第06讲 函数的图象（九大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc167965633" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc167965633 \h 2
\l "_Tc167965634" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc167965634 \h 3
\l "_Tc167965635" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc167965635 \h 4
\l "_Tc167965636" 知识点1：掌握基本初等函数的图像 PAGEREF _Tc167965636 \h 4
\l "_Tc167965637" 知识点2：函数图像作法 PAGEREF _Tc167965637 \h 4
\l "_Tc167965638" 解题方法总结 PAGEREF _Tc167965638 \h 6
\l "_Tc167965639" 题型一：由解析式选图（识图） PAGEREF _Tc167965639 \h 6
\l "_Tc167965640" 题型二：由图象选表达式 PAGEREF _Tc167965640 \h 7
\l "_Tc167965641" 题型三：表达式含参数的图象问题 PAGEREF _Tc167965641 \h 9
\l "_Tc167965642" 题型四：函数图象应用题 PAGEREF _Tc167965642 \h 12
\l "_Tc167965643" 题型五：函数图象的变换 PAGEREF _Tc167965643 \h 14
\l "_Tc167965644" 题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值 PAGEREF _Tc167965644 \h 15
\l "_Tc167965645" 题型七：利用函数的图像解不等式 PAGEREF _Tc167965645 \h 16
\l "_Tc167965646" 题型八：利用函数的图像求恒成立问题 PAGEREF _Tc167965646 \h 17
\l "_Tc167965647" 题型九：利用函数的图像判断零点的个数 PAGEREF _Tc167965647 \h 18
\l "_Tc167965648" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc167965648 \h 19
\l "_Tc167965649" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc167965649 \h 20
\l "_Tc167965650" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc167965650 \h 22
\l "_Tc167965651" 易错点：图像的变换问题 PAGEREF _Tc167965651 \h 22
\l "_Tc167965652" 答题模板：图像的变换问题 PAGEREF _Tc167965652 \h 22
知识点1：掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．
【诊断自测】函数的图象是下列的（ ）
A．B．
C．D．
知识点2：函数图像作法
1、直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）．
2、图像的变换
（1）平移变换
①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；
②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；
③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；
④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于坐标原点对称；
②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有
或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点横坐标为，即为常数）；
若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）．
注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
⑤函数与的图像关于对称．
（3）伸缩变换
①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到．
②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到．
【诊断自测】若函数的定义域为，则函数与的图象关于（ ）
A．直线对称B．直线对称
C．直线对称D．直线对称
解题方法总结
（1）若恒成立，则的图像关于直线对称．
（2）设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称．
（3）若，对任意恒成立，则的图象关于直线对称．
（4）函数与函数的图象关于直线对称．
（5）函数与函数的图象关于直线对称．
（6）函数与函数的图象关于点中心对称．
（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．

题型一：由解析式选图（识图）
【典例1-1】（2024·安徽淮北·二模）函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案.
【变式1-1】（2024·天津·二模）研究函数图象的特征，函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
题型二：由图象选表达式
【典例2-1】（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数的大致图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-2】（2024·宁夏固原·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
1、从定义域值域判断图像位置；
2、从奇偶性判断图像的对称性；
3、从周期性判断图像循环往复；
4、从单调性判断大致变化趋势；
5、从特殊点排除错误选项．
【变式2-1】（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2024·陕西安康·模拟预测）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
题型三：表达式含参数的图象问题
【典例3-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数，为实数，的导函数为，在同一直角坐标系中，与的大致图象不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
根据参数的不同情况对每个选项逐一分析，推断出合理的图像位置关系，排除相互矛盾的位置关系，以得出正确选项．
【变式3-1】（多选题）（2024·安徽合肥·一模）函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】（多选题）函数的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】（多选题）（2024·福建泉州·模拟预测）函数的大致图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-4】（多选题）函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
题型四：函数图象应用题
【典例4-1】如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）

A． B．
C． D．
【典例4-2】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点在边长为1的正方形边上运动，是的中点，当点沿运动时，点经过的路程与的面积的函数的图象的形状大致是（ ）
A．B．
C．D．
E．均不是
【方法技巧】
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
【变式4-1】（2024·安徽·模拟预测）如图，直线在初始位置与等边的底边重合，之后开始在平面上按逆时针方向绕点匀速转动（转动角度不超过），它扫过的三角形内阴影部分的面积是时间的函数．这个函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】（2024·山东·二模）如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由A点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）．
A．B．
C．D．
题型五：函数图象的变换
【典例5-1】（2024·北京西城·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
【典例5-2】（2024·辽宁·三模）已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
熟悉函数三种变换：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.
