第02讲 常用逻辑用语（五大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

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题型一：充分条件与必要条件的判断
1．（2024·北京房山·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得：，
解得：，
所以“”能推出“”，
但“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，
由为纯虚数，即且，
即且.
故选：D.
3．（2024·四川·模拟预测）“”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】等价于，即，
因为可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，其它选项均不满足；
所以“”的一个必要不充分条件是．
故选：B．
4．若x，，则“”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A：，是“”的必要不充分条件，故A正确；
B：，是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；
C：，是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
D：，是“”的充分不必要条件，故D错误；
故选：A
5．（2024·全国·模拟预测）已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，可得，可得，
则，所以，所以充分性成立；
由向量，可得，
当时，因为，所以，
即，解得或，所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
6．若是不等式成立的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
因为是成立的必要不充分条件，
所以.
故选：B.
7．（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数在上单调递增，由函数在内有零点，
得，解得，即命题成立的充要条件是，
显然成立，不等式、、都不一定成立，
而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，
所以命题成立的一个必要不充分条件是.
故选：D
8．已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为q的一个充分不必要条件是p，
所以是的一个真子集，
则，即实数a的取值范围是.
故答案为：.
9．（2024·高三·河南南阳·期中）已知：“”，：“”，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】对于，由可解得，
对于，由可解得，
因为是的必要不充分条件，所以解得．
故的取值范围为：.
故答案为：.
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
10．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“”是“”的必要条件
B．
C．
D．的充要条件是
【答案】B
【解析】对于A，当时，满足，但不满足，故“”不是“”的必要条件，故错误；
对于B，根据指数函数的性质可得，对于，即，故正确；
对于C，当时，，故错误；
对于D，当时，满足，但不成立，故错误.
故选：B.
11．给出下列命题
①；②；③；④．
其中真命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】①中，由不等式恒成立，所以命题为真命题；
②中，当时，此时，所以命题为假命题；
③中，当时，此时成立，所以命题为真命题；
④中，由，可得，所以命题为真命题．
故选：C.
12．下列命题中是真命题的为（ ）
A．，使B．，
C．，D．，使
【答案】B
【解析】对于A，由，得，所以不存在自然数使成立，所以A错误，
对于B，因为时，，所以，所以B正确，
对于C，当时，，所以C错误，
对于D，由，得，所以D错误，
故选：B
13．（2024·河北·模拟预测）命题：，，命题：，，则（ ）
A．真真B．假假C．假真D．真假
【答案】D
【解析】对于命题：令，则开口向上，对称轴为，
且，则，
所以，，即命题为真命题；
对于命题：因为，
所以方程无解，即命题为假命题；
故选：D.
题型四：根据命题的真假求参数的取值范围
14．（2024·陕西宝鸡·一模）命题“任意，”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若命题“任意，”为真命题，则，
设，，，当时，等号成立，
由对勾函数的性质可知，当时，函数单调递减，当单调递增，
，，所以，
即，
所以命题“任意，”为假命题，则的取值范围为.
故答案为：
15．若命题“”为假命题，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】命题“”的否定为：“”
命题“”为假命题等价于命题“”为真命题；
当时，，成立；
当时，结合一元二次函数的图象可得：，解得，
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
16．已知命题，，若命题是假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，命题的否定为“，”为真命题；
即不等式对恒成立，
所以，解得；
可得的取值范围为.
故选：C
题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定
17．命题“，使”的否定是（ ）
A．，使B．不存在，使
C．，使D．，使
【答案】D
【解析】命题“，使”的否定是，使.
故选：D.
18．（2024·全国·模拟预测）命题“，函数在上单调递增”的否定为（ ）
A．，函数在上单调递减
B．，函数在上不单调递增
C．，函数在上单调递减
D．，函数在上不单调递增
【答案】B
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，函数在上单调递增”的否定为“，函数在上不单调递增”．
故选：B．
19．命题的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】命题的否定为：.
故选：A.
20．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】命题“，”的否定是“，”．
故选：C．
1．（2024·陕西西安·模拟预测）设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为命题“，”是假命题，所以，恒成立，
则，对恒成立，
令，则二次函数的对称轴为直线，
要使得，恒成立，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A.
2．（2024·青海·模拟预测）记数列的前n项积为，设甲：为等比数列，乙：为等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若为等比数列，设其公比为，则，，
于是，，当时，不是常数，
此时数列不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；
若为等比数列，令首项为，公比为，则，，
于是当时，，而，
当时，不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选：D
3．（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为命题“”为真命题，所以．
令与在上均为增函数，
故为增函数，当时，有最小值，即，
故选：A．
4．（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意可知：的定义域为，且，
若，则，可知，
若，同理可得，所以为奇函数，
作出函数的图象，如图所示，
由图象可知在上单调递增，
若，等价于，等价于，等价于，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
5．（2024·上海崇明·二模）已知函数的定义域为．
命题：若当时，都有，则函数是D上的奇函数．
命题：若当时，都有，则函数是D上的增函数．
下列说法正确的是（ ）
A．p、q都是真命题B．p是真命题，q是假命题
C．p是假命题，q是真命题D．p、q都是假命题
【答案】C
【解析】对于命题，令函数，
则，此时，当函数不是奇函数，
所以命题为假命题，
对于命题，当时，都有，即，不可能，
即当时，可得，满足增函数的定义，所以命题为真命题.
