重难点突破01 抽象函数模型归纳总结（八大题型）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc168247275" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc168247275 \h 2
\l "_Tc168247276" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc168247276 \h 3
\l "_Tc168247277" 题型一：一次函数模型 PAGEREF _Tc168247277 \h 3
\l "_Tc168247278" 题型二：二次函数模型 PAGEREF _Tc168247278 \h 4
\l "_Tc168247279" 题型三：幂函数模型 PAGEREF _Tc168247279 \h 4
\l "_Tc168247280" 题型四：指数函数模型 PAGEREF _Tc168247280 \h 5
\l "_Tc168247281" 题型五：对数函数模型 PAGEREF _Tc168247281 \h 5
\l "_Tc168247282" 题型六：正弦函数模型 PAGEREF _Tc168247282 \h 6
\l "_Tc168247283" 题型七：余弦函数模型 PAGEREF _Tc168247283 \h 6
\l "_Tc168247284" 题型八：正切函数模型 PAGEREF _Tc168247284 \h 7
\l "_Tc168247285" 03过关测试 PAGEREF _Tc168247285 \h 7
一次函数
（1）对于正比例函数，与其对应的抽象函数为．
（2）对于一次函数，与其对应的抽象函数为．
二次函数
（3）对于二次函数，与其对应的抽象函数为
幂函数
（4）对于幂函数，与其对应的抽象函数为．
（5）对于幂函数，其抽象函数还可以是．
指数函数
（6）对于指数函数，与其对应的抽象函数为．
（7）对于指数函数，其抽象函数还可以是．
其中
对数函数
（8）对于对数函数，与其对应的抽象函数为．
（9）对于对数函数，其抽象函数还可以是．
（10）对于对数函数，其抽象函数还可以是．
其中
三角函数
（11）对于正弦函数，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于正弦平方差公式：
（12）对于余弦函数，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于余弦和差化积公式：
（13）对于余弦函数，其抽象函数还可以是
注：此抽象函数对应于余弦积化和差公式：
（14）对于正切函数，与其对应的抽象函数为
注：此抽象函数对应于正切函数和差角公式：
题型一：一次函数模型
【例1】已知且，则不等于
A．B．
C．D．
【变式1-1】已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
【变式1-2】（2024·河南新乡·一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知定义在上的单调函数，其值域也是，并且对于任意的，都有，则等于（ ）
A．0B．1C．D．
题型二：二次函数模型
【例2】（2024·高三·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．为偶函数
C．有最小值D．在上单调递增
【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
【变式2-3】（2024·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（ ）
A．135B．395C．855D．990
题型三：幂函数模型
【例3】已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．没有极值点
【变式3-1】（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数且在上单调递减
B．是奇函数且在上单调递增
C．是偶函数且在上单调递减
D．是偶函数且在上单调递增
题型四：指数函数模型
【例4】（多选题）（2024·山西晋中·三模）已知函数的定义域为，满足，且，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为非奇非偶函数
C．若，则D．对任意恒成立
【变式4-1】已知函数满足，，则的值为（ ）
A．15B．30C．60D．75
【变式4-2】如果且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】已知函数对一切实数满足，且，若，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
题型五：对数函数模型
【例5】（多选题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【变式5-1】已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2024·四川凉山·三模）已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有（ ）个．
①；
②若当时，，则函数在单调递增；
③对，；
④若，则.
A．1B．2C．3D．4
【变式5-3】（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
题型六：正弦函数模型
【例6】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．C．D．
【变式6-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．C．D．
题型七：余弦函数模型
【例7】（多选题）已知定义域为的函数满足，且，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．
D．
【变式7-1】（多选题）（2024·辽宁·二模）已知定义城为R的函数．满足，且，，则（ ）
A．B．是偶函数
C．D．
【变式7-2】（2024·吉林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A．B．C．0D．1
【变式7-3】（2024·安徽·模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．0B．-1C．2D．1
题型八：正切函数模型
【例8】定义在上的函数满足：，当时，有，且．设，则实数与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不确定
【变式8-1】（2024·浙江·二模）已知函数满足对任意的且都有，若，，则（ ）
A．B．C．D．
1．已知函数对于一切实数均有成立，且，则当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
2．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意，都有，则＝（ ）
A．0B．2018C．2 017D．1
3．满足对任意的实数都有，且，则（ ）
A．2017B．2018C．4034D．4036
4．如果函数对任意满足，且，则
A．4032B．2016C．1008D．504
5．设函数的定义域为，对任意实数，，只要，就有成立，则函数（ ）
A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
7．设函数的定义域为，，若，则等于（ ）
A．B．2C．D．
8．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．为偶函数
B．
C．
D．
9．（多选题）已知函数的定义域为，，，则（ ）
A．B．
C．的一个周期为3D．
10．（多选题）（2024·江西九江·二模）已知函数的定义域为，，，则下列命题正确的是（ ）
A．为奇函数B．为上减函数
C．若，则为定值D．若，则
11．（多选题）（2024·江苏南京·二模）已知函数满足，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．是奇函数
12．（多选题）（2024·广西·二模）已知函数的定义域与值域均为，且，则（ ）
A．B．函数的周期为4
C．D．
13．（多选题）已知非常数函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．或
C．是上的增函数D．是上的增函数
14．（多选题）已知是定义在上的函数，，且，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．的最小值是1
D．不等式的解集是
15．（多选题）已知函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（多选题）（2024·高三·云南昆明·开学考试）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．
B．
C．是奇函数
D．是偶函数
17．（多选题）（2024·重庆·三模）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A．B．
C．D．
18．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，时，，，则（ ）
A．
B．函数在区间单调递增
C．函数是奇函数
D．函数的一个解析式为
19．（多选题）已知函数，对于任意，，则（ ）
A．B．
C．D．
20．（多选题）（2024·高三·辽宁·期中）已知函数的定义域为，，且，当时，，则（ ）
A．
B．是偶函数
C．当A，B是锐角的内角时，
D．当，且，时，
21．（多选题）函数的定义域为，，若，则下列选项正确的有（ ）
A．B．
C．函数是增函数D．函数是奇函数
22．（多选题）定义在上的函数，对，均有，当时，，令，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（多选题）已知定义在上的函数满足：对，都有，则对于，，下式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
24．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ．
25．已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
26．已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 .
27．（2024·高三·江苏扬州·开学考试）写出满足的函数的解析式 ．
28．（2024·高三·河南·开学考试）已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝ ．
29．已知函数，，且，，，…，，，则满足条件的函数的一个解析式为 .
30．若函数满足，写出一个符合要求的解析式 ．
31．同时满足下列两个条件：①；②的函数可以为 .