初中数学人教版（2024）九年级下册27.1 图形的相似精品习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级下册27.1 图形的相似精品习题，文件包含2024年人教版数学九年级下册同步讲义+分层练习第03讲图形的相似教师版docx、2024年人教版数学九年级下册同步讲义+分层练习第03讲图形的相似学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
目标导航
知识精讲
知识点01 相似图形
1.形状相同的图形叫作相似图形。
【微点拨】
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。
（2）全等图形是一种特殊的相似图形。
2.相似多边形
定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形。它们对应边的比叫作相似比。
【微点拨】
（1）相似多边形是特殊的相似图形。
（2）相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
【即学即练1】下列说法正确的是（ ）
A．经过三点可以作一个圆
B．两个矩形一定相似
C．等弧所对的圆心角相等
D．相等的圆心角所对的弧相等
【答案】C
【分析】根据确定圆的条件，相似图形的定义，圆心角、弧、弦的关系逐项判断即可．
【详解】解：经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项说法错误，不符合题意；两个矩形的对应边不一定成比例，所以两个矩形不一定相似，故B选项说法错误，不符合题意；等弧所对的圆心角相等，故C选项正确，符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故D选项说法错误，不符合题意．
故选C．
知识点02 比例线段
1.比例线段：对于4条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线
段的比相等，如 ab=cd(即ad=bc)，我们就说这4条线段叫作成比例线段，简称比例线段。
说明求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
2.比例的基本性质：如果 ab=cd,那么ad=bc.它的逆命题也成立，即：如果ad=bc，那么 ab=cd.
3.黄金分割：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，叫作把这条线段黄金分割。
【微点拨】把一条线段黄金分割的点，叫作这条线段的黄金分割点，在线段AB上截取这条线段的 5−12得到点C，则点C就是AB的黄金分割点。
【即学即练2】若且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故选D．
能力拓展
考法01 比例的性质
【典例1】已知四条线段、、、满足，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据比例和分式的基本性质，进行解答即可．
【详解】解：∵根据内项积等于外项积可得，
∴A正确；B错误；
根据分式的基本性质若，则，
故C错误；
由得，故D错误；
故选：A．
考法02 相似多边形的性质
【典例2】下列命题中，真命题的个数有（ ）
①如果不等式的解集为，那么
②已知二次函数，当时，y随x的增大而减小
③顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形
④各边对应成比例的两个多边形相似
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据解不等式、二次函数的图象与性质、中点四边形的性质，相似多边形的判断分析即可．
【详解】解：对于①，当时，原不等式即，不等式无解；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．综上，，该命题为真命题，符合题意；对于②，当时，二次函数，随的增大而减小，该命题为真命题，符合题意；
对于③，对角线相等的四边形的中点四边形为菱形，该命题为真命题，符合题意；对于④，因为多边形不具有稳定性，所以各边对应成比例的两个多边形的形状也可能不同，即不相似，该命题为假命题，不符合题意．
综上，真命题有①②③，共个．故选：C．
分层提分
题组A 基础过关练
1．将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】C
【分析】根据相似多边形的判定条件求解即可．
【详解】解：∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等，
∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等，
∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似，
矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似，
∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组，
故选C．
2．四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（ ）
A．1cmB．4cmC．9cmD．12cm
【答案】B
【分析】根据成比例线段的定义得到，据此求解即可
【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴，
∴，
故选B．
3．已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则b的值为（ ）
A．B．4C．32D．
【答案】C
【分析】根据比例中项的，然后代入求解即可．
【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．两相似多边形的面积比是，较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周长比等于相似比进行计算即可．
【详解】解：两相似多边形的面积比是，
∴两相似多边形的相似比为：，
∴两相似多边形的周长比为：，
∵较小多边形的周长为，
∴较大多边形的周长为：；
故选A．
5．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出的长度．
【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且，
则，
∴．
故选：C
6．若C是线段的黄金分割点（），若，则线段的长为 ___________．
【答案】
【分析】设，然后根据黄金分割比可直接进行求解．
【详解】解：设，则有，
∵C是线段的黄金分割点，，
∴，即，
解得：；∴；故答案为：．
7．如果，那么________．
【答案】
【分析】根据得到，把它代入后面的式子求出比值．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴．
故答案是：．
8．已知：求代数式的值___________．
【答案】
【分析】设，则再代入中，求值即可．
【详解】根据题意可设，则
∴．
故答案为：．
9．（1）已知线段，，求线段，的比例中项线段的长度．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）6；（2）．
【分析】（1）根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案；
（2）设，，代入计算，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵，，
