初中数学人教版（2024）九年级下册28.2 解直角三角形及其应用精品课时练习

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知识精讲
知识点01 解直角三角形
1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫作解直角三角形.
2.直角三角形的边角关系
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。
(1)三边之间的关系：a²+b²=c².
(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°.
(3)边角之间的关系： sinA=ac,csA=bc, tanA=ab,sinB=bc,csB=ac,tanB=ba.
【即学即练1】已知中，，，D是AC上一点，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
知识点02 解直角三角形的应用
1.解直角三角形的几种类型及解法
(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A)，其解法为 ∠B=90∘−∠A,c=asinA,b=atanA(或 b=c2−a2).
(2)已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为∠B=90°-∠A，a=c·sin A，b=c·cs A(或 b=c2−a2).
(3)已知两直角边a，b，其解法为 c=a2+b2,由 tanA=ab得∠A，∠B=90°-∠A.
(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为b= c2−a2,由 sinA=ac求出∠A，∠B=90°-∠A.
2.解直角三角形的应用
(1)仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角.
(2)坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
(3)方向角(方位角)：如图中∠1，过观测点O作一条水平线(一般向右为东)和一条铅垂线(向上为北)，则观测点O与目的地的连线与表示南北方向的铅垂线的夹角叫作方向角(方位角).在解有关方向角问题时，常以南北或东西方向线为直角边，构造直角三角形求解.
(4)跨度、中柱：如房屋顶人字架跨度为AB，中柱为CD.
【即学即练2】如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．6米B．米C．米D． 米
能力拓展
考法01 解直角三角形
【典例1】如图，点E是矩形中边上一点，沿折叠为，点F落在上．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
考法02 应用举例
【典例2】如图，直立于地面上的电线杆，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是、，坡面的坡度，测得米，米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆的高度为（ ）米．
A．B．C．D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为，，则两脚张开的距离AB为（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，，，则的长是（ ）
A．B．3C．D．
3．中国最长的索道为张家界天门山索道全长为7454米，若索道AC和地面AB的夹角为，则索道的落差BC可表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为米，则两景点A、B间的距离为多少米（结果保留根号）．（ ）
A．200米B．300米C．米D．米
5．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __．
6．如图：两张宽度都为的纸条交叉重叠在一起，两张纸条交叉的夹角为α（见图中的标注），则重叠（阴影）部分的面积表示为 _____．
7．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为___________千米．
8．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高米，她乘电梯会有碰头危险吗？______．（填是或否）（可能用到的参考数值：，，）
9．如图，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为．
(1)求点B的坐标；
(2)求的值．
10．如图，为了测量一条河流的宽度（河的两岸是平行的），一测量员在河北岸边的点M处，测得河南岸边的两根电线杆P和Q的位置，经测量发现，点P在点M的正南方向，点Q在点M南偏东的方向，已知两根电线杆P、Q之间的距离为190米，求河宽PM．（结果精确到1米）【参考数据：，，】
题组B 能力提升练
1．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是线段上的动点，过作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连结．当最小时，（ ）
A．B．C．D．
2．一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为45°，若窗高米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则在A处搭建的挡板AC（垂直于AB）的长最少应为（ ）
A．米B．米C．米D．1.5米
3．如图，在边长为12的等边中，D为边上一点，，点E是上一动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转60°得到线段．当点F恰好落在边上时，则的面积是（ ）
A．4B．C．8D．
4．如图，在矩形中，，直线l与分别相交于点E，F，P，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．要求我们可以通过构造直角三角形进行计算：在，利用三角函数定义可求出的值，请在此基础上计算____________（结果保留根号）
6．如图，△ABC中，，垂足H在BC边上，如果，，，那么___（用含和的式子表示）．
7．半径为5的是锐角三角形的外接圆，，连接、，延长交弦于点.若是直角三角形，则弦的长为___________．
8．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，，则房顶A离地面EF的高度为___________m．（结果精确到，参考数据：，，）
9．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门高6.5米，学生身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像头A的仰角为，求体温检测有效识别区域段的长（结果保留根号）
10．消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC（）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动，张角（），转动点A距离地面的高度AE为4米．
(1)当起重臂AC的长度为24米，张角时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为________米．
(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：）．（提示：当起重臂AC伸到最长且张角最大时，云梯顶端C可以达到最大高度）
题组C 培优拔尖练
1．如图，已知菱形的边长为4，对角线相交于点O，点分别是边上的动点，，连接，与相交于点E．以下四个结论：①点是等边三角形；②的最小值是；③若时，；④当时，．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4
2．如图，在中，是线段上的动点，以为直径作，分别交于点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．D．
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝30，，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出以下结论：①；②；③；④正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
5．图1是郑州的网红打卡点 “戒指桥”， 其数学模型如图2所示． 线段是其中一条拉索， 点在圆上， 点是圆和水平桥面的交点． 小明测得， 且在 B点和点观测点的仰角均为， 则点到桥面的距离为_____， “戒指” 的半径为______．
6．如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点O顺时旋转n个45°得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是______．
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，CB＝8，点D为AC中点.现将线段CD绕点B逆时针旋转得到C'D'，若点D'恰好落在AB边上，则点C'到AB的距离为 __，若点A恰好在C'D'上，则AC'的长为 __．
8．如图，若点E为正方形的边上一点，，，点M为的中点，过点M的直线分别交，边于点P，Q，且，则的长为_____．
9．如图，在△ABC中，以为一边向下作矩形，其中．M为线段上的动点（且不与A、B重合），过M作，交于点N．
(1)如图，以MN为边作矩形MNPQ，使边NP在线段DE上，点Q在AC上．
①当MN为5时，矩形的面积为 ___________；
②设MN=x，矩形MNPQ的面积为y，试求出y关于x的函数表达式；
③矩形MNPQ的面积y是否有最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
(2)如图，过点N作AB的平行线，交线段AC于点F，连接MF，若△MNF为直角三角形，请直接写出线段MN的长度．
10．如图，在中，，cm，cm，点M从点A出发，沿折线→以2cm/s速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以1cm/s的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题：
(1)当t为何值时，？
(2)点M在线段上运动时，是否存在某一时划t使得∽？若存在，请求出此刻的t值；若不存在，请说明理由；
(3)当t为何值时，为直角三角形？
11．（1）【证明体验】如图1，正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．
①求证：；
② ；
（2）【思考探究】如图2，矩形中，，，E、F分别是边和对角线上的点，，，求的长；
（3）【拓展延伸】如图3，菱形中，，对角线，交的延长线于点H，E、F分别是线段和上的点，，，求的长．
12．如图（1），在中，，，．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，在线段的延长线上取一点，使得，连接，以为斜边向下作，其中，设点运动的时间为秒．
(1)求线段的长．（用含的代数式表示）
(2)当点落在上时，求的值．
(3)当被的边分成的两部分面积比为时，求的值．
(4)如图（2），作点关于的对称点，连接，当直线与的一边垂直时，直接写出的值．
课程标准
课标解读
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
能够利用锐角三角函数的边角关系，求解直角三角形角或者边，从而解决实际问题