第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法（十大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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\l "_Tc166613212" 01 考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc166613212 \h 2
\l "_Tc166613213" 02 知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc166613213 \h 3
\l "_Tc166613214" 03 考点突破·题型探究 PAGEREF _Tc166613214 \h 4
\l "_Tc166613215" 知识点1：一元二次不等式 PAGEREF _Tc166613215 \h 4
\l "_Tc166613216" 知识点2：分式不等式 PAGEREF _Tc166613216 \h 5
\l "_Tc166613217" 知识点3：绝对值不等式 PAGEREF _Tc166613217 \h 5
\l "_Tc166613218" 解题方法总结 PAGEREF _Tc166613218 \h 6
\l "_Tc166613219" 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 PAGEREF _Tc166613219 \h 7
\l "_Tc166613220" 题型二：含参数一元二次不等式的解法 PAGEREF _Tc166613220 \h 8
\l "_Tc166613221" 题型三：三个二次之间的关系 PAGEREF _Tc166613221 \h 11
\l "_Tc166613222" 题型四：分式不等式以及高次不等式的解法 PAGEREF _Tc166613222 \h 13
\l "_Tc166613223" 题型五：绝对值不等式的解法 PAGEREF _Tc166613223 \h 16
\l "_Tc166613224" 题型六：二次函数根的分布问题 PAGEREF _Tc166613224 \h 17
\l "_Tc166613225" 题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题 PAGEREF _Tc166613225 \h 20
\l "_Tc166613226" 题型八：解含参型绝对值不等式 PAGEREF _Tc166613226 \h 25
\l "_Tc166613227" 题型九：解不等式组型求参数问题 PAGEREF _Tc166613227 \h 27
\l "_Tc166613228" 题型十：不等式组整数解求参数问题 PAGEREF _Tc166613228 \h 29
\l "_Tc166613229" 04真题练习·命题洞见 PAGEREF _Tc166613229 \h 32
\l "_Tc166613230" 05课本典例·高考素材 PAGEREF _Tc166613230 \h 33
\l "_Tc166613231" 06易错分析·答题模板 PAGEREF _Tc166613231 \h 35
\l "_Tc166613232" 易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当 PAGEREF _Tc166613232 \h 35
\l "_Tc166613233" 答题模板：一元二次不等式恒成立问题 PAGEREF _Tc166613233 \h 36
知识点1：一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且
（1）当时，二次函数图象开口向上．
（2） = 1 \* GB3 ①若，解集为．
= 2 \* GB3 ②若，解集为．
= 3 \* GB3 ③若，解集为．
（2） 当时，二次函数图象开口向下．
= 1 \* GB3 ①若，解集为
= 2 \* GB3 ②若，解集为
【诊断自测】不等式的解集是，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为不等式的解集是，
所以，和是方程的根，
所以，即，，则．
故选：D．
知识点2：分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
【诊断自测】不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式，等价于或，
解得或，
即不等式的解集为.
故选：A
知识点3：绝对值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解.
【诊断自测】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】原不等式可变形为或，
由，解得；由，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
解题方法总结
1、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．
3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．
4、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．
由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．
5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；
8、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．

题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【典例1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由不等式，可得，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
【典例1-2】不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示） ．
【答案】
【解析】不等式的解集为，
∴，且1，2是方程的两个实数根，
∴，解得，，其中；
∴不等式化为，
即，解得，
因此所求不等式的解集为 .
故答案为：．
【方法技巧】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在 轴上，结合图象，写出其解集.
【变式1-1】不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】由题意，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
【变式1-2】一元二次不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由可得，
即，
解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【典例2-1】设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于的不等式：．
【解析】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当，有，即，解得
所以的取值范围是．
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
【典例2-2】已知关于的一元二次不等式的解集为．
(1)求和的值；
(2)求不等式的解集．
【解析】（1）由题意知和是方程的两个根且，
由根与系数的关系得，解得；
（2）由、，不等式可化为，
即，则该不等式对应方程的实数根为和．
当时，，解得，即不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为空集，
当时，，解得，即不等式的解集为，
综上：当时，解集为，
当时，解集为空集，
当时，解集为．
【方法技巧】
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数，数形结合处理．
(3)有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论．
【变式2-1】已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
【解析】（1）若不等式的解集为R，
则，
解得，
即实数的取值范围,；
（2）不等式，
①当时，即时，不等式的解集为，
②当时，即或时，
由，解得或，
所以不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当或时，不等式的解集为．
【变式2-2】解关于实数的不等式：．
【解析】对方程 ，
当时，
即时,不等式的解集为
当时，
即或时,
的根为，
不等式的解集为；
综上可得，时,不等式的解集为，
或时，不等式的解集为.
