专题09 计数原理与概率统计（练习）-2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析）

这是一份专题09 计数原理与概率统计（练习）-2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析），共14页。
易混重难知识
1.分层抽样
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样.
抽样比 .
2.用样本的数字特征估计总体的数字特征
方差和标准差反映了数据波动程度的大小.
方差：；
标准差：.
3.百分位数
（1）把100个样本数据按从小到大排序，得到第p个和第p+1个数据分别为.可以发现，区间内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第p百分位数，或p%分位数.
（2）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
4.
5.古典概型的概率公式
（1）在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件发生的概率都是.
（2）对于古典概型，任何事件的概率为.
6.相互独立事件
（1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件.
（2）若A与B相互独立，则，.
（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立.
（4）若，则A与B相互独立.
7.二项式定理
公式叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项.
8.均值与方差的性质
（1）.
（2）.
9.条件概率及其性质
（1）一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.
（2）条件概率的性质：
（i）；
（ii）如果B和C是两个互斥事件，则.
10.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称此公式为全概率公式.
11.正态分布的定义及表示：
如果对于任何实数，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布，记作.
12.回归直线方程
①最小二乘法：通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
②回归方程：方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据
的回归方程，其中是待定参数.
，其中称为样本点的中心.
13.独立性检验
利用独立性假设、随机变量来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
易错试题提升
1.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
A.B.C.D.
2.某班12名同学某次测试的数学成绩(单位：分)分别为62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，则这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是( )
A.74B.78C.83D.91
3.展开式中的系数为( )
A.42B.48C.84D.96
4.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男女不同住一个房间，则女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是( )
A.B.C.D.
5.为了给学生树立正确的劳动观，使学生懂得劳动的伟大意义，某班从包含甲、乙的6名学生中选出3名参加学校组织的劳动实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为( )
A.B.C.D.
6.“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，尽管我国粮食生产连年丰收，但对粮食安全还是始终要有危机意识.某市有关部门为了宣传“节约型社会”，面向该市市民开展了一次网络问卷调查，目的是了解人们对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分X（满分：100分）服从正态分布，则
（附：若随机变量服从正态分布，则，）( )
7.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得是素数.素数对称为孪生素数对.从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为X，则( )
A.B.C.D.3
8.某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是( )
A.
B.估计这批产品该项质量指标的众数为45
C.估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D.从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5
9.（多选）已知二项式的展开式中二项式系数和为64，则下列结论中正确的是( )
A.二项展开式中各项的系数之和为
B.二项展开式中二项式系数最大的项为
C.二项展开式中无常数项
D.二项展开式中含项的系数为240
10.（多选）进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则( )
A.中央大街日旅游人数的极差是1.2
B.冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3
C.冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大
D.冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大
11.为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其线性回归方程为，已知，，.若该班某学生的脚长为24厘米，估计其身高为__________厘米.
12.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为____________.
13.中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是反映中华民族对生命，健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝.某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x(单位：克)与药物功效y(单位：药物单位)之间具有关系.检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的平均值为6克，标准差为2，则估计这批中医药的药物功效的平均值为________________.
14.孔子曰：温故而知新，可以为师矣.数学学科的学习也是如此，为了调查“数学成绩是否优秀”与“是否及时复习”之间的关系，某校志愿者从高二年级的所有学生中随机抽取60名学生进行问卷调查，得到如下样本数据：
（1）试根据小概率值的独立性检验，能否认为“数学成绩优秀”与“及时复习”有关系？
（2）在该样本中，用分层抽样的方法从数学成绩优秀的学生中抽取7人，再从这7人中随机抽取3人.设抽取3人中及时复习的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：，其中.
15.为积极响应“反诈”宣传教育活动的要求，提高市民“反诈”意识，某市进行了一次网络“反诈”知识竞赛，共有10000名市民参与了知识竞赛，现从参加知识竞赛的市民中随机地抽取100人，得分统计如下：
(1)现从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，求这两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率；
(2)若该市所有参赛市民的成绩X近似服从正态分布，试估计参赛市民中成绩超过79分的市民数（结果四舍五入到整数）；
(3)为了进一步增强市民“反诈”意识，得分不低于80分的市民可继续参与第二轮答题赠话费活动，规则如下：
①参加答题的市民的初始分都设置为100分；
②参加答题的市民可在答题前自己决定答题数量，每一题都需要用一定分数来获取答题资格（即用分数来买答题资格），规定答第k题时所需的分数为；
③每答对一题得2分，答错得0分；
④答完n题后参加答题市民的最终分数即为获得的话费数（单位：元）.
已知市民甲答对每道题的概率均为0.6，且每题答对与否都相互独立，则当他的答题数量n为多少时，他获得的平均话费最多？
参考数据：若，则，，
答案以及解析
1.答案：C
解析：从6张卡片中无放可随机抽取2张，共有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，其中数字之积为4的倍数的有，，，，，，6种情况，故概率为.故选C.