，
（负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项c是6．
（2）设，，
∴．
10．已知四边形ABCD与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点对应．
(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠＝90°，求∠D的度数；
(2)已知AB＝9，CD＝15，＝6，＝4，＝8，求四边形ABCD的周长．
【答案】(1)120°；(2)42
【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．
（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴∠C＝∠C1＝90°，
∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．
（2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BC＝12，AD＝6，
∴四边形ABCD的周长＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42．
题组B 能力提升练
1．如图，线段，在线段AB上找一点C，C把分为和两段，其中，若，则点C就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，则，代入并整理得：，求出x的值，再舍去不合题意的值，最后计算比值即可．
【详解】设，则，
∵，
∴，
整理，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
∵，
∴，
∴，
∴．
故选B．
2．在比例尺为的地图上，测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设两地间的实际距离为，根据比例线段得，然后解方程即可．
【详解】解：设两地间的实际距离为，
根据题意得，
解得．
所以两地间的实际距离为，
故选：C．
3．下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形
C．两个菱形D．两个正方形
【答案】C
【分析】根据相似多边形的定义判断即可．
【详解】因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等，所以两个等边三角形一定相似，故A不符合题意；因为两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等，所以两个等腰直角三角形一定相似，故B不符合题意；因为两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，所以两个菱形不一定相似，故C符合题意；因为两个正方形的对应边成比例，对应角相等，所以两个正方形一定相似，故D不符合题意；故选C．
4．已知四条线段a，b，c，d满足，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断B，D．
【详解】解：A、由已知得ad＝bc，故选项不符合题意；B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意．故选：B．
5．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为_____．
【答案】
【分析】根据黄金分割点的定义结合图形的特征求解即可．
【详解】解：依题意，，
即，
解得（负值舍去），
故答案为：．
6．四条线股a、b、c、d成比例，其中cm，cm，cm，则b的长为___________ ．
【答案】4cm或16cm或cm
【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，分类讨论，即可求得b的值．比例线段的定义是在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
【详解】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，或，或，
∴，或，或，
∵，，，
∴，或，或，
解得：，或，或．
故答案为：4cm或16cm或cm．
7．若且，则的值为___________．
【答案】
【分析】根据等比性质即可求得．
【详解】解：且，
，
，
故答案为：．
8．如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是______．
【答案】
【分析】先根据题意得到，再代入变形得到，然后求解．
【详解】根据题意，得．
将代入，得，开平方得（舍去）．
故答案为：．
9．①若，则＝___；②已知，则的值为 ___．
【答案】2 2
【分析】①先将等式去分母，再进行同类项合并即可得到答案；
②将y和分别转换为含的代数式，再代入式子即可得到答案．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴；②∵，
∴，，
∴．
10．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点．现设的长为1．
(1)求的长；
(2)若令，，记，，，，求的值．
【答案】(1)
(2)5050
【分析】（1）根据可得方程，解方程即可求解；（2）由，，可得，通分化简可得：，，依据规律可得：，即问题得解．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴整理有，
∴解得：，（负值不符合题意，舍去）
即的长为：；
（2）∵，，
∴，
∴，
，
同理可得：，
∴，
即答案为：5050．
题组C 培优拔尖练
1．已知代数式，，，下列结论：
①若，则；②若，且z为方程的一个实根，则；③若x，y，z为正整数，且，则；④若，则；
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据比例的性质及求代数式的值的方法，依次化简计算即可得出结果．
【详解】解：①若x:y:z=1:2:3，
设x=a；y=2a；z=3a；
∴A=；B=；C=；∴，故①正确；
②若x=y=1，
则A=，B=，C=，
∴，
∵z为方程的一个实数根，
∴z≠0，
∴，
∴，
∴，
故②正确；若xyz为正整数，则
，
，
，
∵x>y>z，
∴，
∴，
即，
∴A>B>C，故③正确；
若A=B=C，即，
当x+y+z≠0时，
；
当x+y+z=0时，
,
综上A=或1，故④错误；
∴正确的有3个，
故选：C．
2．我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形中,的平分线交边于点,于点,则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定可得四边形ABFE是正方形，再根据正方形的性质可得，再根据黄金矩形的定义逐项判断即可得．
【详解】四边形ABCD是矩形，
，
，即，
四边形ABFE是矩形，
是的平分线，且，
，
四边形ABFE是正方形，
，
又四边形ABCD是黄金矩形，且，
，
设，则，
，
，
，
则，，
即，选项A正确；，，
即，选项B正确；，，
即，选项C错误；，则选项D正确；
故选：C．
3．已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP=AB，代入数据即可得出AP的长度．
【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP＞BP，
则AP＝×2＝﹣1．
故选：B．
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案.
