第03讲 复数（八大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc171857734" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc171857734 \h 2
\l "_Tc171857735" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc171857735 \h 3
\l "_Tc171857736" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc171857736 \h 4
\l "_Tc171857737" 知识点1：复数的概念 PAGEREF _Tc171857737 \h 4
\l "_Tc171857738" 知识点2：复数的四则运算 PAGEREF _Tc171857738 \h 4
\l "_Tc171857739" 解题方法总结 PAGEREF _Tc171857739 \h 6
\l "_Tc171857740" 题型一：复数的概念 PAGEREF _Tc171857740 \h 6
\l "_Tc171857741" 题型二：复数的运算 PAGEREF _Tc171857741 \h 8
\l "_Tc171857742" 题型三：复数的几何意义 PAGEREF _Tc171857742 \h 10
\l "_Tc171857743" 题型四：复数的相等与共轭复数 PAGEREF _Tc171857743 \h 12
\l "_Tc171857744" 题型五：复数的模 PAGEREF _Tc171857744 \h 14
\l "_Tc171857745" 题型六：复数的三角形式 PAGEREF _Tc171857745 \h 16
\l "_Tc171857746" 题型七：与复数有关的最值问题 PAGEREF _Tc171857746 \h 19
\l "_Tc171857747" 题型八：复数方程 PAGEREF _Tc171857747 \h 23
\l "_Tc171857748" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc171857748 \h 25
\l "_Tc171857749" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc171857749 \h 26
\l "_Tc171857750" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc171857750 \h 27
\l "_Tc171857751" 易错点：复数运算法则的应用有误 PAGEREF _Tc171857751 \h 27
\l "_Tc171857752" 答题模板：复数式的计算 PAGEREF _Tc171857752 \h 28
知识点1：复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
= 1 \* GB3 ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
= 2 \* GB3 ②两个复数相等（两复数对应同一点）
= 3 \* GB3 ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
【诊断自测】（2024·湖南衡阳·模拟预测）若复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
所以的虚部为.
故选：D.
知识点2：复数的四则运算
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
【诊断自测】（2024·河北衡水·模拟预测）若为纯虚数，，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】，
因为为纯虚数，所以，所以，，
所以.
故选：A.
解题方法总结
复数的方程在复平面上表示的图形
(1)表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)表示以为圆心，r为半径的圆．

题型一：复数的概念
【典例1-1】（2024·新疆·三模）复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设且，则，
因为，所以,解得：，则的虚部为.
故选：C
【典例1-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）设复数,则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,则,虚部是.
故选:A.
【方法技巧】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
【变式1-1】（2024·重庆·三模）设复数z满足，则z的虚部为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【解析】设复数，
因为复数z满足，可得，
即，则，，解得，
所以复数的虚部为.
故选：A.
【变式1-2】（2024·福建泉州·模拟预测）若，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
所以的虚部是.
故选：C
【变式1-3】若复数满足，且为纯虚数，则 .
【答案】/
【解析】因为为纯虚数，设，且，则，
因为，所以，所以，
解得，所以.
故答案为：.
题型二：复数的运算
【典例2-1】（2024·四川·模拟预测）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令复数，则，
根据两个复数相等的条件有，解得，所以．
故选：A
【典例2-2】设i是虚数单位，则复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由.
故选: C．
【方法技巧】
设，则
（1）
（2）
（3）
【变式2-1】（2024·青海海南·一模）已知，则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
则，
故选：D.
【变式2-2】（2024·江西景德镇·三模）下列有关复数，的等式中错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，
对于A，令，，A错误；
对于B，
，B正确；
对于C，，
则，，
因此，C正确；
对于D，，D正确.
故选：A
【变式2-3】已知复数，的模长为1，且，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】设，，
则，，
所以，
，
因为，，所以，，
因为，所以，所以，
即，所以，
所以，，
所以.
故选：.
题型三：复数的几何意义
【典例3-1】（2024·山西吕梁·三模）已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】由复数满足，可得，则，
则复数 对应的点为位于第四象限.
故选：D.
【典例3-2】若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D．
【方法技巧】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．
【变式3-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】，所以，所以，
其在复平面内的对应点为，位于第一象限．
故选：A．
【变式3-2】（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】设，则，
则，即，所以，，
解得，，故，对应的点在第四象限．
故选：D．
【变式3-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知复数的实部为的虚部为，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】由复数，可得，
所以，所以在复平面内的对应点为，位于第四象限．
故选：D．
【变式3-4】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转，
所以旋转后的向量所对应的复数为，
所以旋转后的向量，
又因为，，
所以向量在上的投影向量是，即对应复数是.
故选：.