【变式2-3】设函数，其中．解不等式；
【解析】因为，不等式等价于，
又，所以，即，其中，所以，
所以原不等式等价于，
即，
所以当时，不等式组的解集为；
当时，不等式组的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
题型三：三个二次之间的关系
【典例3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，方程的两根为2和3，
则，
则为，其解集为.
故选：D.
【典例3-2】已知的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【解析】已知的解集为，
则的两根为和2，
所以，即，
代入不等式，化简整理得，
因为，故，
不等式的解集为或.
故选：C
【方法技巧】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
【变式3-1】若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为不等式的解集是：，
所以和是方程的两个实数根，
由，解得：，
故不等式，即为，
解不等式，得：，
所求不等式的解集是：.
故选：C．
【变式3-2】（多选题）不等式的解集为，且.以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】因为不等式的解集为，
则是方程的两个实数根，，又,
不妨令，，则，，但，故A不成立，符合题意；
令，，则，但，故B不成立，符合题意；
令，，则，，但，故C不成立，符合题意；
，故D成立，不符合题意．
故选：ABC.
【变式3-3】（多选题）已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
【答案】ABD
【解析】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；
故选：ABD
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法
【典例4-1】（2024·高三·上海杨浦·期中）关于x的不等式的解集是 .
【答案】或
【解析】因为，
所以，解得或，
所以的解集为或.
故答案为：或.
【典例4-2】已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，解得或，
由条件知与同解，
当时，显然不符合条件；
所以，或，即，或，
解得或，即.
所以的取值范围为.
故答案为：.
【方法技巧】
分式不等式化为二次或高次不等式处理．
【变式4-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】，即，即，
则，根据穿根法解得，
故答案为：.
【变式4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 .
【答案】
【解析】根据函数的图像可知：
，即，
不等式可化为，
即，
解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
【变式4-3】不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】原不等式可以化为，
因为，所以.
所以不等式的解集为.
故答案为：
题型五：绝对值不等式的解法
【典例5-1】（2024·高三·上海长宁·期中）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】当时，，
所以.
当时，，
或.
综上：解集为
故答案为：
【典例5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式的解集为 ．
【答案】；
【解析】或，
即或，所以不等式的解集为或，
故答案为：.
【方法技巧】
（1）
（2）；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【变式5-1】（2024·上海虹口·模拟预测）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】，当时，，解得，故解集为，
当时，，解集为，
当时，，解得，故解集为，
综上：不等式的解集为.
故答案为：
【变式5-2】不等式的解集是 ．
【答案】或
【解析】因为，所以或，
即或，
由解得或，
由可得，所以，
故不等式的解集为或.
故答案为：或.
题型六：二次函数根的分布问题
【典例6-1】已知函数，关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得，
当时，，递增；当时，，递减，
且；可知函数的图象如图所示，
令，则方程有三个不等的实根，
即为有两个不等的实根，
令，则有两个不等的实根，
则，所以不妨令，
则，解得，
故答案为：
【典例6-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足，
而函数图象开口向上，因此，则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
【方法技巧】
解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．
【变式6-1】已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
【变式6-2】已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，
当时，（时取等号），，
当时，，即在上为增函数，
当时，，即在上为减函数，
在处取得极大值.
当时，，即在上为减函数，
作出函数的图象如图所示：
设，
当时，方程有1个解，
当时，方程有2个解，
当时，方程有3个解，
当时，方程有1个解，
当时，方程有0个解，
方程等价为，
要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，
等价为方程有两个不同的根，且，，
设，
则 ，解得，
故选：D．
【变式6-3】已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为关于的方程在区间内有实根，
所以在区间内有实根，
令，，所以在上单调递减，
所以，即，
依题意与在内有交点，
所以.
