2025年高考数学一轮复习 讲练测第03讲 幂函数与二次函数（八大题型）（练习）（含解析）

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题型一：幂函数的定义及其图像
1．（2024·四川成都·一模）已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因为幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2．已知幂函数的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，且增加的速度越来越缓慢，
故该幂函数在第一象限的大致图象是B选项.
故选：B.
3．函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据幂函数的特点知选项A的图象为函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图像.
故选：A.
4．幂函数 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时为减函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】幂函数 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，幂函数为 SKIPIF 1 < 0 ，
且在 SKIPIF 1 < 0 时为减函数，满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，幂函数为 SKIPIF 1 < 0 ，
且在 SKIPIF 1 < 0 时为增函数，不合题意；
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
5．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意结合图象可知 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
题型二：幂函数性质的综合应用
6．（2024·高三·福建三明·期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ﹒
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ①；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ②；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ③．
综合①②③，求得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ﹒
7．函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则其值域为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 . 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .所以函数的值域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
8．当 SKIPIF 1 < 0 时，幂函数 SKIPIF 1 < 0 为单调递减函数，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意可知 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 在第一象限是单调递减函数，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 在第一象限是单调递增函数，不符合题意；
综上： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
9．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若幂函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上严格单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】由幂函数的性质知， SKIPIF 1 < 0 ，在第一象限内，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，函数为奇函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，幂函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且为奇函数.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
10．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】幂函数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 且在定义域上单调递减，
所以需满足 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
题型三：由幂函数的单调性比较大小
11．（2024·贵州毕节·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，根据指数函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，根据幂函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，根据对数函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
12．记 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，幂函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又对数函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
13．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由指数函数的性质知 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由幂函数的性质知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
14．已知函数 SKIPIF 1 < 0 是幂函数，对任意的 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
【答案】B
【解析】根据函数为幂函数以及函数在 SKIPIF 1 < 0 的单调性，可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数 SKIPIF 1 < 0 是幂函数
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
又对任意的 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的增函数，故 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 单调递增的奇函数
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
故选：B
题型四：二次函数的解析式
15．已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为12，则函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 其对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为12，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16．已知 SKIPIF 1 < 0 （b，c为实数），且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】解法一：由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 .
解法二：由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
17．已知函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，二次函数 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ①，用 SKIPIF 1 < 0 代替上式中的 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ②，联立①②，可得 SKIPIF 1 < 0 ；设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
题型五：二次函数的图象、单调性与最值
18．（2024·辽宁沈阳·一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则它的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是二次函数，图象开口向上，排除A，C；
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以排除B；只有D符合.
故选：D.
19．已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的顶点坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，且截 SKIPIF 1 < 0 轴所得线段的长度是4，将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，则抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 的图象截 SKIPIF 1 < 0 轴所得线段的长度是4，
所以 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的图象为 SKIPIF 1 < 0 的图象右移2个单位得到的，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交点生标为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
20．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增，
A： SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
B： SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C： SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
D： SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：D.
21．（2024·高三·上海·期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是严格增函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
题型六：二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
22．已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为9，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）由题意得，二次函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的图象开口向上，对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
∵函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题意得，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 中取得，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，显然不合题意；
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
23．已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 的最大值为0，求实数a的值；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(3)令 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为1，求正实数a的取值范围．
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的最大值为0，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是减函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由题意 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，简图如下，
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，成立.
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不成立；
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
24．已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围：
(2)是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ?若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∵函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范围为： SKIPIF 1 < 0
（2）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，函数在对称轴处取最小值，
SKIPIF 1 < 0 ，
若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
此时函数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
此时函数的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
综上，存在实数 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0
题型七：二次方程实根的分布及条件
25．（2024·高三·陕西商洛·期中）若 SKIPIF 1 < 0 ，则一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 有整数根的充要条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，
由图可知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有整数解 SKIPIF 1 < 0 .
综上， SKIPIF 1 < 0 是方程有整数解的充要条件．
故选;A.
26．若关于x的一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是 ．
【答案】（ SKIPIF 1 < 0 ，＋∞）
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
27．方程 SKIPIF 1 < 0 的两根均大于1，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的两个根都大于 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型八：二次函数最大值的最小值问题
28．已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，及 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 最小值，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1） SKIPIF 1 < 0 ，故开口向上，且对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 ，单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题意可知，问题转化为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
因为 SKIPIF 1 < 0 显然恒成立，
SKIPIF 1 < 0 ，开口向上，且对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故原不等式成立；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
可知， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值2.
29．已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)设 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 最小时，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【解析】（1）由已知得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，
则二次函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由（2）知， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，问题转化为求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值，
易知 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 ，作出图象如下，
当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值， SKIPIF 1 < 0 ，
综上，当 SKIPIF 1 < 0 最小时， SKIPIF 1 < 0 .
1．（2024·北京朝阳·一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对于函数 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，为常数函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增”的充分而不必要条件.
故选：A.
2．（2024·北京西城·一模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 存在最小值，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 存在最小值，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
3．（2024·广东·一模）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且互不相等，则使得指数函数 SKIPIF 1 < 0 ，对数函数 SKIPIF 1 < 0 ，幂函数 SKIPIF 1 < 0 中至少有两个函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增的有序数对 SKIPIF 1 < 0 的个数是（ ）
A．16B．24C．32D．48
【答案】B
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则有 SKIPIF 1 < 0 个；
若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则有 SKIPIF 1 < 0 个；
若 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则有 SKIPIF 1 < 0 个；
若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则有 SKIPIF 1 < 0 个；
综上所述：共有 SKIPIF 1 < 0 个.
故选：B.
4．已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 的取值是（ ）
A．1B．-3C．1或-3D．2
【答案】A
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 为幂函数，∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，不满足题意.
综上可知： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5．（2024·四川宜宾·模拟预测）给出下列四个函数：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
故选：C
6．函数 SKIPIF 1 < 0 是幂函数，对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值( )
A．恒大于0B．恒小于0
C．等于0D．无法判断
【答案】A
【解析】函数f(x)＝(m2－m－1) SKIPIF 1 < 0 是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x2 015；
当m＝－1时，f(x)＝x－4.
又因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数f(x)是增函数，
所以函数的解析式为f(x)＝x2 015，
函数f(x)＝x2 015是奇函数且是增函数，
若a，b∈R且a＋b>0，ab