【详解】解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得.
由头顶至脖子下端的长度为26cm，
可得，
解得.
由已知可得，
解得.
综上，此人身高m满足.
所以其身高可能为175cm.
故选：B
5．在中，若AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD，BE，CF相交于一点，，，则______．
【答案】
【分析】如图，先利用三角形的面积关系可得 ，，再结合比例的基本性质证明，可得，同理可得：， 可得， 从而可得结论．
【详解】解：如图，设AD，BE，CF相交于点，
， ，
，
，
同理可得： ，
，
，，
，
．
故答案为：
6．若，且，则的值为_________．
【答案】19
【分析】设x=3k,则y=5k，z=6k，代入3y=2z+3可求出k的值，进而求出x、y、z的值即可求得答案.
【详解】设x=3k,则y=5k，z=6k，
代入3y=2z+3得：15k=12k+3，解得：k=1，
所以x=3，y=5，z=6，
所以x+2y+z=3+10+6=19，
故答案为19.
7．已知三条线段的长分别为1cm，2cm， cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则另外一条线段的长为__________________．
【答案】2cm或cm或cm
【详解】设另外一条线段的长为acm，因四条线段成比例，可得或或，解得a=或a=或a= ，所以另外一条线段的长为2cm或cm或cm.
点睛：本题主要考查了成比例线段的关系，已知成比例线段的四条中的三条，即可求得第四条，解决本题要注意分类讨论.
8．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形，它的面积为1；取和各边中点，连接成正六角星形 ，如图（2）中阴影部分；取和各边中点，连接成正六角星形 ，如图（3）中阴影部分；如此下去……，则正六角星形的面积为 __________ ．
【答案】．
【分析】先分别求出第一个正六角星形与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．
【详解】解：、、、、、分别是和各边中点，
正六角星形正六角星形且相似比为，
正六角星形的面积为1，
正六角星形的面积为，
同理可得，第二个六角形的面积为：，
第三个六角形的面积为：，
第四个六角形的面积为：．
故答案是：．
9．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为____________；第n个正方形的面积为____________．
【答案】5；
【分析】由题意可求出AD=， 所以第1个正方形的面积为5；先利用ASA证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的 ，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 ，然后即可求出第n个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第n个正方形的面积为 ．
【详解】解：设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，根据题意，
得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1＝∠B1A1A2＝∠B2A2A3（同位角相等）．
∵∠ADO＋∠DAO＝90°，∠DAO＋∠BAA1＝90°，
∴∠ADO＝∠BAA1，
在直角△ADO中，根据勾股定理，
得：AD＝，tan∠ADO＝＝，
∵tan∠BAA1＝＝tan∠ADO，
∴BA1＝AB＝，
∴CA1＝，
同理，得：C1A2＝（）×（1＋），
由正方形的面积公式，得：S1＝（）2＝5，
S2＝（）2×（1＋）2，
S3＝（）2×（1＋）4＝5×（）4，
由此，可得Sn＝（）2×（1＋）2（n−1）＝5×（）2n−2．
故答案为：5；．
课程标准
课标解读
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
2.通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。
3.掌握基本事实∶两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
1.掌握比例的基本性质，能利用比例的基本性质对比例进行化简；理解黄金分割的概念。
2.了解和掌握相似图形的概念，掌握相似图形的性质。
3.理解和掌握成比例线段的概念。