故选：B
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题
【典例7-1】已知关于的不等式.
(1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；
(3)若不等式对有解，求的取值范围.
【解析】（1）
原不等式等价于，
当时，，即，不恒成立；
当时，若不等式对于任意实数恒成立，
则且，无解；
综上，不存在实数，使不等式恒成立.
（2）设，
当时，恒成立，
当且仅当，即，
解得即，
所以的取值范围是.
（3）若不等式对有解，
等价于时，有解.
令，
当时，即，此时显然在有解；
当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解；
当时，对称轴为，，
时，有解，
结合一元二次函数图象，易得：或，
解得或（无解），
又∵，
;
综上所述，的取值范围为.
【典例7-2】（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】.
【解析】当时，不等式恒成立，
所以当时，恒成立，则，
令，则在单调递增，
所以，所以.
故答案为：.
【方法技巧】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量与参数．
（2）一元二次不等式在R上恒（能）成立，可用判别式，一元二次不等式在给定的某个区间上恒（能）成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论处理．
【变式7-1】当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当时，不等式恒成立，
当时，满足不等式恒成立；
当时，令，则在上恒成立，
函数的图像抛物线对称轴为，
时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：D.
【变式7-2】已知函数，，
(1)当时，解不等式；
(2)若任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
所以，所以，所以的解集为.
（2）若对任意，都有成立，即在恒成立，
解法一：设，，对称轴，由题意，只须，
①当，即时，在上单调递增，所以，符合题意，所以；
②当，即时，在上单调递城，在单调递增，
所以，解得且，
所以.
综上，.
解法二：不等式可化为，即，设，，
由题意，只须，，
当且仅当即时等号成立，则，
所以，即.
（3）若对任意，存在，使得不等式成立，
即只需满足，，
，对称轴，在递减，在递增，
，，，对称轴，
①即时，在递增，恒成立；
②即时，在递减，在递增，
，，所以，故；
③即时，在递减，，，
所以，解得，综上：.
【变式7-3】若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】如图所示，若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，
则直线在时位于上方（可重合），且位于下方（可重合），
又因为在时为凹函数，所以当直线经过时符合题意，
由，得，此时直线为，则，即对恒成立，
则，则，即实数m的取值范围是.
故答案为：
【变式7-4】已知函数，若对任意，则所有满足条件的有序数对是 ．
【答案】
【解析】因为对任意，
所以必须满足，
即，
由，得，
解得，①，
再由，得，
解得，②，
由①②得，
所以，即，解得，
经检验，当，时，，则
的最大值为，的最小值为，
满足任意，
所以满足条件的有序数对只有一对，
故答案为：.
题型八：解含参型绝对值不等式
【典例8-1】已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为关于的不等式有实数解，
所以，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，即，
解得或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【典例8-2】若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，当且仅当时，等号成立，
由题意可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【方法技巧】
含参型绝对值不等式 ，可用零点分段法和图象法求解.
【变式8-1】若关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是
【答案】
【解析】不等式的解集为，即不等式的解集为，
所以恒成立；
而表示数轴上的x对应点到对应点的距离之和，它的最小值为，
故有，所以或，即或，
故答案为：.
【变式8-2】（2024·上海长宁·二模）若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为在绝对值三角不等式中，当同号时有，
又因为，
所以在恒成立，
所以或在恒成立，
即有或在恒成立，
由，解得，
由，解得，
综上所述实数a的取值范围为.
故答案为：
题型九：解不等式组型求参数问题
【典例9-1】设集合，集合为关于的不等式组的解集，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为不等式组的解集，，，
所以不等式在上恒成立，
且不等式的解集包含集合，
又不等式可化为，
所以不等式的解集为，
所以，所以，且，所以.
不等式在上恒成立，故，其中，
设，，
则在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以当时，函数，取最大值，最大值为，
所以，
所以当时，取最小值，最小值为.
故选：C.
【典例9-2】（2024·高三·山东菏泽·期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≤0B．a