题型四：复数的相等与共轭复数
【典例4-1】（2024·天津武清·模拟预测）已知，且，则 ．
【答案】1
【解析】由题意可得：，所以.
故答案为：1.
【典例4-2】已知复数z的共轭复数是，若，则 .
【答案】
【解析】设，则，
因为，所以，
整理得，
所以，解得，所以.
故答案为：
【方法技巧】
复数相等：
共轭复数：．
【变式4-1】（2024·山东聊城·二模）已知，且，则 ．
【答案】1
【解析】，
所以，解得.
故答案为：1
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为 ．
【答案】
【解析】解法一：
设复数，则，
由复数相等，得，解得，即复数，
所以，所以的虚部为．
解法二：
由，得．因为是实数，所以也是实数，
则有，所以的虚部为．
故答案为：
【变式4-3】已知，且满足（其中为虚数单位），则 ．
【答案】2
【解析】由题意，可得，
所以，解得，所以.
故答案为：2
【变式4-4】已知a，，，则 .
【答案】6
【解析】，故，，得，，所以.
故答案为：6.
题型五：复数的模
【典例5-1】已知复数，且，则 .
【答案】或3
【解析】复数，
可得，则
整理得，，即
因为，所以且，
又因，故，解得，或.
故答案为：或3.
【典例5-2】（2024·江西南昌·三模）已知复数满足，则 .
【答案】
【解析】令，则有，即，，
解得，即，.
故答案为：.
【方法技巧】

【变式5-1】复数的模为 .
【答案】/
【解析】
故．
故答案为：．
【变式5-2】已知，则 ．
【答案】5
【解析】假设，
则，，
∵，
∴①，②，③，
∴③-①-②得，
∴，
∴，
故答案为：5
【变式5-3】（2024·福建厦门·三模）复数满足，，则 .
【答案】
【解析】设，则，
由，，
得，解得，
所以，
故答案为：.
【变式5-4】已知复数数列满足，则 .
【答案】
【解析】因为，则，
所以
所以，
所以
.
故答案为：
题型六：复数的三角形式
【典例6-1】一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”. 已知，，，其中，，则 ．(结果表示代数形式)
【答案】
【解析】因为，
所以，
又，，所以，
所以.
所以，
，
.
故答案为：.
【典例6-2】计算的结果是 .
【答案】
【解析】，
同理可得，
原式．
故答案为：
【方法技巧】
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
【变式6-1】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，则在下列表达式中表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因，则，
对于A，，故A项正确；
对于B， ，故B项错误；
对于C，，故C项错误；
对于D，由B项知，，故D项错误.
故选：A.
【变式6-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，
则，
所以，，即，
所以
故时，，故可取，
故选：D
【变式6-3】（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】，
在复平面内所对应的点为，在第二象限.
故选：B.
【变式6-4】（2024·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】由题意可得，
故，
所以
.
故选：B
题型七：与复数有关的最值问题
【典例7-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）若复数，满足，，则的最大值是（ ）
A．B．C．7D．8
【答案】D
【解析】设，，，，
因为，，
所以，，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
又表示点与的距离，
所以的最大值是，
故选：D.
【典例7-2】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】若复数z满足，则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中，
所以的最小值为.
故选：B.
【方法技巧】
利用几何意义进行转化
【变式7-1】（2024·高三·河北沧州·期中）已知复数，复数满足，则的最大值为（ ）
A．7B．6C．D．
【答案】A
【解析】，
又，
即在复平面内，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
又点到坐标原点的距离为，
所以的最大值为.
故选：A.
【变式7-2】（2024·湖南长沙·三模）已知复数z满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】表示对应的点是单位圆上的点，
的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离，
的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，
所以最大距离为，最小距离为，
所以的取值范围为.
故选：B
【变式7-3】（2024·江苏·模拟预测）若复数，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知在复平面中对应的点为以原点为圆心的单位圆上一点，
而在复平面中对应的点不妨设为，
所以，
易知.
故选：B
【变式7-4】（2024·湖北鄂州·一模）已知复数，满足，（其中i是虚数单位），则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】D
【解析】设复数在复平面内对应的点分别为
，
由题意可知：，
可知点的轨迹表示为焦点分别为的椭圆，
则长半轴长为，半焦距，短半轴长为，
且该椭圆的长轴所在直线为，短轴所在直线为．
因为点在上，且，
若使得最小，则需取得最小值，
即点为第一象限内的短轴端点，此时．
故选：D.
【变式7-5】（2024·山东·模拟预测）复数满足，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】设复数在复平面上的对应点为，
则可表示为复平面上点到的距离，
可表示为复平面上点到的距离，
由题意可知：点在线段的中垂线上，如下图：
线段的中点为，直线的斜率，
则的轨迹方程为，整理可得，
由可表示为点到的距离，
.