【变式5-1】（2024·江西赣州·二模）已知函数的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-2】（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于点对称
【变式5-3】已知函数的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）
A．B．C．D．
题型六：利用函数的图像研究函数的性质、最值
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数.若，，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【典例6-2】用表示a，b，c三个数中的最小值，则函数的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【方法技巧】
利用函数图像求函数的最值，先作出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从图像上寻找取得最值的位置，计算出答案，体现了数形结合的思想．
【变式6-1】已知，设函数在区间上的最大值为.若，则正实数的最大值为 .
【变式6-2】对，，记，则函数的最小值为 ．
题型七：利用函数的图像解不等式
【典例7-1】已知函数，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例7-2】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围．先作出所涉及到的图像，求出它们的交点，根据题意结合图像写出答案.
【变式7-1】已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】（2024·高三·江西·期中）已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
题型八：利用函数的图像求恒成立问题
【典例8-1】（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例8-2】已知函数设若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
先作出函数的图像，观察参数的变化怎样影响函数的形态和位置关系，找到参数的临界值，进一步得出参数的范围．
【变式8-1】已知函数的定义域为,满足,且时,.若,都有,则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-2】（2024·河南新乡·三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型九：利用函数的图像判断零点的个数
【典例9-1】（2024·高三·重庆渝中·期中）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例9-2】设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧】
利用函数图像判断方程解的个数．由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解的个数．
【变式9-1】设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】（多选题）已知，若恰有3个零点，则的可能值为（ ）
A．0B．1C．D．2
【变式9-3】已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-4】（2024·高三·广东江门·开学考试）定义函数,若至少有3个不同的解,则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）函数在区间的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023年天津高考数学真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
4．（2022年新高考天津数学高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
1．已知函数.
（1）求函数的解析式；
（2）利用信息技术，画出函数的图象；
（3）求函数的零点（精确度为0.1）
2．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函数的图象.
3．经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量），而用横轴来表示产品数量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲线？为什么？
4．图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象.
（1）试说明图（1）上点A，点B以及射线AB上的点的实际意义；
（2）由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，你能根据图象，说明这两种建议是什么吗？
易错点：图像的变换问题
易错分析： 平移变换是高中数学图像变换中的基础，包括左右平移和上下平移.在平移过程中，学生常常会出现平移方向或平移单位长度的误判.学生在对称变换方面的易错点主要是对称关系的混淆.伸缩变换主要涉及图像的横向和纵向拉伸或压缩，学生在这方面的易错点主要是伸缩比例的理解和应用.翻折变换主要涉及图像沿x轴或y轴的翻折，在这方面的易错点主要是翻折轴的选择和翻折后的图像判断.
答题模板：图像的变换问题
1、模板解决思路
仔细阅读题目，然后确定题目要求的是哪种图像变换，如平移、伸缩、对称、翻折等。
2、模板解决步骤
第一步：确定变换类型，理解变换规则
第二步：分析函数表达式，绘制草图
第三步：应用变换规则，验证结果
【易错题1】已知函数，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【易错题2】要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
考点要求
考题统计
考情分析
（1）函数图像的识别
（2）函数图像的应用
（3）函数图像的变换
2024年全国甲卷第7题，5分
2024年I卷第7题，5分
2023年天津卷第4题，5分
2022年天津卷第3题，5分
2022年全国乙卷第8题，5分
2022年全国甲卷第5题，5分
基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是研究函数性质的重要工具．高考中总以一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以及灵活地应用图像判断方程解的个数，属于每年必考内容之一．
复习目标：
（1）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
（2）会画简单的函数图象.
（3）会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.