专题08 平面解析几何（练习）-2025届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】（含解析）

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易混重难知识
1.两条直线平行与垂直的判定：设两条直线的斜率分别为.
（1）；（2）.
2.直线的方程：
（1）点斜式：.（2）斜截式：.
（3）两点式：.（4）截距式：.
（5）一般式：(A，B不同时为0) .
3.直线的交点坐标与距离公式
①一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
②两点间的距离公式.
③点到直线的距离：点到直线的距离.
④两条平行直线间的距离：若直线的方程分别为，，则两平行线的距离.
4.判断直线与圆的位置关系的方法：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：相交，相离，相切.
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径r的大小）：设圆心到直线的距离为d，则相交，相离，相切.
5.圆与圆的位置关系：设圆半径为，圆半径为.
6.椭圆的方程与简单几何性质
7.双曲线的几何性质
8.抛物线的几何性质
易错试题提升
1.过点且与直线垂直的直线方程为( )
A.B.
C.D.
2.在平面直角坐标系xOy中，已知A是圆上的一点，B，C是圆上的两点，则的最大值为( )
A.B.C.D.
3.已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为，，到渐近线的距离为3，过的直线轴，与双曲线C的右支交于A，B两点，则的面积为( )
A.9B.24C.36D.72
4.已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最小值为( )
A.B.C.D.
5.已知抛物线的焦点为，，点是抛物线C上一动点，则的最小值是( )
A.3B.5C.7D.8
6.已知椭圆的左右焦点为，，P为椭圆C上一点，，则的面积为( )
A.B.1C.3D.
7.已知抛物线的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线，，且直线，分别与抛物线C交于A，B和D，E，则四边形ADBE面积的最小值是( )
A.32B.64C.128D.256
8.F是双曲线的左焦点，O是坐标原点，直线与双曲线C的左、右两支分别交于P，Q两点，且，则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
9.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，若M，N为C上关于原点对称的两点，则( )
A.C的标准方程为
B.
C.
D.四边形的周长随MN的变化而变化
10.（多选）已知O为坐标原点，点F为抛物线焦点，点，直线交抛物线C于A，B两点(不与P点重合)，则以下说法正确的是( )
A.
B.存在实数m，使得
C.若，则
D.若直线PA与PB的倾斜角互补，则
11.已知圆关于直线对称，圆C交y于A，B两点，则________
12.已知抛物线的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为______________.
13.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，的周长是13，则____________.
14.已知双曲线的离心率为，右焦点为.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得为定值?若存在.求出该定值；若不存在，请说明理由.
15.已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，.
(1)求E的方程；
(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线交于点N.求证：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：直线的斜率为，
所以与直线垂直的直线斜率为，
故由点斜式可得，即，
故选：B.
2.答案：B
解析：由点是圆上的一点，B，C是圆上的两点，
可得圆心，，半径，，
根据题意，当点A与圆的距离最短时，且过A与圆相切时，
此时取得最大值，此时，
可得，所以，所以.
故选：B.
3.答案：C
解析：由题知，设双曲线的焦距为，则，解得，
双曲线，，．
将代入，解得，，
的面积为．
故选：C．
4.答案：D
解析：如图，由题可知，圆M的圆心坐标为，半径为1，
设椭圆C的左焦点为E，即，
则，
故要求的最小值，即求的最小值，
所以的最小值等于，
即的最小值为，
故选：D.
5.答案：A
解析：由题意得，
由抛物线焦半径公式可知，，
故，显然连接AF，与抛物线交点为，
此时取得最小值，即当A，P，F三点共线时，最小，
最小值为，
故的最小值为3.
故选：A
6.答案：A
解析：由题意得，解得，
由椭圆定义可得，，
由余弦定理得，
因为，，
所以，解得，
则.
故选：A.
7.答案：C
解析：由题意抛物线的焦点为，显然，斜率存在且不为0，
设直线方程为，设，，由，得
则，即，
设直线的方程为，设，
由，得
则，即，
，当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
8.答案：C
解析：因为直线与双曲线C的左、右两支分别交于P，Q两点，
所以，
因为，所以，
所以，
过P作轴于点G，在中，，，
所以，
所以点P的坐标为，
因为点P在双曲线上，
所以，化简得，
所以，整理得，
所以，所以，
因为，所以，所以，
故选：C
9.答案：ABC
解析：由题意得，上顶点为，离心率为，故，，，
故C的标准方程为，显然A正确，
连接，，由对称性得，
结合椭圆的定义得，
故，
当且仅当，时取等，故B正确，
设，，而，故，
故，，
故，故C正确，
易知四边形的周长为，为定值，故D错误.
故选：ABC.
10.答案：ACD
解析：由已知，抛物线，，，焦点，
不妨设为，，设A，B到准线的距离分别为，，
对于A，由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右，，
由抛物线的定义，故选项A正确；
对于B，消去x，化简得()，
则，，，，，
，，，
，，
不存在实数m，使得，选项B错误；
对于C，，，
，，
又由选项B判断过程知，，
解得，，或，，，
若，则，选项C正确；
对于D，由题意，，，，，
直线PA与PB的倾斜角互补时，斜率均存在，且，
，代入，，化简得，
由选项B的判断知，，，
，故选项D正确.
11.答案：2
解析：圆，即，圆心，半径，
因为圆C关于直线对称，所以，解得，
所以，圆心，半径，
则圆心到y轴的距离，所以.
故答案为：2
12.答案：
解析：由得，
所以直线过点.
连接AM，则，由题意知点Q在以AM为直径的圆上，
设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，则，当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以的最小值为.
故答案为：.
13.答案：6
解析：如图，连接，，，
因为C的离心率为，所以，即，
所以，
因为，所以为等边三角形，
又，所以直线DE为线段的垂直平分线，
所以，，
则的周长为，
，
而，所以直线DE的方程为，
代入椭圆C的方程，得，
设，，则，，
所以，
故答案为：6.
14.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意可得解得
则双曲线C的标准方程为.
（2）由题意可知直线l的斜率不为0，设直线，，，，
联立，整理得，
则，.
因为，所以.
将代入上式，
得.
若为定值，则，解得，
故存在点，使得为定值.
15.答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）依题意，得，则，
又A，C分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆E的方程为.
（2）因为椭圆E的方程为，所以，，，
因为P为第一象限E上的动点，设，则，
易得，则直线BC的方程为，
，则直线PD的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线PA的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，MN与CD不重合，所以.
圆心距与两圆半径的关系
两圆的位置关系
内含
内切
相交
外切
外离
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
一般方程
焦点坐标
顶点坐标
范围
长轴长
短轴长
焦距
离心率
，
越接近于1，椭圆越扁；越接近于0，椭圆越圆
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
焦点坐标
顶点坐标
范围
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点对称
实、虚轴长
实轴长为，虚轴长为
离心率
双曲线的焦距与实轴长的比
渐近线方程
标准方程
范围
准线
焦点
对称性
关于x轴对称
关于y轴对称
顶点
离心率
焦半径长
焦点弦长