初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用精品课件ppt

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1．什么叫做解直角三角形？
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？
如图，在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，那么除直角∠C 外的五个元素之间有如下关系：
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
（2）两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°； 
上述（3）中的 A 都可以换成 B，同时把 a，b 互换．
（2）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a＝31，c＝31 ，解这个直角三角形．
已知两边解直角三角形的方法
（1）已知两直角边：通常先利用勾股定理求出斜边，再利用两条直角边的比得到其中一个锐角的正切值，求出该锐角，最后利用直角三角形两锐角互余的关系求出另一个锐角．
（2）已知斜边和一直角边：通常先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用已知直角边与斜边的比得到其中一个锐角的正弦（或余弦）值，求出该锐角，最后利用直角三角形两锐角互余的关系求出另一个锐角．
2．（1）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝60°，解这个直角三角形；
（2）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝35°，AC＝3，解这个直角三角形（精确到 0.001，sin 35°≈0.573 6，cs 35°≈0.819 2，tan 35°≈0.700 2）．
已知一锐角和一边解直角三角形的方法
（1）已知一锐角和斜边：先利用直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正弦和余弦求出两条直角边．
（2）已知一锐角和一直角边：先利用直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边．当已知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已知直角边是已知锐角的邻边时，利用这个角的余弦求斜边．（在这个过程中，也可利用勾股定理求其中的某条边） 
类型二、“化斜为直”解非直角三角形
3．如图，在 △ABC 中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 ，求 AB 的长．
“化斜为直”解非直角三角形的方法一般情况下，直角三角形是求解或运用锐角三角函数的前提条件，当题目中所提供的是非直角三角形时，需先通过作垂线（或高）添加辅助线，将非直角三角形分割成两个直角三角形，再运用锐角三角函数解决问题．若条件中有线段的比或锐角三角函数，则也可以设一个辅助未知数，列出方程求解．
类型三、解直角三角形与三角形面积的综合应用
4．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC，BD＝12，CD＝6，求△ABC 的面积．
解与三角形有关的面积问题的方法先作辅助线构造直角三角形，再利用锐角三角函数求三角形的底或高，最后利用三角形面积公式求面积．
类型四、运用解直角三角形求不规则图形的面积
用割补法求不规则图形的面积（1）分割原有图形为规则图形．（2）粘补原有图形为规则图形．（3）综合运用分割、粘补的方法，使原有图形变为规则图形．
类型五、解直角三角形与圆的综合性问题
6．如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的⊙O 与 AD，AC 分别交于点 E，F，且∠ACB＝∠DCE．
（1）判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
解：（1）直线 CE 与⊙O 相切．
又因为∠ACB＝∠DCE，所以∠DAC＝∠DCE．因为 OA＝OE，所以∠DAC＝∠AEO＝∠DCE．因为∠DCE＋∠DEC＝90°，所以∠AEO＋∠DEC＝90°，所以∠OEC＝90°，所以直线 CE 与⊙O 相切．
解直角三角形与圆的综合题时，要注意角之间的相互关系．当题目涉及切线时，要注意切线的判定定理与性质定理的应用．
解直角三角形与三角形面积的综合应用
“化斜为直”解非直角三角形
运用解直角三角形求不规则图形的面积
解直角三角形与圆的综合性问题