故选：C.
6．（2024·北京丰台·一模）已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为，则，
，
若是奇函数，则，解得，
若是偶函数，则，解得，
所以若是偶函数且是奇函数，则，
所以由推得出是偶函数，且是奇函数，故充分性成立；
由是偶函数，且是奇函数推不出，故必要性不成立，
所以“”是“是偶函数，且是奇函数”的充分不必要条件.
故选：A
7．（2024·四川凉山·二模）已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】命题“，”是假命题，
则“，”是真命题，
所以有解，
所以，
又，
因为，所以，
即.
故选：B.
8．（2024·全国·模拟预测）命题，命题：函数在上单调，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设，则可化为．
充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增，因此充分性成立．
必要性：当时，在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，且在上恒成立，所以，则，此时函数在上单调递减．
综上可知，当函数在上单调时，或，因此必要性不成立．所以是的充分不必要条件．
故选：A．
9．（多选题）（2024·广东梅州·一模）已知直线，和平面，，且，则下列条件中，是的充分不必要条件的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BCD
【解析】A：若，，则直线，可能平行或异面，所以不能推出，故A错误；
B：若，则直线m垂直于平面的每一条直线，又，所以成立，
但若成立，根据线面垂直的判定，还需在平面找一条与n相交的直线，且m不在平面内，故q不能推出p，故B正确；
C：若，且，由面面平行的性质可知，成立；反之，由线面平行的判定可知当，不能推出，故C正确；
D：若，且，由面面垂直的判定定理可知成立；反之，若，且，则直线n与平面可能成任意角度，故D正确.
故选：BCD.
10．（多选题）（2024·云南楚雄·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BC
【解析】对A，当时，无意义，故A错误；
对B，易得，，则，可得，故B正确；
对C，当时，成立，故C正确；
对D，，可得，故D错误.
故选：BC
11．（多选题）（2024·高三·江苏盐城·期中）在中，若，则（ ）
A．对任意的，都有
B．对任意的，都有
C．存在，使成立
D．存在，使成立
【答案】AD
【解析】在中，当时，，取，则，，
，，则，B错，D对；
显然，即，则，
令，，，
因此函数在上单调递减，则，即，从而，A对，C错.
故选：AD
12．（2024·上海普陀·二模）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 .
【答案】（或,答案不唯一）
【解析】，，成等差数列，
则，即，解得或，
故“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是（或．
故答案为：（或,答案不唯一）
13．（2024·全国·模拟预测）“函数的图象关于中心对称”是“”的 条件．
【答案】充分必要
【解析】函数图象的对称中心为，
所以由“函数y=tanx的图象关于(x0,0)中心对称”等价于“”．
因为等价于，即．
所以“函数的图象关于中心对称”是“”的是充分必要条件．
故答案为：充分必要
14．（2024·上海长宁·一模）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围 .
【答案】
【解析】由题意可得：“任意，使得”是真命题，
注意到，整理得，
原题意等价于“任意，使得”是真命题，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
故答案为：.
15．若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能取值是 .（写出一个符合要求的答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】由可得，则，
所以，解得.
因为“”是“”的一个充分条件，
所以的一个可能取值为（答案不唯一，均满足题意）．
故答案为：（答案不唯一，均满足题意）.
16．（2024·安徽·模拟预测）已知集合，集合，全集为.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题知：当时，
，
又
，
或.
（2）若“”是“”的必要不充分条件，则 ，
，
①当时，集合，满足题意；
②当时，集合，
，则，又时，符合 ，
可得；
③当时，集合，
，则，又时，符合 ，
可得.
综上，实数的取值范围为.
17．（2024·上海普陀·一模）设函数的表达式为.
(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数的定义域为R，不恒为0，
函数为偶函数
，
所以“”是“函数为偶函数”的充要条件.
（2）当时，，求导得，函数在R上单调递增，
当时，，即函数在单调递增，又是偶函数，
因此，
即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
1．（2022年新高考北京数学高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
2．（2024年天津高考数学真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
3．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2022年新高考天津数学高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件，
由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件，
综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
5．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2022年新高考北京数学高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
7．（2021年天津高考数学试题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2021年北京市高考数学试题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
9．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
10．（2020年山东省高考数学真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
【答案】D
【解析】A项：因为，所以且是假命题，A错误；
B项：根据、易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知，C错误；
D项：恒大于等于，D正确，
故选：D.
11．（2020年山东省高考数学真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
12．（2020年北京市高考数学试卷）已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
13．（2020年浙江省高考数学试卷）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
14．（2021年天津高考数学试题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc166250747" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc166250747 \h 2
\l "_Tc166250748" 题型一：充分条件与必要条件的判断 PAGEREF _Tc166250748 \h 2
\l "_Tc166250749" 题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 PAGEREF _Tc166250749 \h 3
\l "_Tc166250750" 题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 PAGEREF _Tc166250750 \h 5
\l "_Tc166250751" 题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 PAGEREF _Tc166250751 \h 6
\l "_Tc166250752" 题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 PAGEREF _Tc166250752 \h 7
\l "_Tc166250753" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc166250753 \h 8
\l "_Tc166250754" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc166250754 \h 16