为非负数,,求的最值.
题型八：三角换元法
【典例8-1】函数的值域为 .
【典例8-2】函数的值域是 ．
【变式8-1】函数的值域是区间 ．
【变式8-2】若，且，则二元函数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
题型九：构造齐次式
【典例9-1】已知，，则的最大值是______.
【典例9-2】已知实数，若，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．8
【变式9-1】（2024·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足，则的最大值为____________．
题型十：数形结合法
【典例10-1】的最小值为（ ）
A．5B．C．6D．
【典例10-2】（2024·高三·山西太原·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为
A．B．C．D．
【变式10-1】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-2】已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
题型十一：向量法
【典例11-1】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ．
【典例11-2】如图，圆是的外接圆，，，，若，则的最大值是 ．
【变式11-1】（2024·浙江杭州·二模）已知都是单位向量，且，则的最小值为 ；最大值为
【变式11-2】（2024·四川成都·二模）已知向量，向量，则的最大值是 ．
题型十二：琴生不等式法
【典例12-1】在内，求的最大值 ．
【典例12-2】已知函数，则的最小值是 .
【变式12-1】半径为的球的内接三棱锥的体积的最大值为 .
【变式12-2】半径为的圆的内接三角形的面积的最大值是 ．
题型题型十三：双重变量最值问题
【典例13-1】规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为 .
【典例13-2】（2024·广东韶关·二模）定义，对于任意实数，则的值是（）
A．B．C．D．
【变式13-1】设，则 .
【变式13-2】（2024·全国·模拟预测）设为实数中最大的数．若，，则的最小值为 ．
1．已知直线与抛物线相交于，两点，若，则的最小值为（ ）
A．4B．C．8D．16
2．函数的值域为 .
3．函数的值域为 ．
4．已知正数，，满足，则的最小值为
5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知x，y，z均为正实数，则的最大值为 .
6．已知实数，，满足，则的最大值为
7．（2024·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 .
8．已知正实数x，y满足，则的最小值为 ．
9．向量满足，，，则的最大值为 .
10．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量，向量与不共线，且，则的最大值为 ．
11．已知两个非零向量满足，则的最大值是 ．
12．设为正数，，则的最大值是
13．函数的最大值为 .
14．已知实数满足：，则的最大值是 ．
15．已知圆是上的两个动点，且.设，，则的最大值为 .
16．已知实数x，y满足，则的最大值和最小值分别为 和 ．
17．函数的最小值为 .（其中表示中较大者）
18．（2024·湖北·一模）记，分别表示函数在上的最大值和最小值．则 ．
19．记表示x、y、z中的最小值.若x，，，则M的最大值为 .
20．已知将中最小数记为，最大数记为，若，则 ．