故选：A.
【变式7-6】已知复数满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】复数满足，
则复数z对应的点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆，
则椭圆短半轴长为，椭圆方程为，
表示椭圆上的点到原点的距离，
当点位于椭圆长轴上的顶点时，取值大值2；
当点位于椭圆短轴上的顶点时，取值小值；
故的取值范围为，
故选：D
【变式7-7】（2024·安徽安庆·一模）设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为（ ）
A．+iB．+iC．iD．i
【答案】A
【解析】复数满足条件，它是复平面上的单位圆，那么表示单位圆上的点到的距离，
要使此距离取最大值的复数，就是和连线和单位圆在第一象限的交点．
点到原点距离是2．单位圆半径是1，又，所以．
故对应的复数为．
故选：A
题型八：复数方程
【典例8-1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数是关于的方程的一个根，则 （ ）
A．25B．5C．D．41
【答案】C
【解析】因为复数是关于的方程的一个根，
所以，所以，
所以，所以，
则，
故选：C.
【典例8-2】（2024·江苏·一模）已知是关于x的方程的根，则实数（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.因为是关于x的方程的根，则另一根为
由韦达定理得，所以
故选：B
【方法技巧】
复数方程是包含复数的方程，其中复数具有实部和虚部。解复数方程时，通常将利用复数的代数形式及三角形式进行求解。
【变式8-1】（2024·上海嘉定·三模）已知复数x满足方程，那么 .
【答案】
【解析】因为，则.
故答案为：.
【变式8-2】已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝ ．
【答案】19
【解析】因为是关于x的方程的一个根，
所以是方程的另一个根，
所以，解得，
所以，
故答案为：19
【变式8-3】若是关于的实系数方程的一个复数根，则 .
【答案】3
【解析】∵实系数一元二次方程的一个虚根为，
∴其共轭复数也是方程的根.
由根与系数的关系知，，
∴ ，.
故答案为：
【变式8-4】的平方根为
【答案】
【解析】设所求复数为，由题意有，即，
则，解得或，即或，
即的平方根为，
故答案为.
【变式8-5】（2024·高三·上海浦东新·开学考试）若实系数方程的一个根是，则 ．
【答案】1
【解析】因为关于的实系数方程的一个根是，所以另一个根为，
根据韦达定理可得，所以.
又，所以，所以
故答案为：.
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【解析】依题意得，，故.
故选：D
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若，则（ ）
A．B．C．10D．
【答案】A
【解析】由，则.
故选：A
4．（2024年北京高考数学真题）已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得.
故选：C.
5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】C
【解析】若，则.
故选：C.
1．利用公式，把下列各式分解成一次因式的积；
（1）；
（2）.
【解析】（1）；
（2）.
2．若，则复平面内满足的点2的集合是什么图形？
【解析】解法1：由复数模的几何意义可知，复平面内满足的点Z的集合是以为圆心，以3为半径的圆.
解法2：.
即，
故复平面内满足的点2的集合是以为圆心，以3为半径的圆.
3．已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p、q的值．
【解析】∵－3＋2i方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0
即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.
∴解得
4．在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2）.
【解析】（1）,
∴方程的根为，即.
（2），
∴方程的根为，即.
易错点：复数运算法则的应用有误
易错分析： (1)区分与
(2)区分与
【易错题1】设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则.
其中的真命题为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，则由得，所以，故正确；
当时，因为，而知，故不正确；
当时，满足，但，故不正确；
对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.
【易错题2】已知（，为虚数单位），则（ ）
A．B．3C．1D．2
【答案】B
【解析】由，
可得，，
因此．
故选：B．
答题模板：复数式的计算
1、模板解决思路
复数的四则运算，解题的关键是知道．复数的乘法类似多项式（或单项式）乘法，复数的除法类似分母有理化．
2、模板解决步骤
第一步：如果是除法运算，利用分母有理化，将复数的除法化简．
第二步：按照多项式乘法，将复数乘法化简．
第三步：把代入，进一步化简，求得最终结果．
【经典例题1】已知a，b为实数，复数，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】因为，所以，
则，即，
从而，即，解得，故
故选：A.
【经典例题2】计算 （其中为虚数单位）．
【答案】/
【解析】.
故答案为：
考点要求
考题统计
考情分析
（1）复数的有关概念
（2）复数的几何意义
（3）复数的四则运算
2024年I卷第2题，5分
2024年II卷第1题，5分
2023年I卷第2题，5分
2023年II卷第1题，5分
2022年I卷II卷第2题，5分
2021年II卷第1题，5分
2021年I卷第2题，5分
高考对复数的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．
复习目标：
（1）通过方程的解，认识复数．
（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
（3）掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．