2.答案：C
解析：将这组数据按从小到大的顺序排列为57，62，65，69，72，74，78，83，85，89，91，95.
因为，
所以这12名同学这次测试的数学成绩的第60百分位数是83.
故选：C.
3.答案：A
解析：，
的第项为，（），
，
系数为42.
故选：A.
4.答案：C
解析：3名女生需要住2个房间或3个房间.
若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为；
若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为.
其中，女生甲和女生乙恰好住在同一间房的方法种数为，
所以女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是.故选C.
5.答案：B
解析：法一：令事件A为甲被选中，事件B为乙被选中，则，，故.故选B.
法二：令事件A为甲被选中，事件B为乙被选中，.
6.答案：D
解析：因为随机变量X服从，所以，，所以，，所以，，所以.故选D.
7.答案：C
解析：解法一：由题知8个数对中的孪生素数对为，，，，共4个孪生素数对，所以X的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，所以，故选C.
解法二：由题知8个数对中的孪生素数对为，，，，共4个孪生素数对，则X服从超几何分布，故.
8.答案：C
解析：A项：，解得，A正确；
B项：频率最大的一组为第二组，中间值为45，所以估计这批产品该项质量指标的众数为45，B正确；
C项：由于质量指标大于60的频率之和为，所以60不是中位数，C错误；
D项：由于质量指标在的频率之和为，用频率估计概率，故从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为，D正确.故选C.
9.答案：ABD
解析：A项，展开式中二项式系数和为，对于，令可得其展开式的系数和为，故A项正确；
B项，展开式的通项为，，二项式系数最大的项为，故B项正确；
C项，令，得，即二项展开式中有常数项，故C项错误；
D项，令，得，所以，故D项正确.故选ABD.
10.答案：BC
解析：对于A，根据所给折线图可以看出中央大街日旅游人数的最大值为2.8万人，最小值为0.9万人，所以极差为万人，故A错误；
对于B，从图中可以看出，冰雪大世界日旅游人数的数据按照从小到大可排列为1.7，1.8，1.9，2.3，2.4，2.6，2.9中位数为2.3，所以B正确；
对于C，冰雪大世界日旅游人数的平均数为万，
中央大街日旅游人数的平均数为万，所以冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大，故C正确；
对于D，冰雪大世界日旅游人数的方差为
中央大街日旅游人数的方差为，
所以冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小，故D错误.
11.答案：166
解析：易得，.
，，将代入，得，解得，.
当时，.
12.答案：
解析：甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：
（1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为种；
（2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为种，
即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为.
若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为，
故所求的概率为.
故答案为：.
13.答案：20
解析：设这个样本中成分甲的含量分别为，，，，，，平均值为，
则，所以，
所以，
所以，
于是，
则.
故答案为：20
14.答案：（1）“数学成绩优秀”与“及时复习”有关系
（2）见解析
解析：（1）零假设为：“数学成绩优秀”与“及时复习”没有关系.根据数据计算，，
可以推断不成立，即认为“数学成绩优秀”与“及时复习”有关系，该推断犯错误的概率不超过0.001.
（2）根据分层抽样方法得，选取的7人中，及时复习的有5人，不及时复习的有2人.X的所有可能取值为1，2，3.
，，，
所以X的分布列为
所以X的数学期望.
15.答案：(1)
(2)1587
(3)或
解析：（1）从该样本中随机抽取两名市民的竞赛成绩，基本事件总数为，
设“抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分”为事件A，
则事件A包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，
所以，
即抽取的两名市民中恰有一名市民得分不低于70分的概率为；
（2）因为，所以，
故参赛市民中成绩超过79分的市民数约为；
（3）以随机变量表示甲答对的题数，
则且，
记甲答完n题所加的分数为随机变量X，
则，所以，
依题意为了获取答n道题的资格，
甲需要的分数为：，
设甲答完n题后的最终得分为，
则
.
由于，所以当或时，取最大值.
即当他的答题数量为或时，他获得的平均话费最多.
数字特征
样本数据
频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点的横坐标
中位数
将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）
把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标
平均数
样本数据的算术平均数
每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和
名称
定义
符号表示
包含关系
若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）
（或）
相等关系
如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，则称事件A与事件B相等
A=B
并事件
（和事件）
事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）
（或）
交事件
（积事件）
事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
（或）
互斥事件
若为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
对立事件
若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
且（U为全集）
数学成绩优秀（人数）
数学成绩不优秀（人数）
及时复习（人数）
25
5
不及时复习（人数）
10
20
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
成绩（分）
频数
6
12
18
34
16
8
6
X
1
2
3
P