四川省眉山市仁寿县第一中学南校区2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二次根式有意义的条件化简集合，结合交集的概念即可得解.
【详解】集合，集合，则集合.
故选：D.
2. 平面向量，，若，则实数（ ）
A. B. 9C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的数量积公式结合向量垂直公式得参数.
【详解】由，可知，
，即，
故选：B
3. 已知二项式展开式中的系数是，则实数a的值为（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由二项式定理可列方程求解参数.
【详解】因为二项式的展开式中的系数是，
所以，解得.
故选：C.
4. 为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：若，则，，．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.
【详解】依题意，
所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为.
故选：A.
5. 已知定义域为的奇函数满足，，则（ ）
A. B. 5C. D. 2024
【答案】A
【解析】
【分析】根据周期性和奇偶性求解即可．
【详解】由得，，
又因为为上奇函数且，所以，
故选：A．
6. 高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：
由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（ ）
参考公式：，
A. 12B. 10C. 9D. 11
【答案】C
【解析】
分析】设回归方程，利用表中数据，根据最小二乘原理求得系数，即得方程，再用方程代入温度预测病毒数量即可.
【详解】y关于x的线性回归方程为，直线过样本中心点
由表格数据得，，
，
，
故根据最小二乘原理知，
所以，
即线性回归方程为；
将代入方程，得，
即可预测病毒数量为.
故选：C
7. 设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可.
【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件.
故选:D.
8. 体积为4的长方体中，则该长方体的最小外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据长方体的外接球直径公式结合基本不等式即可得出最小值.
【详解】设
又因为体积为4，得出,
长方体的外接球直径为
则长方体的最小外接球表面积为.
故选：B.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．）
9. 设i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. 的虚部为1B.
C. 在复平面内的对应点位于第一象限D.
【答案】AC
【解析】
【分析】首先求出，然后根据虚部的概念、模的计算公式、复数的几何意义以及复数的乘方逐一判断各个选项即可.
【详解】对于A，，它的虚部为1，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，在复平面内的对应点位于第一象限，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：AC.
10. 已知奇函数的定义域为，若，则（ ）
A. B. 的图象关于直线对称
C. D. 的一个周期为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断.
【详解】对于A，由定义域为且函数为奇函数，可得，A选项正确；
对于B，由，可得，则函数关于直线对称，B选项错误；
对于C，由以及奇函数性质可知，
可得，即可得，即C选项正确；
对于D，根据C中的结论可知，
即可得，函数的一个周期为，D选项正确；
故选：ACD.
11. 下列结论中，错误的结论有（ ）
A. 取得最大值时的值为
B. 若，则的最大值为
C. 函数的最小值为
D. 若，，且，那么的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为，
所以取得最大值时的值为，故A错误；
对于B，令，
若，，，，当时取等号，
所以，则，则的最大值为，故B错误；
对于C，函数，
令，当时，解得，不满足题意，故C错误；
对于D，若，，且，
所以，
当时，即时取等号，
所以的最小值为，故D正确.
故选：ABC.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卡上）
12. 已知函数零点为和1，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据分段函数函数值求参计算即可.
【详解】因为,
所以.
所以
所以.
故答案为：4.
13. 口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望______.
【答案】##
【解析】
【分析】由题意知X的可能取值，计算所求的概率值，写出X的概率分布，求出数学期望值.
【详解】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2；
则，
，
，
随机变量X的概率分布为；
所以数学期望.
故答案为：.
14. ，，都有，则实数m的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】把不等式成立，转化为函数的导数小于0在0,m内恒成立，进而即可求解.
【详解】不妨，由题意分式转化为，
则，即，故函数单调递增，
又因为，解得，
，单调递增，所以.
故答案为： .
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）
15. 如图，正方体中，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，设，连接，即可证明，从而得证；
（2）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
连接，设，连接，则为中点，
在中，因为为的中点，所以，
又因为平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为2，则，
，
设为平面的一个法向量，由，
得，即，令得
设与平面所成角大小为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
16. 已知等差数列an的公差，且满足，.
（1）求数列an的通项公式；
（2）记，求数列的前2022项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列基本量的运算求得公差，即可求解通项公式.
（2）利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
因为，，所以，所以；
【小问2详解】
，
所以数列的前n项和，
所以=.
17. “十四五”时期，成都基于历史文化底蕴、独特资源禀赋、生活城市特质和市民美好生活需要，高水平推进“三城三都”（世界文创名城、旅游名城、赛事名城和国际美食之都、音乐之都、会展之都）建设.2023年，成都大运会的成功举办让赛事名城的形象深入人心，让世界看到成都的专业、活力和对体育的热爱；2024年，相约去凤凰山体育场观看成都蓉城队的比赛已经成为成都人最时尚的生活方式之一．已知足球比赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．成都蓉城队2024年七月还将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，设成都蓉城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与B队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．
（1）求成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与B队比赛获得积分的概率；
（2）用表示成都蓉城队七月与队和B队比赛获得积分之和，求的分布列与期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为
【解析】
【分析】（1）由题意可知，成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分包括3种情况，且每种情况之间是互斥事件，然后根据独立事件和互斥事件的概率公式可求得结果；
（2）由题意可知的所有可能取值为，求出相应的概率，从而可求出的分布列与期望．
【小问1详解】
设事件“成都蓉城队主场与队比赛获得积分为3分”，
事件“成都蓉城队主场与队比赛获得积分为1分”，
事件“成都蓉城队主场与队比赛获得积分为0分”，
事件“成都蓉城队客场与队比赛获得积分为3分”，
事件“成都蓉城队客场与队比赛获得积分为1分”，
事件“成都蓉城队客场与队比赛获得积分为0分”，
事件“成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分”．
则．
所以成都蓉城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率为．
【小问2详解】
由题意可知的所有可能取值为，
所以的分布列为：
所以的期望
18. 已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且.
（1）求，的值；
（2）用函数单调性的定义证明在上单调递增；
（3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法可得与；
（2）利用赋值法可得，且当时；
（3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可.
【小问1详解】
由，
则，
又当时，，
则，
；
【小问2详解】
令，则，即，
当时，，且，
即，
即在上恒成立，
由，可知，
令，，且，即，
则，
所以，
即在上单调递增；
小问3详解】
由已知，
又由（1）得，
所以，
又函数在上单调递增，
则恒成立，
所以恒成立，
又，
即，
解得.
19. 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）若数列满足，记为数列前项和．证明：．
【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）．
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负即可求解，
（2）根据题意可得，即可由导数结合分类讨论求解最值，进一步将问题转化为，构造函数，求导即可求解最值求解，
（3）根据（2）的求解可得不等式和，即可根据，得，由累加法以及裂项求和即可求证.
【小问1详解】
当时，，
故当单调递减；
当单调递增．
综上，的单调递减区间为，单调递增区间为．
【小问2详解】
由题意，．
①当时，在单调递减，
由，不合题意；
②当时，在单调递减，单调递增．
由恒成立，得．
即．
令，
恒成立，
所以在单调递减，且．
故当，符合题意，
当，不合题意．
综上，的取值范围为．
【小问3详解】
由，
得，且．
由（2）可知，令，有可得，
令可得即．
由得即．
两边取对数得，由上述不等式得
于是，
所以．
当时，，不等式成立；
当时，
．即当时，不等式成立．
综上，得证．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
温度x（℃）
6
8
10
病毒数量y（万个）
30
22
20
X
0
1
2
P



0
1
2
3
4
6